SISTEM BILANGAN RIIL

Sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya merupakan salah satu pilar utama dalam

matematika, khususnya kalkulus. Dengan sistem bilangan ini beserta operasi-operasi yang

berlaku di dalamnya permasalahan komputasi matematika menjadi jelas dan mudah

dilakukan. Namun sebelum meninjau lebih jauh mengenai apakah bilangan riil itu dan apa

sajakah sifat-sifatnya, akan ditinjau terlebih dahulu sistem bilangan yang lebih sederhana.

Beberapa Sistem Bilangan

1. Sistem Bilangan Asli

Di antara bilangan yang sudah dikenal, bilangan asli merupakan bilangan yang paling

sederhana. Dengan bilangan ini, kita dapat menghitung obyek atau benda-benda yang ada

di sekitar kita. Notasi untuk himpunan semua bilangan asli adalah

N = {1, 2, 3, … }.

Himpunan ini beserta operasi tambah (+) dan kali (x) yang bersifat tertutup di

dalamnya atau dinotasikan dengan (N, +, x) membentuk suatu sistem yang dinamakan

sistem bilangan asli.

2. Sistem Bilangan Bulat

Jika pada himpunan semua bilangan asli di atas ditambahkan negatifnya dan

bilangan 0 sebagai unsur netral terhadap operasi +, maka diperoleh himpunan

Z = {0, ± 1, ± 2, ± 3, …} yang dinamakan himpunan semua bilangan bulat.

Terhadap operasi + dan x yang bersifat tertutup di dalamnya, himpunan semua

bilangan bulat Z ini atau (Z, +, x) membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem bilangan

bulat.

3. Sistem Bilangan Rasional

Pada beberapa pengukuran besaran seperti pengukuran panjang, suhu atau arus

listrik, bilangan-bilangan bulat boleh dikatakan tidak memadai lagi, karena kurang

memberikan ketelitian yang cukup baik. Oleh karena itu, hasil bagi dari bilangan-bilangan

bulat seperti 41

, 32−

, 831

, 7

16−

, 540

dan 119−

sangat diperlukan. Perlu diperhatikan bahwa,

kita tidak diperkenankan membagi suatu bilangan dengan nol.

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk n

m, dengan m dan n adalah

bilangan-bilangan bulat dan 0≠n , disebut bilangan-bilangan rasional. Selanjutnya

himpunan semua bilangan rasional ini dinotasikan dengan Q, sehingga

Q =

≠∈ 0dan ,| nZnm

n

m.

Himpunan semua bilangan rasional Q bersama-sama dengan operasi + dan x yang

bersifat tertutup di dalamnya atau (Q, +, x) membentuk suatu sistem yang dinamakan

sistem bilangan rasional

4. Himpunan Bilangan Tak Rasional

Pada kenyataannya, bilangan-bilangan rasional masih mempunyai keterbatasan,

karena bilangan ini tidak dapat mengukur semua besaran, salah satu contohnya besaran

panjang. Fakta ini ditemukan oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi, yaitu

meskipun 2 merupakan panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1,

bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat. Jadi

2 merupakan bilangan tak rasional. Demikian juga dengan bilangan-bilangan 3 , 3 5 , e ,

π dan sebagainya, merupakan contoh-contoh lain bilangan yang tak rasional.

Jika semua bilangan tak rasional di atas kita kumpulkan, maka kita mempunyai

sebuah himpunan yang disebut himpunan semua bilangan tak rasional.

5. Sistem Bilangan Riil

Jika kita kumpulkan semua bilangan rasional dan bilangan tak rasional bersama-sama

dengan negatifnya dan nol, maka diperoleh himpunan yang dinamakan himpunan semua

bilangan riil dan biasanya dinotasikan dengan R. Sama halnya dengan sistem bilangan asli,

sistem bilangan bulat maupun sistem bilangan rasional, himpunan semua bilangan riil R ini

bersama-sama operasi + dan operasi x membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem

bilangan riil.

Sebagaimana kita ketahui, bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk

titik-titik sepanjang suatu garis lurus mendatar. Dalam garis mendatar ini, bilangan-bilangan

riil tersebut mengukur jarak ke kanan atau ke kiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap yang

disebut titik asal dan dinotasikan dengan 0. Setiap titik pada garis mempunyai sebuah label

bilngan riil yang tunggal dan selanjutnya bilangan ini disebut sebagai koordinat dari titik

tersebut serta garis koordinat yang dihasilkan diacu sebagai garis bilangan riil atau disingkat

garis riil saja.

Dalam prakteknya, seringkali bilangan riil dinyatakan atau dituliskan dalam bentuk

desimal, sebagai contoh bilangan-bilangan 51

, 35

dan 118

berturut-turut dapat dituliskan

dalam bentuk desimal sebagai 0,2; 1,6666... dan 0,7272727... serta dapat diperlihatkan pula

bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari dua tipe berikut ini :

1. desimal berhenti (51

,21

,43

dan seterusnya) atau

2. desimal berulang beraturan (31

,118

,67

dan seterusnya).

Sedangkan jika bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu dari kedua

tipe di atas, maka bilangan tersebut merupakan bilangan tak rasional. Sebagai contoh 2 =

1,414213..., e = 2,7182..., π = 3,14159... dan seterusnya.

Sifat-sifat Bilangan Riil

Sebagaimana telah dijelaskan di muka, himpunan semua bilangan riil R bersama-

sama operasi + dan operasi x atau dituliskan (R, +, x) membentuk suatu sistem yang

dinamakan sistem bilangan riil.

Pada bagian ini pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku pada

himpunan semua bilangan riil R di atas. Jika a , b dan c adalah sembarang bilangan riil,

maka berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. Sifat komutatif

a. abba +=+

b. abba ×=×

2. Sifat asosiatif

a. ( ) ( ) cbacba ++=++

b. ( ) ( ) cbacba ××=××

3. Sifat distributif

( ) cabacba ×+×=+×

4. Eksistensi unsur-unsur identitas

Terdapat dua bilangan riil, yaitu 0 dan 1, dengan 0 ≠ 1 yang memenuhi hubungan :

aa =+ 0 dan aa =×1 . Bilangan 0 dan 1 ini berturut-turut dinamakan unsur

identitas terhadap operasi + dan unsur identitas terhadap operasi x

5. Eksistensi invers

Untuk setiap bilangan riil a mempunyai invers aditif (disebut juga negatif), a− ,

sehingga ( ) 0=−+ aa dan mempunyai invers perkalian 1−a sehingga 11 =× −aa .

6. Sifat pengurangan

( )baba −+=−

7. Sifat pembagian

1−×= bab

a, asalkan 0≠b

8. Hukum kanselasi (pembatalan)

a. Jika cbca ×=× dan 0≠c , maka ba =

b. Jika 0≠b dan 0≠c , maka b

a

cb

ca =××

9. Sifat pembagi nol

Jika 0=× ba , maka 0=a atau 0=b

Sifat Urutan pada Bilangan Riil

Seperti diketahui, himpunan semua bilangan riil dapat dibagi menjadi tiga himpunan

tidak kosong yang salin asing, yaitu : himpunan semua bilangan riil positif, himpunan dengan

bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota dan himpunan semua bilangan riil negatif.

Kenyataan ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan relasi urutan ”<” (dibaca

kurang dari) sebagai berikut : untuk sembarang bilangan riil a dan b , a dikatakan kurang

dari b , dinotasikan ba < jika dan hanya jika ab − positif atau 0>− ab . Sedangkan a

dikatakan lebih dari b , dinotasikan ba > jika ab < .

Selanjutnya jika a kurang dari atau sama dengan b , maka dituliskan ba ≤ dan jika

a lebih dari atau sama dengan b , maka dituliskan ba ≥ . Sedangkan notasi cba <<

dimaksudkan sebagai ba < dan cb < , artinya b terletak di antara a dan c .

Beberapa sifat penting yang perlu diketahui, terkait dengan relasi urutan di atas

antara lain :

1. Sifat trikotomi

Untuk sembarang bilangan riil a dan b , berlaku tepat satu : ba < , ba = atau ba >

2. Sifat ketransitifan (menghantar)

Jika ba < dan cb < maka ca <

3. Sifat penambahan

a. Jika ba < maka cbca +<+ , untuk sembarang bilangan riil c

b. Jika ba < dan dc < maka dbca +<+

4. Sifat perkalian

a. Jika ba < dan 0>c maka bcac <

b. Jika ba < dan 0<c maka bcac >

5. Sifat kebalikan

a. Jika 0>a maka 01 >a

b. Jika ba <<0 maka ba

11 >

6. Sifat akar dan kuadrat

Jika 0>a dan 0>b maka bababa <⇔<⇔< 22

Desimal dan Kerapatan

Seperti telah dikemukan di depan, sembarang bilangan riil, khususnya bilangan

rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal, karena berdasarkan definisi, bilangan

rasional ini senantiasa dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Jika

pembilang dibagi dengan penyebut, maka diperoleh suatu bentuk desimal. Desimal tersebut

dapat berupa desimal yang berhenti (seperti : 51

= 0,2, 43

= 0,75 dan 81

= 0,125) atau

desimal yang berulang dengan pola yang teratur (seperti : 31

= 0,33333..., 118

= 0,7272727...

dan 67

= 1,166666...).

Bilangan-bilangan tak rasional dapat pula dituliskan dalam bentuk desimal, akan

tetapi desimalnya berupa desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang menurut suatu

pola, sebagai contoh 3 = 1,7320508075... Sebaliknya, jika suatu desimal tak berakhir dan

tidak berulang pasti menyatakan suatu bilangan tak rasional, sebagai misal desimal yang

berbentuk 0,102100210002100002... pastilah menyatakan suatu bilangan tak rasional.

Contoh :

Perlihatkan bahwa bentuk-bentuk desimal berulang : 0,121212... dan 2,168168168...

menyatakan bilangan-bilangan rasional.

Pembahasan :

Misalkan x = 0,121212..., maka 100x = 12,121212... Selanjutnya jika kita kurangkan x dari

100x dan kemudian diselesaikan untuk x diperoleh 100x = 12,121212...

x = 0,121212... _

99x = 12

x = 9912

= 334

.

Demikian juga jika dimisalkan y = 2,168168168..., maka 1000y = 2168,168168168... dan

dengan cara serupa dengan penyelesaian sebelumnya didapat

1000y = 2168,168168168...

y = 2,168168168... _

999y = 2166

y = 9992166

= 333722

.

Karena kedua bentuk desimal berulang di atas dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antara

dua bilangan bulat, maka benar bahwa kedua bentuk desimal di atas merupakan bilangan

rasional. ■

Catatan : secara umum untuk memperoleh bilangan rasional yang dicari, pertama kali yang

harus dilakukan adalah mengalikan bentuk desimal berulang x yang diketahui

dengan 10n, jika desimal tersebut berulang dalam suatu pola yang memuat n angka

Seperti diketahui, di antara dua bilangan riil sembarang yang berlainan a dan b ,

terdapat suatu bilangan riil yang lain. Pada khususnya, terdapat bilangan riil 2

bac

+= , yang

merupakan bilangan pertengahan antara a dan b . Selanjutnya karena terdapat juga suatu

bilangan riil r di antara a dan c , serta bilangan riil s di antara c dan b dan karena

argumen ini dapat diulang sampai tak berhingga kali, maka dapat disimpulkan bahwa di

antara dua bilangan riil sembarang (betapapun dekatnya), terdapat tak berhingga banyak

bilangan riil yang lain. Bilangan-bilangan riil ini dapat berupa bilangan rasional dan bilangan

yang tak rasional, yang tak berhingga banyaknya dari tiap jenis.

Contoh :

Carilah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional yang terletak di antara a dan b ,

jika diketahui a = 0,12345678... dan b = 0,12345700...

Pembahasan :

Misalkan r = 0,123456800000... dan s = 0,123456801001000100001..., maka r adalah

bilangan rasional (karena berakhir dengan pengulangan 0), sedangkan s adalah bilangan tak

rasional (karena pola penyisipan 0 yang semakin banyak di antara angka 1) dan terlihat

bahwa bsra <<< . ■

Soal Latihan

1. Jika diketahui ba < , manakah di antara pernyataan berikut ini yang senantiasa

benar :

a. 33 −<− ba

b. ba −<−

c. 2bab <

d. 32 bab <

2. Nyatakanlah tiap bilangan rasional berikut dalam bentuk desimal :

a. 8

5 d.

19

7

b. 7

2 e.

5

13

c. 15

1 f.

13

23

3. Ubahlah bentuk desimal berulang berikut menjadi bentuk pecahan (bilangan

rasional) :

a. 0,47474747... d. 5,699669966996...

b. 0,258258258... e. 3,00167676767...

c. 1,1098098098... f. – 0,0123123123...

4. Perlihatkan bahwa rata-rata antara dua buah bilangan riil terletak di antara kedua

bilangan tersebut, dengan perkataan lain, perlihatkan bahwa jika ba < maka

bba

a <+<2

.

5. Tentukan suatu bilangan tak rasional dan bilangan rasional yang terletak di antara

bilangan 3,1415926535... dan 3,141592654000...