soal dan jawaban persamaan diferensial eksak dan tak eksak
DESCRIPTION
SOAL PERSAMAAN DIFFERENSIALTRANSCRIPT
SOAL-SOAL PERSAMAAN DIFFERENSIAL
1. (2xy + x²) dx + (x² + y²)= 0JawabLangkah 1buktikan persamaan differensial eksak.
M(x,y) = (2xy + x²) →
∂M ( x , y )∂ y = 2y dan
N(x,y) = (x² + y²) →∂N ( x , y )
∂ x = 2y
Nilai di atas = 0, maka persamaan differensial diatas merupakan persamaan ∂ y ∂ x
Langkah 2
Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untukmendapatkan F(x,y) = C dapatdigunakankesamaan:
∂F ( x , y )∂ y = N(x,y) dan
∂F ( x , y )∂ x = M(x,y).
∂F ( x , y )∂ y = (x² + y²)
F(x,y) = ∫ x ²+ y ²dy
= x²y +2y + F(x)
∂F ( x , y )∂ x = M(x,y).
∂∂ x
(x²y +2y + F(x)) = 2xy + x²
2xy + F’(x) = 2xy + x²
F’(x) = x²
F(x) = 13x
3
+ C
Primitifpersamaanadalah F(x,y) = x ² y+2 y+ 13x
3
+¿ C
2) 3x²y² dx + (2x³y + 4y³) dy = 0
Jawab
Langkah 1
Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak
𝜕𝑀 M (x, y) = 3x²y² à = 6𝑥² 𝑦𝜕𝑦𝜕𝑁 N (x, y) = 2x²y + 4y³à = 6𝑥² 𝑦𝜕𝑥𝜕𝑀𝜕𝑁 Karena = , maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan 𝜕𝑦𝜕𝑥 diferensial eksak.
Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y)) 𝑥 f (x,y) =[ M (x, y) dx ] + (∅ 𝑦) 𝑥 = 3x 2 y 2 dx + (∅ 𝑦) = x3y2+ (∅ 𝑦).
Langkah 3 𝜕𝑓𝜕𝑥𝜕 = [ M (x, y) dx ] + ∅ 𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕 = [ 3x 2 y 2 dx ] + ∅ 𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕 = 2x3y + (∅ 𝑦) 𝜕𝑦 Langkah 4
(mencari (∅ 𝑦))𝜕𝑓 = N (x,y)𝜕𝑦𝜕2x3y + (∅ 𝑦) = 2x3y + 4y3 𝜕𝑦𝜕 (∅ 𝑦) = 2x3y + 4y3 - 2x3y 𝜕𝑦 (∅ 𝑦) = 4y 3 dy = y4 + k
Langkah 5 (Solusi Umum)f (x,y) = x³y²+ (∅ 𝑦) = x³y²+ y⁴ = kMaka solusi umumnya adalah = x³y²+ y⁴ + C dengan nilai C = k
3.3 x2 y2dx+(4 x3 y−12 )dy=0
Jawab Langkah 1
Buktikan differensial eksaknya:
M(x,y) = (3 x2 y2
)→
∂M ( x , y )∂ y = 6y dan
N(x,y) = (4 x3 y−12
)→∂N ( x , y )
∂ x = 12x²
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
∂M ( x , y )∂ y ¿
∂N ( x , y )∂ x
Langkah 2
mencari ψ (x,y) sebagai faktor integrasi
Karena
∂M (x , y )∂ y
−∂N ( x , y )
∂ xN ( x , y ) =
6 y−12x ²4 x ³ y−12
=
2 yy
Maka ψ (x,y) = e∫2 y / y = y²
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu:
y2 (3x2 y2 )dx+ (4 x3 y−12 )dy+C
4. 2x²y dx + (x²-y²) dy
Langkah 1Buktikan differensial eksaknya:
M(x,y) = (2 x ² y
)→
∂M ( x , y )∂ y = 2x² dan
N(x,y) = (x ²− y ²
)→∂N ( x , y )
∂ x = 2x
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
∂M ( x , y )∂ y ¿
∂N ( x , y )∂ x
Langkah 2
mencari ψ (x,y) sebagai faktor integrasi
Karena
∂M (x , y )∂ y
−∂N ( x , y )
∂ xN ( x , y ) =
2x ²−2xx ²− y ²
=
1y ²
Maka ψ (x,y) = e∫ y ²dx=e º=x
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu:
(2 x ² y )dx+x (x ²− y ² )dy+C
5. (2y – x²) dx + x dy = 0Jawab
Langkah 1Buktikan differensial eksaknya:
M(x,y) = (2 y−x ²
)→
∂M ( x , y )∂ y = 2dan
N(x,y) = x dx→∂N ( x , y )
∂ x = 1
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
∂M ( x , y )∂ y ¿
∂N ( x , y )∂ x
Langkah 2
mencari ψ (x,y) sebagai faktor integrasi
Karena
∂M (x , y )∂ y
−∂N ( x , y )
∂ xN ( x , y ) =
2−1x
=
1x
= f(x)
Maka ψ (x,y) = e∫ x dx=e∈x=x
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu:
x (2 y−x ² )dx+x dy+C
