BILANGAN CACAHBILANGAN CACAH

PENGENALAN BILANGAN CACAH

PENGURANGAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN

CACAH

URUTAN BILANGAN-BILANGAN CACAH

Pengertian bilangan cacah

Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat yang tidak negatif yaitu (0,1,2,3,…..).

#himpunan bilangan cacah C={0,1,2,3,..}

Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan yaitu :

# himpunan bil. Asli A={1,2,3,4,…}# himpunan bil.Genap G={0,2,4,6,…}# himpunan bil.Ganjil ={1,3,5,7,…}# himpunan bil. Kuadrat ={0,1,4,9,…}# himpunan bil. Prima ={2,3,5,7,…}# himpunan bil. Komposit ={4,6,8,12,…}

Operasi pada bilangan cacah

1.PENJUMLAHAN ~Komutatif a+b = b+a~Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)~unsur identitas (netral) yaitu 0~sifat tertutup pada penjumlahan

2. PENGURANGAN # a-b =c = b+c=a

3. PERKALIAN

~Komutatif axb = bxa ~Asosiatif (axb)xc = ax(bxc) ~Distibutif ax(b+c) = axb + axc

ax(b-c) = axb – axc ~Unsur identitas perkalian yaitu 1 ~Sifat tertutup perkalian

4. PEMBAGIAN # a:b = c = bxc = a

Pengurangan dan pembagian bilangan cacah

Pengurangan didefinisikan dengan penjumlahan sebagai berikut :** definisi 1 **# jika a,b dan k bilangan-bilangan cacah , maka a-b = k bila dan hanya bila a = b+k.

**definisi 2 **# jika a,b dan (a-b) bilangan-bilangan cacah maka (a-b)+c = (a+b)-c

Pembuktian :

(a-b)+ c = (a + c ) – bDimana : (a + c) sebagai terkurang b sebagai pengurang (a – b) + c sebagai hasil pengurangan

ruas KI = ruas KA (a – b) + c = (a + c ) – b ( a + c ) – b = (a –b ) + c ( a + c ) = { (a-b ) + b }+ c a + c = a + c sama (TB)

** definisi 3 **# apabila p dan q bilangan-bilangan cacah maka p = n(P) dan q = n(Q) sehingga p – q = n(P-Q)

PEMBUKTIAN :p = {a,b,c,d} n(C) = {b,c}q = {a,d }

n(P-Q) = p-q n(C) = {a,b,c,d} – {a,d } {b,c } = {b,c} (sama)

n ( A ) = { p, q, r, s } n ( B ) = { r, s } n ( A – B ) ≠ n ( B – A )

maka {(p, q, r, s) - ( r, s ) } ≠ { ( r ,s ) - ( p, q, r, s)}

PENGURANGAN TIDAK BERSIFAT KOMUTATIF

{ ( p, q ) } ≠ { - ( p, q ) }Tidak komutatif

PENGURANGAN TIDAK BERSIFAT ASOSIATIF

n ( A ) = { p, q, r, s }n ( B ) = { q, r, s }n ( C ) = { r, s }

maka :n { ( A – B ) – C } ≠ n { A - ( B – C ) }

[(p,q,r,s) - (q,r,s ) ] - (r,s) ≠ (p,q,r,s) - [(q,r,s) - (q,r)]

( p ) - ( r ,s ) ≠ ( p, q, r, s ) - ( s )

( p ) - ( r, s ) ≠ ( p, q, r )

Tidak asosiatif

PENGURANGAN BILANGAN CACAH TIDAK BERSIFAT TERTUTUP

Pengurangan pada bilangan cacah tidak bersifat tertutup maka agar

bersifat terbuka haruslah a>b

ARTINYANilai yang dikurangi haruslah lebih

besar daripada nilai yang mengurangi

Misalnya: 5-4=1

( : ) adalah lawan dari ( x )

PEMBUKTIAN : p , q , k adalah bilangan cacah

p : q = k q x k = p

JADI p : q = k p = q x k

p / q = k p = q x k

NOTE : karena '" q " pindah ruas maka berubah menjadi kali

PEMBAGIAN BILANGAN CACAH

2. PEMBAGIAN DENGAN NOL TIDAK TERDEFINISIKAN

PembuktianMisal 8 : 0 = p, maka p x 0 = 8

Berapa nilai p ???

Ternyata tidak ada satu pun pengganti p yang memenuhi p x 0 = 8

SIFAT – SIFAT PEMBAGIAN BILANGAN CACAH

Nol ( 0 ) dibagi dengan sembarang bilangan cacah maka akan menghasilkan bilangan cacah yaitu nol.

PEMBUKTIAN : = q, maka p x q = 0Berapa nilai q ???

Ternyata pengganti

Pembuktian : Misal 0 : p q yang memenuhi adalah 0

3. Pembagian tidak bersifat komutatif.

Pembuktian a : b ≠ b : a

Syarat sifat ini yaitu a ≥ b

Nilai pembagi ≥ nilai membagi

4. Pembagian tidak bersifat asosiatif

Pembuktian

(a : b) : c ≠ a : (b : c)

Misal

a = 9, b = 3 dan c = 6.

( a : b ) : c ≠ a : ( c :b )

( 9 : 3 ) : 6 ≠ 9 : ( 6 : 3 )

3 : 6 ≠ 9 : 2 ( tidak sama)

URUTAN BILANGAN CACAH Jika a, b dan c bilangan-bilangan cacah a=b

maka a+c = b+c .Jika a, b dan c adalah bilangan cacah dan a+c

= b+c, maka a=b konvers ini pun bernilai benar puladan dinamakan sifat konversi dari penjumlahan

Jika a, b dan c bilangan-bilangan cacah, dan a+c = b+c, maka a=c . Tetapi, jika a, b dan c bilangan cacah dan axc = bxc adalah konvers yang tidak benar

Jika a, b dan c bilangan cacah dan c erta axc = bxc, maka axb

• Relasi “lebih kecil dari” dan “lebih besar dari” pada bilangan cacah: Jika a dan b bilangan-bilangan cacah, a kurang

dari b (a<b), maka bilangan asli c sedemikian, sehingga a+b=c

Jika a dan b bilangan cacah, a lebih besar dari b (a>b), maka b<a

• Seperti pada relasi “=“, relasi “<“ dan “>” pada bilangan cacah memiliki sifat-sifat sebagai berikut:1.Jika a, b dan c bilangan cacah dan a<b, maka

a+c<b+c2.Jika a, b dan c bilangan cacah dan a+c<b+c,

maka a<b3.Jika a, b dan c bilangan cacah dan c 0 serta

a<b, maka axc <bxc4.Jika a, b dan c bilangan cacah axc<bxc, maka

a<b

Soal pembelajaran1. ( x – y ) : z = ( x : z ) – ( y : z )

Pembuktian( x – y ) => yang dibagi

z => yang membagi( x : z ) – ( y : z ) => hasil operasi

( x – y ) : z = ( x : z ) – ( y : z )

( x – y ) = {( x : z ) – ( y : z ) }. z

(x – y ) = { x ( z : z ) – y ( z : z ) }

( x – y ) = ( x – y )( sama )

( a – b ) – c = a – ( b + c )

Pembuktian( a – b ) => yang dikurangi

c => yang mengurangia – ( b + c ) => hasil operasi

( a – b ) – c = a – ( b + c ){ ( a – b ) – c + ( b + c ) } = a

{ ( a – b ) + b ( c – c ) } = a{ ( a – b ) + b } = a

{ a ( b – b ) } = aa = a

(sama)