Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 42 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor.

Polinomial (Suku Banyak) 𝑭(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + … + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

Nilai Suku Banyak

Jika diketahui 𝐹(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 3 Tentukan nilai 𝐹(𝑥) untuk 𝑥 = 3 !

Cara Biasa Cara Horner “Substitusi 𝒙” “Kalikan miring-miring” 𝐹(3) = 2(3)2 − 5(3)2 + (3) − 3

= 54 − 45 + 3 − 3= 9

𝑥 = 3 2 −5 −1 −3−6 3 12

2 1 4 9

Pembagian Suku Banyak

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 3 oleh 𝑥 − 3!

Cara Biasa Cara Horner “Porogapit” “Kalikan miring-miring” 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 4𝑥 −

𝒙 − 𝟑 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 3 −2𝑥3 − 6𝑥2 −

𝑥2 + 𝑥 − 𝑥2 − 3𝑥 −

− 4𝑥 − 3 − − 4𝑥 − 12 −

− − 𝟗 −

𝒙 − 𝟑 = 𝟎𝒙 = 𝟑 2 −5 −1 −3

−6 3 12

𝟐 𝟏 𝟒 𝟗

hasil bagi sisa 2𝑥2 + 𝑥 + 4 9

Jadi 𝐹(3) = 9

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 43

Tips mengingat konsep pembagian suku banyak! Jika 7 dibagi 2, hasilnya 3, tapi masih sisa 1. Jadi 𝟕 = 𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟏

Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝒙) ∙ 𝑯(𝒙) + 𝑺(𝒙)

Inti permasalahannya pembagian suku banyak adalah:

Gimana kalau pembaginya adalah nol? dan

Gimana kalau sisa pembagian adalah nol?

Suku Banyak

Teorema Sisa Teorema Faktor

𝐹(𝑥) = 𝑷(𝒙) ∙ 𝐻(𝑥) + 𝑆(𝑥)

𝐹(𝑥) = (𝒙 − 𝒂) ∙ 𝐻(𝑥) + 𝑆(𝑥)

𝐹(𝒂) = 𝟎 ∙ 𝐻(𝒂) + 𝑆(𝒂)

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥) ∙ 𝐻(𝑥) + 𝑺(𝒙)

𝐹(𝒌) = (𝑥 − 𝒌) ∙ 𝐻(𝒌) + 𝑺(𝒌)

𝐹(𝒌) = (𝑥 − 𝒌) ∙ 𝐻(𝒌) + 𝟎

𝐹(𝒂) = 𝑆(𝒂) 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 𝑘) ∙ 𝐻(𝑥)

Jika suku banyak di bagi (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑘) adalah faktor suku banyak maka sisanya adalah 𝐹(𝑎) jika dan hanya jika 𝐹(𝑘) = 0 Artinya: Artinya: Jika 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 𝑎) maka sisanya adalah 𝐹(𝑎) Jika (𝑥 − 𝑘) adalah faktor dari 𝐹(𝑥), maka 𝐹(𝑘) = 0

Jika 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑎𝑥 + 𝑏) maka sisanya adalah 𝐹 (−𝑏

𝑎) Jika 𝐹(𝑘) = 0, maka (𝑥 − 𝑘) merupakan faktor dari 𝐹(𝑥)

Derajat sisa selalu satu kurangnya dari derajat pembagi 𝐹(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑎) sisanya 𝑝 𝐹(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) sisanya 𝑝𝑥 + 𝑞

3

2 7

6

1

Halaman 44 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT Contoh Soal: Tentukan sisa pembagian suku banyak 𝑥3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ! Penyelesaian: Karena 𝑥2 − 2𝑥 − 3 bisa difaktorkan menjadi (𝑥 + 1)(𝑥 − 3), maka sisa pembagian suku banyak bisa kita cari menggunakan konsep teorema sisa.

Mari kita kerjakan: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1), artinya sisanya adalah 𝑓(−1) = 0 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 3), artinya sisanya adalah 𝑓(3) = 4

Susun dalam susunan seperti matriks.

|−1 03 4

| Maka sisa pembagiannya adalah:

(𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒂𝒎𝒂)𝑆(𝑥) = (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂)𝑥 + (𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒌𝒔)

((−1) − (3)) 𝑆(𝑥) = (0 − 4) 𝑥 + ((−4) − (0))

−4 𝑆(𝑥) = −4𝑥 + (−4)

𝑆(𝑥) = 𝑥 + 1

Jadi sisa pembagian 𝑥3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥2 − 2𝑥 − 3 adalah 𝑥 + 1.

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dengan cara Horner Modifikasi: Perhatikan pembagi:

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0⇔ 𝑥2 = 2𝑥 + 3

Maka hasil bagi dan sisa pembagian bisa diperoleh dengan memodifikasi cara Horner menjadi:

1 −0 −6 −5

3 3 6

2 2 4

𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

Jadi sisa pembagian 𝑥3 − 6𝑥 − 5 oleh 𝑥2 − 2𝑥 − 3 adalah 𝑥 + 1.

hasil bagi sisa 𝑥 + 2     𝑥 + 1

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 45

Contoh Soal:

Suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2𝑥 − 3) sisanya 5. Jika suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥2 − 𝑥 − 3), sisanya adalah …. Penyelesaian: Ingat jika pembaginya berderajat 2, maka sisanya adalah suku banyak berderajat 1.

Jika suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥2 − 𝑥 − 3), sisanya adalah 𝑝𝑥 + 𝑞. Ingat sisa pembagian suku banyak oleh (𝑥 − 𝑎) adalah 𝑓(𝑎).

Dan sisa pembagian suku banyak oleh (𝑎𝑥 + 𝑏) adalah 𝑓 (−𝑏

𝑎).

Mari kita kerjakan:

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1) sisa 10, artinya 𝑓(−1) = 10

𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥 − 3) sisa 5, artinya 𝑓 (3

2) = 5

Susun dalam susunan seperti matriks.

|−1 10

3

25 |

Maka sisa pembagiannya adalah:

(𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒂𝒎𝒂)𝑆(𝑥) = (𝒔𝒆𝒍𝒊𝒔𝒊𝒉 𝒌𝒐𝒍𝒐𝒎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂)𝑥 + (𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒌𝒔)

((−1) − (3

2)) 𝑆(𝑥) = (10 − 5) 𝑥 + ((−5) − (15))

−5

2𝑆(𝑥) = 5𝑥 + (−20)

𝑆(𝑥) = −2𝑥 + 8

Jadi sisa pembagian 𝑓(𝑥) dibagi (2𝑥2 − 𝑥 − 3) adalah −2𝑥 + 8.

Contoh TRIK SUPERKILAT yang lain masih diketik… Selalu update di http://pak-anang.blogspot.com

Halaman 46 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 62 xx bersisa ,25 x jika dibagi 322 xx bersisa

.43 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 42 23 xxx

B. 42 23 xxx

C. 42 23 xxx

D. 42 23 xx

E. 42 23 xx

2. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi 322 xx bersisa ,43 x jika dibagi 22 xx bersisa

.32 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 1223 xxx B. 1223 xxx C. 1223 xxx D. 12 23 xxx E. 12 23 xxx

3. Suatu suku banyak berderajat 3 jika dibagi 232 xx bersisa 64 x dan jika dibagi 62 xx bersisa

108 x Suku banyak tersebut adalah ....

A. 432 23 xxx B. 423 23 xxx C. 732 23 xxx D. 7822 23 xxx E. 91042 23 xxx

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

TRIK SUPERKILAT: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) bersisa (5𝑥 − 2) Artinya: 𝑓(−2) = 5(−2) − 2 = −12

𝑓(3) = 5(3) − 2 = 13

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) bersisa (3𝑥 + 4) Artinya: 𝑓(−1) = 3(−1) + 4 = 1

𝑓(3) = 3(3) + 4 = 13

Misal kita pilih satu fungsi saja, 𝑓(−1) = 1 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = −1 maka hasilnya adalah 1. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban D saja.

TRIK SUPERKILAT: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) bersisa (3𝑥 − 4) Artinya: 𝑓(−3) = 3(−3) − 4 = −13

𝑓(1) = 3(1) − 4 = −1

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) bersisa (2𝑥 + 3) Artinya: 𝑓(−1) = 2(−1) + 3 = 1

𝑓(3) = 2(3) + 3 = 9

Misal kita pilih satu fungsi saja, 𝑓(1) = −1 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = 1 maka hasilnya adalah −1. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh

jawaban B saja.

TRIK SUPERKILAT: 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) bersisa (4𝑥 − 6) Artinya: 𝑓(1) = 4(1) − 6 = −2

𝑓(2) = 4(2) − 6 = 2

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) bersisa (8𝑥 − 10) Artinya: 𝑓(−2) = 8(−2) − 10 = −26

𝑓(3) = 8(3) − 10 = 14

Misal kita pilih satu fungsi saja, 𝑓(1) = −2 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = 1 maka hasilnya adalah −2. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh

jawaban A saja.