soal osn 2012 smp dengan solusi

SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN 2012

Diketik ulang oleh Muhammad Yusuf, S.Pd. Halaman 1

BAGIAN A : PILIHAN GANDA

SOAL 1

Pernyataan yang benar diantara pernyataan-pernyataan berikut adalah :

A. {Ø} ∈ Ø

B. {Ø} ⊆ Ø

C. Ø ⊆ Ø

D. {a,b} ∈{a, b, {{a,b}}}

E. {a,Ø} ⊆ {a, {a,Ø}}

Jawab : C

Pernyataan A salah karena Ø ∈ {Ø}

Pernyataan B salah karena Ø ∈ {Ø}

Pernyataan D salah, karena elemen dari {a, b, {{a,b}}} adalah a, b, {{a,b}}

Pernyataan E salah karena subset dari {a, {a,Ø}} adalah Ø, {a}, {{a,Ø}}, {a, {a,Ø}}

SOAL 2

Diketahui persegi ABCD. Jika titik E terletak pada BC dan titik F terletak pada CD sehingga

AE dan AF membagi persegi panjang ABCD menjadi 3 daerah yang luasnya sama, maka

perbandingan luas segitiga AEF terhadap persegi ABCD adalah ...

A. 4/18

B. 5/18

C. 6/18

D. 7/18

E. 8/18

Jawab : B

Perhatikan gambar di samping

dari soal diketahui bahwa :

luas ABE = luas AECF = luas AFD = ⅓ Luas ABCD

Luas AECF = ⅓luas ABCD = ⅓pl

Misalkan EC = X dan CF = Y, maka :

X = p – AB

Y = l – DF

Luas ECF = ½ xy = ½(p – BE)(l – DF)

Luas ABE = ½ l.BE = 1/3pl ⇒ 3l.BE = 2pl ⇒ BE = ⅔p

Luas AFD = ½ p.DF = ⅓pl ⇒ 3p.DF = 2pl ⇒ DF = ⅔l

Sehingga luas ECF menjadi ½(p - ⅔p)(l - ⅔l) = 1/18 pl

Luas AEF = Luas AECF – Luas ECF = 1/3 pl – 1/18 pl = 5/18 pl

Sehingga perbandingannya adalah 5/18

A

B C

D

E

F



SOAL 3

Jika kedua akar persamaan p2x2 – 4px + 1 = 0 bernilai negatif, maka nilai p adalah ...

A. P < 0

B. P < √3 – ½

C. P < √3 + ½

D. P < √3

E. P < 2 - √3

Jawab : A

p2x2 – 4px + 1 = 0

karena x =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎=

4𝑝± 16𝑝2−4𝑝2

2𝑝2=

4𝑝±2𝑝 3

2𝑝2=

2± 3

𝑝

karena pembilang selalu positif, maka p harus negatif

SOAL 4

Jika f(x) = 3x + 1, g(x) = 1 – 2x, dan f(g(a)) = 28, maka nilai a adalah ....

A. -7

B. -4

C. 4

D. 7

E. 13,5

Jawab : B

G(a) = 1 – 2a

F(g(a)) = 3(1 – 2a) + 1 = 3 – 6a + 1 = 4 – 6a = 28

Maka a = - 24/6 = -4

SOAL 5

Suatu byte didefinisikan sebagai susunan angka yang terdiri dari 8 angka (digit), yaitu 0

atau 1. Contoh byte : 01110111. Banyak jenis byte yang memuat angka 1 tepat sebanyak 5

adalah ....

A. 30

B. 45

C. 56

D. 62

E. 66

Jawab : C

8!

3! 5!=8.7.6

3.2= 56



SOAL 6

Perhatikan pola bilangan berikut. Bilangan 2012 akan terletak di bawah huruf ....

A. Q

B. R

C. S

D. T

E. U

Jawab : E

Bilangan di bawah huruf berturut-turut merupakan barisan arimetika berselisih 7.

Karena 2012 = 288 x 7 – 4

Maka 2012 akan tepat berada di bawah U, karena bilangan di bawah U mempunyai pola

7n – 4

SOAL 7

Jika m dan n adalah bilangan bulat positif sehingga m2 + 2m + 3n = 33, maka banyak

bilangan n yang memenuhi adalah ....

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

E. 3

Jawab : E

m2 + 2m + 3n = 33 ⇒ m(m + 2) + 3n = 33 ⇒ m(m + 2) = 3(11 – n)

agar m positif, maka n < 11 , ada 10 bilangan yang memenuhi : 1, 2, 3, . . . , 10

jika n = 1, maka 3(11 – n) = 30, tidak ada m bulat yang memenuhi


jika n = 3, maka 3(11 – n) = 24, m = 4



jika n = 6, maka 3(11 – n) = 15, m = 3




jika n = 10, maka 3(11 – n) = 3, m = 1

P Q R S T U V

1 2 3

7 6 5 4

8 9 10

.... .... .... 11



SOAL 8

Enam pipa besar dapat mengeringkan kolam dalam 5 jam, sedangkan 8 pipa kecil dapat

mengeringkan kolam dalam 10 jam. Waktu yang diperlukan untuk mengeringkan kolam

tersebut apabila menggunakan 3 pipa besar dan 5 pipa kecil adalah ....jam

A. 60/13

B. 80/13

C. 90/13

D. 8

E. 8

Jawab : B

Jika isi kolam adalah x, pipa besar P, dan pipa kecil p, maka

6P . 5 = x atau P = x/30

8p . 10 = x atau p = x/80

Sehingga 3P + 5p = 3 . x/30 + 5 . x/80 = x/10 + x/16 = 13x/80

Artinya waktu untuk mengeringkan kolam adalah 80/13

SOAL 9

Lima orang guru akan ditempatkan pada tiga sekolah yang berbeda, 2 orang disekolah

pertama, 2 orang disekolah kedua, dan 1 orang disekolah ketiga. Banyak cara

menempatkan kelima guru tersebut adalah ...

A. 40

B. 30

C. 20

D. 10

E. 4

Jawab : D

Banyak cara memilih 1 orang guru untuk sekolah ketiga ada 5 cara

Karena 1 orang guru telah dipilih, maka tinggal 4 guru yang akan ditempatkan pada 2

sekolah yang masing-masing 2 orang.

Banyak cara mengelompokkan 4 orang guru menjadi 2 orang guru ada 5 cara

Total ada 10 cara

SOAL 10

Diketahui persegi panjang PQRS. Panjang PV = QT = PS = 6. Titik U adalah perpotongan

antara garis SV dan RT (seperti gambar dibawah ini). Jika PQ = 10, maka luas segiempat

PTUS adalah ...

A. 15

B. 17

C. 19

D. 21

E. 23

P Q

R S

T V

U



JAWAB : B

Karena PQ = 10, PV = 6, dan QT = 6, maka PT = 4, TV = 2, dan VQ = 4

Luas PSV = ½ PS.PV = ½ .6.6 = 18 = Luas TQR

Misalkan t adalah tinggi segitiga TUV dari U dan T adalah tinggi SRU dari U ,

Maka 𝑡

𝑇=

𝑇𝑉

𝑆𝑅 ⇒

𝑡

𝑇=

2

10 ⇒

𝑡

𝑇=

1

5

Artinya t = 1/6 PS = 1

Sehingga luas TUV = ½ . 1 . 2 = 1

Akibatnya : luas PSUT = 18 – 1 = 17

SOAL 11

Empat bola bernomor 1, 2, 3, dan 4 diletakkan dalam sebuah kotak. Sebuah bola diambil

secara acak dari kotak tersebut. Nomor yang muncul dicatat, kemudian bola dikembalikan

ke dalam kotak semula. Jika proses pengambilan dilakukan selama 3 kali dengan cara yang

serupa, maka peluang nomor bola yang terambil berjumlah 5 adalah...

A. 5/256

B. 5/64

C. 1/16

D. 3/32

E. 3/16

Jawab : E

Karena bola dikembalikan lagi, maka banyak pasangan 3 bola yang diambil adalah 4 x 4 x

4 = 64

Yang berjumlah 5 adalah

(1, 1, 3) ada 6 cara terambil

(1, 2, 2) ada 6 cara terambil

Sehingga peluangnya adalah 12/64 = 3/16

SOAL 12

Suatu antrian pembelian tiket masuk pertandingan sepak bola terdiri dari 2012 orang. Jika

diantara 2 orang pria paling sedikit terdapat 3 wanita, maka banyak pria dalam antrian

tersebut paling banyak adalah ...

A. 501

B. 502

C. 503

D. 504

E. 505



Jawab : C

Pola yang terbanyak pria adalah

P W W W P W W W P W W W .......P W W W (berulang PWWW sebanyak 503 kali)

SOAL 13

Diketahui bahwa abc dan def adalah bilangan 3 angka (digit) sehingga abc + def = 1000.

Jika a, b, c, d, e, dan f tidak satupun yang sama dengan 0, maka nilai a + b + c + d adalah ..

A. 25

B. 26

C. 27

D. 28

E. 29

Jawab : A

abc dan def yang mungkin adalah :

124 dan 876, dengan a + b + c + d = 15 atau 22

Di sini ada banyak kemungkinan, namun jika yang dimaksud oleh soal ini adalah a + b + c

+ d yang terbesar, maka jawabannya adalah abc = 679 dan def = 321, dengan a + b + c +

d = 6 + 7 + 9 + 3 = 25

SOAL 14

Suatu tes matematika terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan 5 pilihan dan hanya ada 1

pilihan yang benar. Jika mulan menjawab soal secara menerka (secara acak atau asal-

asalan), maka peluang tepat 2 soal dijawab dengan benar adalah ...

A. 32/725

B. 32/625

C. 64/725

D. 64/625

E. 128/625

Jawab : D

Banyak pilihan jawaban untuk 1 soal = 5

banyak pilihan jawaban untuk 5 soal = 55 = 3125

Banyak variasi jawaban yang benar (B) dan yang salah (S) dari soal 5 soal mulai dari

BBBBB sampai SSSSS adalah 25 = 32

Peluang terpilih 1 variasi jawaban adalah 32/3125

Banyak variasi 2 jawaban benar dan 3 jawaban salah = 10

Peluang terpilih satu variasi adalah 1/10

Peluang terpilih 1 variasi jawaban dengan 2 jawaban benar = 32/3125 : 1/10 =

320/3125 = 64/625



SOAL 15

Untuk setiap bilangan bulat x didefinisikan fungsi f dengan f(x) adalah banyaknya angka

(digit) dari bilangan x. Contoh : f(125) = 3 dan f(2012) = 4. Nilai dari f(22012) + f(52012)

adalah ....

A. 2013

B. 2014

C. 2015

D. 2016

E. 2025

Jawab : A

Dengan pendekatan logaritma :

Log 22012 = 2012 x 0,301 = 605,67 dengan banyak digit 606

Log 52012 = 2012 x 0,699 = 1406,33 dengan banyak digit 1407

Sehingga banyak digitnya adalah 606 + 1407 = 2013

Dengan pendekatan hasil perkalian

22012 x 52012 = 102012 , dengan banyak digit 2012

Maka banyak digit dari 22012 + 52012 = 2013 (jumlah digit dari hasil kali dua bilangan

adalah ≥ 1 dari jumlah digit dari dua bilangan yang dikalikan)

SOAL 16

Dalam sebuah karung terdapat 60 kaos bernomor 11, 12, 13, 14, ... , 40. Ada 2 kaos untuk

setiap nomor (ada 2 kaos bernomor 11, ada 2 kaos bernomor 12, dan seterusnya). Jika

diambil 2 kaos secara acak, maka peluang yang terambil adalah kaos bernomor sama

adalah ....

A. 1/59

B. 2/35

C. 2/33

D. 2/31

E. 2/29

Jawab : A

Banyak variasi 2 kaos dari 60 kaos = 60C2 = 30.59

Banyak warna kaos 30

Sehingga peluang terpilihnya warna kaos sama adalah 30/30.59 = 1/59

SOAL 17

Sehabis belanja, Retina membawa pulang uang kembalian berupa 8 koin (uang receh),

yang terdiri dari ratusan, lima-ratusan, dan ribuan. Total nilai uang kembalian adalah tiga

ribu rupiah. Sayangnya, dalam perjalanan pulang salah satu uang koin jatuh (hilang). Jika

peluang kehilangan untuk satu ratusan, satu lima-ratusan, dan satu ribuan adalah sama,

maka peluang kehilangan satu koin lima-ratusan adalah ...



A. 1/8

B. 2/8

C. 3/8

D. 4/8

E. 5/8

Jawab : B

Hanya ada satu kemungkinan jenis koin, yaitu 1 koin ribuan, 2 koin lima-ratusan dan 5

koin ratusan

Sehingga peluang kehilangan 1 koin lima-ratusan adalah 2/8

SOAL 18

Jika 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, ... adalah barisan bilangan yang terdiri dari semua bilangan asli

yang bukan bilangan kuadrat dan bukan bilangan pangkat tiga, maka bilangan 270 adalah

suku ke....

A. 247

B. 248

C. 249

D. 250

E. 251

Jawab : C

bilangan kuadrat dibawah 270 adalah 256 = 162 , 16 bilangan

bilangan pangkat 3 di bawah 270 adalah 216 = 63 , 6 bilangan

karena 1 adalah milik bersama, maka totalnya adalah 21

sehingga 270 adalah urutan ke 270 – 21 = 249

SOAL 19

Suatu balok dengan volume 240 satuan mempunyai panjang a, lebar b, dan tinggi c (a, b,

dan c adalah bilangan asli). Jika a + b + c = 19 dan a > b > c > 3, maka luas permukaan

balok yang sisinya mempunyai rusuk b dan c adalah ....

A. 64

B. 60

C. 48

D. 40

E. 30

Jawab : C

Karena volumenya 240, maka salah satu dari a, b, atau c ada yang 5 atau 10

Jika salah satu sisi = 5, maka maka dua sisi yang lain adalah 6 dan 8 (a = 5, b = 6, c = 8)

Jika salah satu sisi = 10, maka maka dua sisi yang lain adalah 4 dan 6 (a = 4, b = 6, c= 10)

Yang memenuhi a + b + c = 19 adalah a = 5, b = 6, dan c = 8

Maka luas sisi berrusuk bc adalah bc = 6 x 8 = 48



SOAL 20

Perhatikan gambar di bawah ini. Jika lingkaran besar berjari-jari 4 dan lingkaran kecil

berjari-jari 2, serta luas daerah yang diarsir adalah 5/12 dari luas lingkaran besar, maka

besar ∠RPQ adalah ....

A. 600

B. 900

C. 1200

D. 1350

E. 1500

JAWAB : C

Luas lingkaran kecil = 4π

Luas lingkaran besar = 16π

Maka luas daerah yang diarsir = 5/12 x 16π = (20/3)π

Luas juring besar – luas juring kecil + luas lingkaran kecil – luas juring = (20/3)π

Luas juring besar – 2 luas juring kecil + 4π = (20/3)π

Luas juring besar – 2 luas juring kecil = (20/3 – 4)π = 8/3 π ∠𝑅𝑃𝑄

360× 16𝜋 - 2 ×

∠𝑅𝑃𝑄

360× 4𝜋 =

8

3𝜋

∠𝑅𝑃𝑄

360× 8𝜋 =

8

3𝜋

∠RPQ = 3600 / 3 = 1200

BAGIAN B : ISIAN SINGKAT

SOAL 1

Diketahui 2012 bilangan bulat positif berurutan. Jika setiap bilangan tersebut dibagi 5,

kemudian sisa-sisa pembagiannya dijumlahkan, maka hasil penjumlahan sisa-sisanya

adalah ....

Jawab : 4021

Misalkan ke-2012 bilangan tersebut adalah a, a + 1, a + 2, a + 3, ... , a + 2011

Masing-masing dibagi 5, maka sisanya selalu berulang 0, 1, 2, 3, 4 (jumlahnya = 10). Hal

ini berlangsung hingga a + 2010 dengan total jumlah 4020

Jika a habis dibagi 5, maka total sisa adalah 4020

Jika a dibagi 5 bersisa 1, maka total sisa adalah 4021




Jika yang dimaksudkan oleh soal ini adalah 2012 bilangan bulat positif yang pertama,

maka sisanya adalah 4021

P Q

R



SOAL 2

Jika a = b + 2, a2 = b2 + 6 dan 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 = 10 + (a + b)3, maka nilai c

adalah ...

Jawab : c = -3 + 3 𝟐𝟑

a = b + 2 ⇒ a – b = 2

a2 = b2 + 6 ⇒a2 – b2 = 6 ⇒ (a + b)(a – b) = 6 ⇒ a + b = 6/2 = 3

sehingga

3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 = 10 + (a + b)3 ⇒ 3 x 9c + 3 x 3c2 + c3 = 10 + 27 = 37

27c + 9c2 + c3 = 37 ⇒ c3 + 9c2 + 27c – 37 = 0 ⇒ c3 + 9c2 + 27c + 27 – 54 = 0

(c + 3)3 = 54

c + 3 = 543

= 3 23

c = -3 + 3 23

SOAL 3

Jika segitiga ABC siku-siku di B, AB = 6, AC = 10, dan AD adalah garis bagi sudut BAC,

maka panjang AD adalah ...

Jawab : AD = 𝟑 𝟓

Dari soal diketahui bahwa BC = 8 (dengan menggunakan

rumus phytagoras)

Dengan menggunakan teorema garis bagi, maka 𝐵𝐷

𝐷𝐶=

6

10=

3

5

Sehingga BD = 3/8 x BC = 3

Dengan menggunakan rumus phytagoras pada segitiga ABD,

diperoleh AD = 36 + 9

Sehingga AD = 3 5

SOAL 4

Semua nilai x yang memenuhi persamaan 6𝑥 − 2 − 4𝑥 − 3 = 1 adalah ....

Jawab : x = 1 dan x = 3

6𝑥 − 2 − 4𝑥 − 3 = 1

A

B C D

6

10



Kedua ruas dikuadratkan, maka

6𝑥 − 2 + 4𝑥 − 3 − 2 6𝑥 − 2 4𝑥 − 3 = 1

10𝑥 − 5 − 2 24𝑥2 − 26𝑥 + 6 = 1

5𝑥 − 3 = 24𝑥2 − 26𝑥 + 6

Kedua ruas dikuadratkan lagi

25𝑥2 − 30𝑥 + 9 = 24𝑥2 − 26𝑥 + 6

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0

Penyelesaiannya adalah x = 1 dan x = 3

SOAL 5

Jika rata-rata dari 1000 bilangan ganjil positif berurutan adalah 2012, maka bilangan

terkecil dari bilangan-bilangan tersebut adalah ....

Jawab : 1013

Misalkan ke-1000 bilangan tersebut adalah a, a + 2, a + 4, ... , a + 1998

Karena selisihnya tetap, maka perhitungan cukup mengambil bilangan pertama dan

terakhir

Rata-rata = 𝑎+𝑎+1998

2= 2012, maka 2a + 1998 = 4024, sehingga a = 1013

SOAL 6

Jalan Majapahit sejajar dengan jalur kereta api yang membentang lurus. Anton

menumpang bus OSN di jalan Majapahit dengan kecepatan konstan (tetap) 40 km/jam.

Dari arah yang berlawanan dengan bus yang ditumpangi Anton, berpapasan dengan kereta

api barang yang bergerak dengan kecepatan konstan 20 km/jam. Anton mencatat bahwa

bus dan kereta api berpapasan selama seperempat menit terhitung mulai dari lokomotif

(bagian depan) sampai bagian paling belakang. Panjang kereta api tersebut adalah ... meter

Jawab : 125 meter

Seperempat menit = 15 detik

Jarak tempuh mobil = 40km / 3600 det x 15 detik = 1/6 km

Jarak tempuh KA = 20km /3600 det x 15 detik = 1/12 km

Panjang KA = ½ x (1/6 + 1/12) = 3/24 km = 1/8 km = 125 meter



SOAL 7

Banyak himpunan bagian dari himpunan {a,b,c,d,e,f} yang memuat sedikitnya satu huruf

vokal adalah ....

Jawab : 48

Banyak himpunan bagian adalah 26 = 64

Yang tidak memuat huruf vokal adalah semua himpunan bagian dari himpunan {b,c,d,f}

kecuali himpunan kosong. Banyaknya adalah 24 – 1 = 15

Banyak himpunan bagian yang paling sedikit memuat satu huruf vokal adalah 64 – 15 – 1

= 48 (dikurangi 1 maksudnya dikurangi himpunan kosong)

SOAL 8

Empat titik ditempatkan pada lingkaran berjari-jari ½ satuan. Jika keempat titik tersebut

dihubungkan sehingga membentuk persegi panjang, maka luas terbesar (maksimum) yang

mungkin bagi persegi panjang tersebut adalah ....

Jawab : ½

Luas terbesar adalah persegi panjang yang panjang diagonalnya 1 dengan panjang sisi

sama ½ 2 (membentuk persegi)

Luasnya adalah ½

SOAL 9

Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 cm. Jika titik T adalah titik potong

diagonal bidang BCGF, titik P adalah titik tengah rusuk AB, dan titik Q adalah titik tengah

rusuk DC, maka jarak antara titik T dengan bidang PQHE adalah .... cm.

Jawab : ⅗ 5 cm

A B

C D

E F

G H

T

P

Q

R

S

Dengan memperhatikan gambar, maka

AP = 1 cm, sehingga EP = 5 (dengan phitagoras)

RS = EP = 5 cm

RT = 5 cm (perhatikan gambar)

ST = 2 cm

Mencari jarak T ke PQHE adalah sama saja dengan

mencari garis tinggi ΔRST dari titik T ke sisi RS

S

T

R

5 2

5 – x x

Perhatikan gambar ΔRST di samping

T2 = 2 – x2

T2 = 5 – (5 – 2x 5 + x2) = 2x 5 – x2

Sehingga 2x 5 = 2 ⇒ x = ⅕ 5

Dengan demikian t2 = 2 – 5/25 = 45/25

Sehingga t = ⅗ 5 cm



SOAL 10

Misalkan ab adalah bilangan terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah 45, maka

diperoleh bilangan ba. Pada bilangan ab, jika diantara a dan b disisipkan angka 0, maka

diperoleh bilangan yang nilainya 7⅔ kali bilangan ab. Bilangan ab tersebut adalah ....

Jawab : 27

Ab + 45 = ba ⇒10a + b + 45 = 10b + a ⇒ 9b – 9a = 45 ⇒ b – a = 5 ⇒ b = a + 5

A0b = 7⅔ ab ⇒ 100a + b = ⅓(230a + 23b) ⇒ 300a + 3b = 230a + 23b ⇒ 70a = 20b

Atau 7a = 2b

Maka :

7a = 2(a + 5) = 2a + 10 ⇒ 5a = 10 ⇒ a = 2

B = 7/2 a = 7

Sehingga bilangan yang dimaksud adalah 27

soal osn 2012 smp dengan solusi

Education