SISTEM BILANGAN CACAH

1. Kesamaan antara bilangan - bilangan

Definisi 1

Dua bilangan a dan b dikatakan sama ( ditulis “a = b” ) bila dan hanya bila a dan b

menyatakan nama – nama untuk suatu bilangan.

Relasi “ = “ mempunyai sifat – sifat, yaitu :

1. Untuk setiap a, a = a ; (sifat refleksif)

2. Jika a = b ; maka b = a ; (sifat simetris)

3. Jika a = b ; dan b = c ; maka a = c ; (sifat transitif)

Suatu relasi yang memiliki ketiga sifat ini disebut sebangai relasi ekivalensi. Jadi

relasi “sama dengan” adalah relasi ekivalensi.

2. Penjumlahan bilangan – bilangan cacah

Definisi 2

Suatu operasional biner pada himpunan S dinyatakan * mengawankan secara

tunggal (tempat satu) setiap pasangan berurutan (a,b) anggota dari S x S dengan a

* b.

Definisi 2 ini menyatakan bahwa operasi biner didefinisikan sebagai fungsi dengan

domain S x S. Apabila a * b anggota dalam S, untuk setiap a, b anggota – anggota S,

maka dikatakan bahwa operasi biner tersebut bersifat tertutup. Selanjutnya kita akan

mendefinisikan penjumlahan dua bilangan cacah.

Definisi 3

Jika B dan K dua himpunan yang saling lepas (B ∩ K = Ø) sedemikian hingga b =

n( B) dan K = n(K) dengan b dan k bilangan – bilangan cacah, maka operasi biner

penjumlahan ( + ) mengawankan pasangan berurutan (b , k) dengan b + k yang

merupakan bilangan cardinal dari B U K.

1

Secara singkat definisi 3 dapat ditulis sebagai : jika b – n ( B ), k = n( K ) Dan B ∩

K = Ø, maka b + k = n( B U K ).

Contoh 1 :

Misalnya B = {p , a, r } dan K = {x, y, z, w} maka n(B) = 3 dan n(K) = 4 serta

B ∩ K = Ø

3 + 4 n ( B U K ) = n ({p, q, r, x, y, z, w}) = 7

Sifat 1

( Sifat komutatif penjumlahan )

Apabila b dan k bilangan cacah, maka b + k = k + b

Bukti:

Misalnya B dan K adlah dua himpunan sedemikian sehingga B ∩ K = Ø, b = n( B ) dan

k = n( K ).

B U K = K U B maka n (B U K) = n ( K U B ) = b + k dan n( K U B ) = k + b maka b +

k = k + b.

Sifat 2

(Sifat asosiatif penjumlahan)

Apabila b, k dan m adalah bilangan – bialngan cacah maka ( b + k ) =+ m = b + ( k + m).

Defenisi 4

Apabila a, b, c, ddan e adalah bilangan – bilangan cacah, maka

1) a + b + c = ( a + b) + c

2) a + b + c + d = {( a + b ) + c } + d

3) a + b + c + d + e = [ { ( a + b ) + c} + d] + e

dan seterusnya.

Contoh 2

( contoh sifat komutatif umum )

2

Apabila a, b, c, d dan e adalah bilangan – bilangan cacah,

Maka a + b + d + e = d + c + e + b + a

Buktikan lah !

Bukti: a + b + c + d + e = sifat asosiatif umum penjumlahan

( a + b ) + ( c + d + e ) = sifat komutatif perjumlahan

( c + d + e ) + ( a + b ) = sifat komutatif penjumlahan

( d + c + e )+ ( b + a ) = sifat asosiatif umum penjumlahan

3. Perkalian Bilangan – Bilangan Cacah

Definisi 5

Apabila p dan q bilangan – bilangan cacah sedemikian hingga p = n (P) dan q =

n(Q), maka operasi biner dari perkalian p X q adalah n (P x Q).

Seperti Dalam Pengantar Teori Himpunan, persilangan (hasil kali Cartesius) dua

himpunan P dan Q didefinikan sebagai :

P x Q = {( a, b ) | a € P dan b € Q}

Pada definisi 5, p xq disebut hasil kali, p dan q masing – masing disebut hasil

kali, p dan q masing – masing disebut factor. Apabila P sembarang himpunan dan Ø

adalah himpunan kosong, maka P x Ø = Ø. Sehingga p x Ø = Ø, oleh karena itu, untuk

setiap bilangan cacah dikalikan nol sama dengan nol.

Ambil himpunan – himpunan P dan Q sedemikian n( P ) = p dan n(Q) = 1, maka

p x 1 = n (P x Q ) = p. sehingga setiap bilangan cacah p, p x 1 = p dan 1 disebut elemen

identitas perkalian.

Mengingat bahwa P x Q ekivalen dengan (tidak sama dengan ) Q x P maka n( P

x Q ) = n(Q x P). sehingga diturunkan sifat komutatif perkalian sebagai berikut :

Sifat 3

( Sifat komutatif perkalian )

3

Apabila p dan q bilangan – bilangan cacah, maka pxq = q x p

Definisi 5 hanya mendefinisikan perkalian dua bilangan cacah, sehingga perkalian

3 bilangan cacah atau belum mempunyai arti. Untuk itu, berikut ini ddefinisikan

perkalian tiga bilangan cacah atau lebih.

Definisi 6

Apabila p, q, r, s dan t adalah bilangan – bilangan cacah, maka

(i) p x q x r = (p x q) r

(ii) px q x r x s = {( p x q ) x r}x s

(iii) p x q x r x sx t + [{( p x q ) x r} x s ] x t dan seterusnya.

Sifat 4

( Sifat asosiatif perkalian )

Apabila p, q, r bilangan – bilangan cacah, maka ( p x q ) x r = p (q x r ).

Sifat 5

( Sifat ditributif perkalian terhadap penjumlahan )

Apabila p, q dan r bilangan – bilangan cacah, maka p x (q + r) = (p x q) + ( p x r ).

4. Pengurangan dan Pembangian Bilangan – bilangan Cacah

Definisi 7

Jika a, b dan k bilangan cacah, maka a – b = k bila dan hanya a = b + k.

Ungkapan “bila dan hanya bila” dalam definisi 7 sebagai kata pebghubung “a-b =

k bila dan hanya bila a = b + k” berarti “jika a – b = k maka a = b + k dan bila a = b +

k ; maka a – b = k”

Pengurangan dapat pula didefinisikan dengan himpunan sebagai berikut.

4

Definisi 8

Apabila a, b dan ( a – b ) bilangan – bilangan cacah, buktikanlah bahwa :

( a – b ) + = (a + c ) – b.

Bukti : ( a – b ) + c = (a + c ) – b dipandang sebagai pengurangan dan {( a – b ) + c}

sebagaihasil pengurangan. Maka kalimat pengurangan itu sama artinya dengan b + {( a

– b ) + c } = a + c. kalimat ini yang akan kita buktikan.

Ki ( = ruas kiri ) = b + {(a – b) + c } sifat asosiatif penjumlahan

= { b + (a – b)} + c definisi pengurangan.

= a + c

= Ka ( = ruas kanan)

Sifat 6

Sifat distributive perkalian terhadap pengurangan.

Apabila a, b, k dan ( a – b) bilangan – bilangan cacah, maka k x (a – b) = (k x a ) –

(k x b)

Bukti : kalimat maka k x (a – b) = (k x a ) – (k x b) dipandang sebagai pengurangan

dengan ( k x a ) sebagai terkurang, (k x b ) sebagai pengurang dan { kx (a- b_ } sebagai

hasil pengurangan. Sehingga kalimat pengurangan itu sama artinya dengan.

( k x b ) + {k x (a – b )} = k x a.

Kalimat inilah yang akan ita buktikan.

5

Ki = (k x b ) + { k x ( a – b )} sifat distributive perkalian

= k x {b + (a – b )} terhadap penjumlahan

= k x a definisi pengurangan

= Ka.

Definisi 8

Jika a, b dan k bilangan – bilangan cacah, dan b ≠ 0, maka a : b = kbila dan

hanya bila a = b x k.

5. Urutan Bilangan – Bilangan Cacah

Sifat 7

Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dan a = b maka a + c = b + c.

Bukti : Karena a = b, maka b dapat disubstitusikan pada a dlam kalimat a+ c = b + c,

sehingga diperoleh b + c = b + c. karena sifat tertutup pada penjumlahan

bilangan – bilangan cacah dan jumlah dua bilangan cacah hasilnya ada dan

tunggal, maka a + c = a _ c.

Sifat 8

Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dan a = b maka a x c = b x c.

Sifat 9

Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dengan a = b dan c = d maka a + c = b + d.

Sifat 10

Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dan a +c = b + c, maka a = b.

Konvers sifat 8, yaitu jika a, b dan c bilangan – bilangan cacahdan a x c b x c maka a = b. konvers ini tidak benar, ambil misalnya a = 5, b = 7 dan c = 0, maka diperoleh 5 x 0 = 7 x 0 maka 5 = 7. tetapi jika ambil c ≠ 0, maka konvers itu akan bernilai benar dan dikenal sebagai sifat kanselasi dari perkalian.

6

SISTEM BILANGAN BULAT

1. Pengantar

Defenisi 1

Jika n bilangan bulat, maka n + (- n) = (- n) + n = 0. (- n) disebut lawan dari (invers

penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Defenisi 2

Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

dengan operasi biner penjumlahan ( + ) dan perkalian ( × ). Untuk a, b, dan c bilangan-

bilangan bulat sembarang, sistem mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

2) Sifat tertutup terhadap penjumlahan

Ada dengan tunggal ( a + b ) dalam B

3) Sifat tertutip terhadap perkalian

Ada dengan tunggal ( a × b ) dalam B

4) Sifat komutatif penjumlahan

a + b = b + a

5) Sifat komutatif perkalian

a × b = b × a

6) Sifat asosiatif penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c)

7) Sifat asosiatif perkalian

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

8) Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

9) Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan

( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c )

10) Untuk seriap a, ada dengan tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0

disebut identitas penjumlahan.

11) Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 1 dalam B sehingga a × 1 = 1 × a = a. 1

disebut elemen identitas perkalian.

7

2. Penjumlahan Bilangan-Bilangan Bulat

Setelah mempelajari defenisi penjumlahan dua bilangan cacah, maka

pengetahuan tentang penjumlahan itu dan defenisi 1 dan 2 diatas mudah untuk

menjelaskan jumlah dua bilangan bulat negative. Misalkan a dan b bilangan-bilangan

cacah, bagaimanakah penjumlahan (- a) + (- b) ?. Misalkan c adalah bilangan bulat yang

menyatakaan (- a) + (- b), yaitu : c = (- a) + (- b) maka

c + b = {(- a) + (- b)} + b ; sifat penjumlahan pada kesamaan

c + b = (- a) + {(- b) + b} ; sifat asosiatif penjumlahan

c + b = (- a) + 0 ; invers penjumlahan

(c + b) + a = (- a) + a ; sifat penjumlahan pada kesamaan

(c + b) + a = 0 ; invers penjumlahan

c + (b + a) = 0 ; sifat asosiatif penjumlahan

c + (a + b) = 0 ; sifat komutatif penjumlahan

{c + (a + b) } + {- (a + b)} = - (a + b); sifat penjumlahan pada kesamaan

c + (a + b) + {- a + b)} = - (a + b) : sifat asosiatif penjumlahan

c + 0 = - (a + b) : invers penjumlahan

c = - (a + b)

karena c = (- a) + (- b) maka (- a) + (- b) = - (a + b)

Jadi, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka (- a) + (- b) = - (a + b)

3. Pengurangan Bilangan – Bilangan Bulat

Definisi 3

Jika a, b dan k bilangan – bilangan bulat, maka a – b = k bila dan hanya bila a = b + k.

Menurut defenisi pengurangan a – b = k bila dan hanya bila a = b + k

a + (- b) = (b + k) + - b) ; sifat penjumlahan pada kesamaan

= (k + b) + (- b) ; sifat komutatif penjumlahan

= k + (b) + (- b) ; msifat asosiatif penjumlahan

= k + 0 ; invers penjumlahan

a + (- b) = k

k = a + (- b), ini menunjukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian hingga a – b = k

8

4. Perkalian dan Pembagian Bilangan – Bilangan Bulat

sifat 1

Sifat kanselasi dari penjumlahan

jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b

Bukti :

a + c = b + c

(a + c) + (- c) = (b + c) + (- c) ; sifat penjumlahan pada kesamaan

a + {c + (- c)} = b + {c + (- c)} ; sifat asosiatif penjumlahan

a + 0 = b + 0 ; invers penjumlahan

a = b

berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan

bulat yang satu negative dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan

cacah, sehingga a bilangan bulat positif dan (- b) bilangan bulat negatif. Selanjutnya

akan diperlihatkan bahwa (a) (- b) = (ab).

Langkah 1 a × {b + (- b)} = a × 0 = 0 ; invers penjumlahan dan perkalian bilangan

cacah dengan nol.

Langkah 2 a × {b + (- b)} = (a × b) + a × (- b) ; sifat distribusi kiri perkalian

terhadap penjumlahan

Langkah 3 (a × b) + { a × (- b)} = 0 ; sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada

langkah-langkah 1 dan 2.

Langkah 4 (a × b) + { - (a × b)} = 0 ; sifat invers penjumlahan

Langkah 5 (a × b) + {a × (- b) = (a × b) + { - (a × b)} ; sifat transitif dari kesamaan-

kesamaan pada langkah-langkah 3 dan 4.

Langkah 6 a × (- b) = - (a × b) ; sifat konselasi (penghapusan) dari penjumlahan

Mengingat bahwa perkalian bilangan-bilangan bulat bersifat komutatif, a × (- b)

= (- b) × a dan a × (- b) = - (a × b) maka (- b) × a = - (a × b) = - (b × a). begitu pula jika

a = 0, maka 0 × (- b) = - (0 × b) = - 0 = 0 dan (- b) × 0 = -(0 × b) = -0 = 0.

9

Selanjutnya akan diperlihatkan bagaimanan memberi makna perkalian dua

bilangan bulat negative. Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah, maka (- a) dan (- b)

adalah bilangan-bilangan bulat negatif. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa (- a) × (- b)

= a × b.

Langkah 1. (- a) × {b + (- b)} = a × 0 = 0 ; sifat invers penjumlahan dan sifat

perkalian bilangan bulat dengan nol.

Langkah 2. (- a) × {b + (- b)} = {(- a × b)} + {(- a) × (- b)} ; sifat distribusi kiri

perkalian terhadap penjumlahan.

Langkah 3. {(- a) × b)} + {(- a) × (- b) } = 0 ; sifat transitif dari kesamaan pada

langkah-langkah 2.

Langkah 4. - (a × b) + {(- a) × (- b) } = 0 ; perkalian bilangan bulat negatif dan

bilangan bulat positif pada langkah 3.

Langkah 4. -(a × b) + {(- a) × (- b) } = 0 perkalian bilangan bulat negatif dan

bilangan bulat positif pada langkah 3.

Langkah 5. {- (a × b)} + (a × b) = 0 ; sifat invers penjumlahan

Langkah 6. {- (a × b) } + {(- a) × (- b) } = { - (a × b)} + (a × b) ; sifat transitif dari

kesamaan-kesamaan pada langkah 4 dan 5.

Langkah 7 (- a) × (- b) = a × b ; sifat konselasi dari penjumlahan

Contoh :

Bukti bahwa (- a) {b + (- c)} = ac – ab

Bukti :

(- a) {b + (- c)} = (- a) (b) + (- a) (- c) ; sifat distributif perkalian penjumlahan

= - (ab) + ac

= ac + {- (ab)}

= ac – ab

10

Defenisi 4.

Jika a, b dan c bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a : b = c bila dan hanya bila a = bc.

5. Urutan Bilangan – Bilangan Bulat

Defenisi 5

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b) bila

dan hanya bila ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b.

Defenisi 6

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b) bila

dan hanya bila b < a.

<------.-------.------.-------.------.-------.------.-------.------.-------.------.-------.------>

Sifat 2

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b bila dan hanya bila a + c < b + c

Bukti : Dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga

a + k = b ; defenisi “lebih kecil dari”

(a + k) + c = b + c ; sifat penjumlahan pada kesamaan

a + (k + c) = b + c ; sifat asosiatif penjumlahan

a + (c + k) = b + c : sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b + c : sifat asosiatif penjumlahan

a + c < b + c ; defenisi “lebih kecil dari”

Sifat 3

11

-3 -2 -1 0 1 2 3

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat posited serta a < b maka a × c

< b × c.

Bukti : a < b, berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga

a + k × c = b × c ; defenisi “lebih kecil dari”

(a + b) × (k × c) = b × c ; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

a × c < b × c ; defenisi “lebih kecil dari”, karena (k × c) bilangan positif

konvers dari sifat 3 juga bernilai benar, yaitu :

Sifat 4

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a × c < b × c maka

a < b

Bukti :a × c < b × c

(a × c) + {-(b × c)} < (b × c) + { -(b × c)} ; sifat penjumlahan pada ketidaksamaan

(a × c) + {(-b × c)} < 0 ; invers penjumlahan

{a + (- b)} × c < 0 ; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

a + (- b) < c : c bilangan bulat positif

{{a + -b)} + b < 0 + b ; sifat penjumlahan pada ketidaksamaan

a + {(- b) + b} < b ; sifat asosiatif penjumlahan

a < b ; invers penjumlahan

Sifat 5

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b, maka a × c

> b × c.

Sifat 6

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a × c > b × c maka a < b.

12