sistem permodelan
DESCRIPTION
resume tugas permodelanTRANSCRIPT
1. H I D R O D I N A M I K A
1.1. PERSAMAAN HIDRODINAMIKA SEDERHANA UNTUK KASUS 1 DIMENSI
Persamaan hidrodinamika yang sederhana satu dimensi yang lengkap adalah:
∂u∂ t
+g ∂ζ∂ x
=0…………… .. pers .momentum /gerak
∂η∂ t
+H ∂u∂ x
=0…………………… .. pers . kontuinitas
Kedua persamaan di atas di turunkan terhada t ( U t )
ut+gζ x=0
ζ t+Hux=0
U t ( ∂2u∂ t2 )utt+gζ xt=0
ζ xt+HU xx=0❑→
di kali dengan−1dang
utt+gζ xt=0
ζ xt+HU xx=0
utt+gζ xt+g ζ xt−g H U xx=0
utt+g H U xx=0
utt=g H U xx
utt=C2U xx
INDRA BP, SSi
PERSAMAAN GELOMBANG DALAM ARAH U
Untuk membentuk persamaan gelombang dalam kita diferensiasikan terhadap x
dan terhadap t kemudian di jumlahkan sehingga :
−HU xt−g H ζ xx=0
ζ tt−HU xt=0
ζ tt−g H ζ xx=0
ζ tt=g H ζ xx
Dalam kedua persamaan gelombang adalah C2=gH atau c=√gH
1.2. PENGERJAAN EXPLISIT DARI PERSAMAAN HIDRODINAMIKA SEDERHANA
PERSAMAAN MOMENTUM
U t+g ζ x=0
DISKTITISASI :
U t+g ζ x=0
∂u∂ t
+g ∂ζ∂ x
=0
U jn+1 /2−U j
n−1/2
∆ t+g
U j+1n −ζ j
n
∆ x=0
U jn+1/2−U j
n−1 /2+g ∆ t∆ x
(U j+1n −ζ j
n )=0…………… .. 1
ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN FLUIDA DI PENGARUHI OLEH
PERUBAHAN ELEVASI MUK AIR
PERSAMAAN KONTUINITAS
ζ t+HU x=0
DISKRITISASI :
ζ t+HU x=0
∂ζ∂ t
+H∂u∂ x
=0
ζ jn+1−ζ j
n
∆ t+H
U jn+1/2−U j−1
n+1 /2
∆ x=0
ζ jn+1−ζ j
n+H∆t∆ x
(U j
n+12−U j−1
n+12 )=0……………… .. 2
1.3. MODEL HIDRODINAMIKA VARIASI TOPOGRAFI
Dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 serta mngganti parameter kecepatan
dengan transport (volume).
U=u .H
H=D+ζ
ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR DI PENGARUHI OLEH
KEDALAMAN TOTAL PERAIRAN DAN PERUBAHAN KECEPATAN FLUIDA
PERSAMAAN MOMENTUM
U t+g ζ x=0
∂u∂ t
+g ∂ζ∂ x
=0
∂u .u∂ t
+gH ∂ζ∂ x
=0
∂U∂t
+gH ∂ζ∂x
=0
DISKRITISASI :
∂U∂t
+gH ∂ζ∂x
=0
U jn+1 /2−U j
n−1/2
∆ t+gH
ζ j+1n −ζ j
n
∆ x=0
U jn+1/2−U j
n−1 /2+gH ∆ t∆ x
(ζ j+1n −ζ j
n )=0
U jn+1/2−U j
n−1 /2+g ∆ t∆ x ( H j
n+H j+1n
2 )(ζ j+1n −ζ j
n )=0
U jn+1/2−U j
n−1 /2+g ∆ t∆ x
(D jn+ζ j
n+D j+1n +ζ j+1
n ) (ζ j+1n −ζ j
n)=0
PERSAMAAN MOMENTUM/GERAK DALAM BENTUK TRANSPORT
H jn H j+1
n
ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN TRANSPORT (VOLUME) DI PENGARUHI
OLEH KEDALAMAN PERAIRAN DAN PERUBAHANELEVASI MUKA AIR
PERSAMAAN KONTUINITAS
ζ t+HU x=0
∂ζ∂ t
+H∂u∂ x
=0
H∂ζ∂ t
+H ∂uH∂ x
=0
HH
∂ζ∂ t
+ HH
∂U∂ x
=0
∂ζ∂ t
+ ∂U∂x
=0
DISKRITISASI:
∂ζ∂ t
+ ∂U∂x
=0
ζ jn+1−ζ j
n
∆ t+U j
n+1 /2−U j−1n+1 /2
∆x=0
ζ jn+1−ζ j
n+ ∆ t∆x
(U jn+1/2−U j−1
n+1/2 )=0……………… .4
PERSAMAAN KONTUINITAS DALAM BENTUK TRANSPORT
ARTI FISIS ADALAH PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR HANYA DI PENGARUHI OLEH
PERUBAHAN KECEPATAN TRANSPORT VOLUME.
1.4. HIDRODINAMIKA DENGAN MEMPERHATIKAN GESEKAN DASAR DAN STRESS
ANGIN
PERSAMAAN MOMENTUM
U t+g ζ x=( τ s−τb )
H
DISKRITISASI
U t+g ζ x=( τ s−τb )
H
Dimana :τ s=¿stress angin¿
τ b=¿ ρLCD w∨w∨¿¿
ρLCD=λ=koefisien gesekan angin
¿3,2 .10−6 yangmerupakanbilangan yang tak berdimensi
w=kecepataanangin
τ b=¿gesekandasar ¿
ADA DUA BENTUK GESEKAN DASAR YANG DI GUNAKAN :
1. Bentuk Linear :τ b=α u
2. Bentuk Kuadratif : τ b=r u|u|
r=koefisien gesekan dasar=3.10−3
ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN FLUIDA DI PENGARUHI OLEH GESEKAN
DASAR PERAIRAN DAN STRESS ANGIN YANG BERUBAH SESUAI DENGAN KEDALAMAN
PERAIRAN.
Untuk pendiskritisasian suku gesekan dasar kita tinjau persamaan gerak yang di
sederhanakan yaitu :
U t+τ b
H=0
U t+r u|u|H
=0
1. Cara pertama ( waktu lama )
u|u|=un|un|
subtitusikan ke persamaan gerak di atas :
U t+r u j
n|u jn|
H=0
U jn+1−U j
n
∆ t+r U j
n−¿U jn∨ ¿
H=0¿
U jn+1−U j
n+r ∆ t U jn−¿U j
n∨ ¿H
=0¿
U jn+1=U j
n−r ∆ tU jn−¿U j
n∨ ¿H
¿
U jn+1=U j
n ¿
Subtitusikan Persamaan 5 Ke Persamaan Momentum
U t+g ζ x=τ sH
−τbH
U jn+1−U j
n
∆ t+g
ζ jn+1/2−ζ j−1
n+1 /2
∆ x=λw∨w∨ ¿
H−r U j
n−¿U jn∨ ¿
H¿¿
U jn+1−U j
n+g ∆t∆ x
(ζ jn+1 /2−ζ j−1
n+1/2)=Δt λ w∨w∨ ¿H
−r Δt U jn−¿U j
n∨ ¿H
¿¿
U jn+1=U j
n−r ΔtU jn−¿U j
n∨ ¿H
+Δt λ w∨w∨ ¿H
−g∆ t∆ x
(ζ jn+1/2−ζ j−1
n+1 /2 )¿¿
U jn+1=U j
n ¿
2. Cara Ke Dua ( waktu yang baru )
u|u|=U jn+1¿U j
n∨¿
Subtitusikan ke Persamaan Gerak :
U t+r U j
n+1|u jn|
H=0
U jn+1−U j
n
Δt+r U j
n+1|u jn|
H=0
U jn+1−U j
n+r ΔtU j
n+1|u jn|
H=0
U jn+1+
r Δt U jn+1|u j
n|H
¿U jn
U jn+1¿
U jn+1=
U jn
¿¿
Subtitusikan Persamaan 7 Ke Persamaan Momentum:
U t+g ζ x=τ sH
−τbH
U t+τ b
H=
τ s
H−gζ x
U jn+1−U j
n
∆ t+r U j
n+1|u jn|
H= λw∨w∨ ¿
H−g
(ζ j+1n+1 /2−ζ j
n+1/2 )Δx
¿
U jn+1−U j
n+r ΔtU j
n+1|u jn|
H=λ Δt w∨w∨ ¿
H−g
∆ t∆ x
(ζ j+1n+1 /2−ζ j
n+1/2) ¿
U jn+1=U j
n ¿
U jn+1=
U jn+
Δt λ w|w|H
−g∆ t∆ x
(ζ j+1
n+12−ζ j
n+12 )
¿¿
1.5. HIDRODINAMIKA VARIASI TOPOGRAFI→
GESEKAN DASAR DAN STRESS
ANGIN.
Persamaan Momentum
U t+g ζ x=τ s−τb
Dimana :
τ s=¿ ρLCD w∨w∨¿¿
τ s=¿ λw∨w∨¿¿
ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN TRANSPORT (VOLUME) DI
PENGARUHI OLEH KEDALAMAN PERAIRAN DAN PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR
SERTA DI PENGARUHI OLEH GESEKAN DASAR DAN STRESS ANGIN.
τ b=ru|u|H
τ b=ruH|uH|
H
τ b=rU|U|H 2
Cara pertama
U t+g H ζ x=τ s−τb
U t+τb=τ s – g H ζ x
U jn+1−U j
n−1/2
∆t+r U j
n−1/2|U jn−1/2|
(H jn )2
=λw|w|−gH jn (ζ j+1
n −ζ jn)
Δx
U jn+1−U j
n−1 /2+r Δt U jn−1∨U j
n−1 /2∨ ¿(H j
n )2=λ Δt w|w|−g
ΔtΔx
Hj
n
(ζ j+1n −ζ j
n )¿
U jn+1−U j
n−1 /2 ¿
U jn+1=U j
n−1 /2 ¿
U jn+1=U j
n−12 ¿
Cara Kedua
U t+g H ζ x=τ s−τb
U t+τb=τ s – g H ζ x
U jn+1 /2−U j
n−1/2
∆ t+r U j
n+1 /2|U jn−1 /2|
(H jn )2
=λ w|w|−g H jn (ζ j+1
n −ζ jn )
Δx
U jn+1/2−U j
n−1 /2+r Δt U jn+1/2∨U j
n−1/2∨ ¿(H j
n )2=λ w|w|−g H j
n ΔtΔx
(ζ j+1n −ζ j
n )¿
U jn+1/2+r ΔtU j
n+1 /2∨U jn−1/2∨ ¿
(H jn )2
=U jn−1 /2+λw|w|−g H j
n ΔtΔx
(ζ j+1n −ζ j
n)¿
U jn+1/2¿
U jn+1/2=
U jn−1/2+ λw|w|−g
ΔtΔx
H jn(H j+1
n −H jn−D j+1
n +D jn)
¿¿
Dimana : H jn=
H jn+H j+1
n
2
1.6. HIDRODINAMIKA DENGAN MEMPERHATIKAN DEBIT
Persamaan yang digunakan adalah persamaan dalam bentuk transport :
Persamaan Momentum
U t+(U UH )
x
+r U∨U∨ ¿H 2
+g H ξx= λw∨w∨¿¿
Persamaan di atas di transformasikan dalam bentuk PERSAMAAN DEBIT, maka :
Q = kecepatan . penampang
Q = U . A
Q = U . H . B, B : lebar kanal
Q = U . B
U = Q / B………………….11
Subtitusikan harga U ke dalam persamaan momentum :
U t+(U UH )
x
+r U∨U∨ ¿H 2
+g H ξx= λw∨w∨¿¿
1BQt−
2QBH
ξ t+r
(BH )2+Q|Q|+gH ξ x=λw∨w∨¿
Perubahan (turunan) dalam ruang dari lebar kanal di abaikan terhadap variasi ruang
dari Q dan .
τ b τ s
1BQt−
2QBH
ξ t+r∨¿
(BH )2+Q|Q|+g H ξx=λ w∨w∨¿¿
Qt−2QBH
ξ t+r
(BH )2+Q|Q|+gBH ξx=B λw∨w∨¿
Q jn+1−Q j
n
∆ t+2Q j
n
H jn ( ξ j+1
n+1−ξ j+1n −ξ j
n+1+ξ jn
2∆ t )+ r
B jn (H j
n )2Q j
n+1|Q jn|+gB j
nH jn( ξ j+1
n+1−ξ j+1n
Δx )=B jn Δt λw∨w∨¿
Q jn+1−Q j
n−Q j
n
H jn (ξ j+1
n+1−ξ j+1n −ξ j
n+1+ξ jn )+ rΔt
B jn (H j
n )2Q j
n+1|Q jn|+gB j
nH jn ΔtΔx
(ξ¿¿ j+1n+1−ξ j+1n )=B j
n Δt λw∨w ¿
|………..12
PERSAMAAN KONTUINITAS
ξ t+U x=0
Subtitusikan persamaan 11 ke dalam persamaan kontuinitas :
ξ t+1BQ x=0
DISKRITISASI :
ξ t+1BQ x=0
ξ jn+1−ξ j
n
∆ t+ 1BQ j
n+ 1−Q j−1n+1
∆ x=0
ξ jn+1−ξ j
n+ Δt
B jn Δx
(Q jn+1−Q j−1
n+1 )=0………………13
SYARAT STABILITAS
ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN DI PENGARUHI OLEH PERUBAHAN
DEBIT, GESEKAN DASAR, STRESS ANGIN, KEDALAMAN PERAIRAN DAN PERUBAHAN
ELEVASI MUKA AIR
ARTI FISINYA ADALAH PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR DI PENGARUHI
OLEH PERUBAHAN DEBIT AIR DAN LEBAR KANAL
A. U jn+1−U j
n−1 /2+g ΔtΔx
(ζ j+1n −ζ j
n )
B. ζ jn+1−ζ j
n+H nj ΔtΔx
U jn+1/2−U j−1
n+1/2=0
Persamaan 13 dapat di tulis dengan n = n-1, maka :
ζ jn=ζ j
n−1−H jn ΔtΔx
(U jn−1 /2−U j
n−1/2 )
Dalam rumus : u=uei kx dan ζ=ζ 0 ei kx
Sehingga dapat di tulis :
ζ jn=ζ j
n−1−H jn ΔtΔx
U jn−1/2 (e i k Δx /2−eik Δx /2 )
Dimana :
sink Δx2
= e i k Δx /2−e ik Δx /2
2 i
Maka :
ζ jn=ζ j
n−1−H jn ΔtΔx
U jn−1/22 isin
k Δ x2
( ζ jn
U jn−1/2)=(−2 i H j
n ΔtΔ xsin
k Δ x2
1
1 0)(U jn−1 /2
ζ jn−1 )
Dengan cara yang sama persamaan A dapat di tulis:
(U jn+1 /2
ζ jn )=(−2i g Δt
Δ xsin
k Δ x2
1
1 0)( ζ jn−1
U jn−1/2)
Persamaan A dan B di gabungkan maka :
(U jn+1 /2
ζ jn )=(−2i g Δt
Δxsin
k Δx2
1
1 0)(−2 i H jn ΔtΔxsin
k Δx2
1
1 0)(U jn−1/2
ζ jn−1 )
Sehingga matriks Amplikasi A adalah :
A=(−4H jn g
Δt2
Δx 2sin2
k Δ x2
+1 −2 i ΔtΔ xsin
k Δ x2
−2 i H jn ΔtΔ xsin
k Δ x2
1 )(U jn−1 /2
ζ jn−1 )
Det |A – λ I|=0
Dengan menuliskan β=2 ΔtΔx
√g H sin k Δx2
; maka :
Det |A – λ I|=0
b . c−a .d=0
(−2 i g ΔtΔxsin
k Δx2 )(−2 i H j
n ΔtΔxsin
k Δx2 )−(−4H j
n gΔt2
Δx2sin2
k Δx2
+1)=0
(1− λ ) (1−λ−β2 )+β2=0
λ2−λ (2−β2 )+β2=0………………… .14
Nilai eigen : λ1,2=2−β2
2±√(2−β2 )2−4……………………… .15
PENINJAUAN BEBERAPA KASUS DARI HARGA √ (2−β2 )2−4
1. Akar Imajiner
λ λ=( ℜ+ℑ ) (ℜ−ℑ )
¿ ℜ2−I m2
λ=komplek konjugasi
λ λ=14
(2−β2 )2−(2−β2 )2+4 ¿=1
√ λ λ=|λ|=1
2. Akar Sama Dengan Nol
(2−β2 )2−4=0(2−β2 ) (2−β2 )−4=04−2 β2−2 β2+β4−4=0
β4−4 β2=0β=0β2=4β=±2
β=2 ΔtΔ x √g H j
nsink Δ x2
βmax=4=4 Δt2
Δ x2g H j
n
Δt= Δ x
√ gH jn…………… ..16
3. Akar Real
(2−β2 )2−4≥0β2≥4
DAPAT DI SIMPULKAN BAHWA KRITERIA STABILITAS PERSAMAAN MODEL HIDRODINAMIKA 1D SEDRRHANA ADALAH :
Δt ≤Δ x
√g H jn………………… ..17