MAKALAH MATA KULIAH MECHANICS

“ SISTEM BANYAK PARTIKEL “

Disusun oleh :

Nama : Fitriyana (06091011039)

: Fahjri Asrullah (06091011045)

Program studi : Pendidikan Fisika

Dosen Pembimbing : Moeslim, M.Si

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSTITAS SRIWIJAYA

2010

0

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warrahmatullah Wabarakatuh

Puji dan syukur Penulis haturkan atas kehadirat Allah SWT karena berkat

rahmat dan inayah-Nyalah makalah yang berjudul “kualitas buku teks” ini dapat

terselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada bapak syuhendri selaku

dosen pembimbing serta teman-teman yang telah banyak membantu dalam proses

pembuatan makalah ini.

Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas individu dan tugas diskusi kelompok.

Penulis telah berusaha semaksimal mungkin untuk menjelaskan dan menguraikan hal-

hal yang berhubungan dengan buku teks seperti pengertian buku, criteria buku teks,

bentuk dan isinya.

Namun demikian makalah ini tetap memiliki banyak kekurangan. Oleh karena

itu, kritik dan saran yang membangun sangat Penulis harapkan. Harapan Penulis

semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya.

Wassalamu’alaikum Warrahmatullah Wabarakatuh

Inderalaya, September 2010

Penulis ,

Tim

1

DAFTAR ISI

Kata pengantar…….……………………………………………………....1

Daftar isi……………………………………………………………………2

Pendahuluan..................................................................................................3

Isi

1. Pusat massa......................................................................................4

2. Gerak pusat massa...........................................................................6

3. Momentum sudut, tenaga kinetik sistem.........................................8

4. Impuls dan momentum....................................................................9

5. Momentum dan tumbukan...............................................................9

6. Kesimpulan…………………………………………………….....14

Daftar Pustaka………………………………………………………......15

2

PENDAHULUAN

Semua benda di bumi ini terdiri dari banyak partikel. Bahkan debu-pun terdiri

dari partikel-partikel. Semua yang ada di bumi ini dapat ditinjau dengan mekanika

newton.Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang

berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam

formulasi Hukum Newton tentang gerak. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum

mekanika pada sistem partikel dan benda benda yang terdiri dari partikel yang kontinyu

(benda tegar).

Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel

hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja,karena secara logika,jika suatu

partikel bergerak rotasi maka partikel itu tidak akan terlihat bergerak rotasi melainkan

akan tetap terlihat bergerak lurus saja.Hal ini dikarenakan partikel tersebut sangat kecil.

Sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak

rotasi yaitu gerak mengelilingsuatu poros ataupun mengalami gerak keduanya secara

serempak yaitu translasi-rotasi.

3

SISTEM BANYAK PARTIKEL

sistem banyak partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari banyak

partikel (titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang dianggap

tersebar secara kontinyu pada benda.

1. Pusat MassaPusat massa adalah lokasi rerata dari semua massa yang ada di dalam suatu

sistem. Istilah pusat massa sering dipersamakan dengan istilah pusat gravitasi, namun

demikian mereka secara fisika merupakan konsep yang berbeda. Letak keduanya

memang bertepatan dalam kasus medan gravitasi yang sama, akan tetapi ketika

gravitasinya tidak sama maka pusat gravitasi merujuk pada lokasi rerata dari gaya

gravitasi yang bekerja pada suatu benda. Hal ini menghasilkan suatu torsi gravitasi,

yang kecil tetapi dapat terukur dan harus diperhitungkan dalam pengoperasian satelit-

satelit buatan.

Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut

r⃗ pm=m1 r1+m2

r2+ …+¿mn rn

m1+m2+…+mn

=∑ imiri

M¿.........(1)

Dengan r⃗i adalah posisi partikel ke-i di dalam sistem, dan. M=∑i

mi.........

(2)

4

Lihat gambar di samping. Dengan mengganti

r⃗i = r⃗ pm + r⃗i di mana r⃗i adalah posisi partikel

ke-i relatif terhadap pusat massa, maka pers.

Menjadi

r⃗ pm=∑ imi ( r⃗ pm+r⃗i )

M= r⃗ pm+

∑ i mi r⃗i

M....(3)

r⃗ pm=∑ imi ( r⃗ pm+r⃗i )

M= r⃗ pm+

∑ i mi r⃗i

M........(4)

sehingga dapat disimpulkan bahwa

∑i

mi r⃗ i=0 .......(5)

Bila bendanya bersifat kontinyu, maka menjadi fungsi pusat massa akan menjad

integral;

Jika diuraikan pada komponene x,y,z maka;

x pm=∑i=1

n

m1 x1

M, y pm=

∑i=1

n

m1 y1

M, z pm=

∑i=1

n

m1 z1

M

.........(7)

Kecepatan masing-masing partikel penyusunnya;

v pm=∑

i

n

mi v i

M

........(8)

2. Gerak Pusat Massa

5

r⃗ pm=∫ r dmM

=∫ r ρ (r ) dvM

....(6)

dengan dm adalah elemen massa pada posisir⃗�i

ρ (r )=rapat massa pada posisi r

dm= ρ (r )dv → elemenmassa dalam

elemen volume pada posisi r

Gerak pusat massa dapat diperoleh melalui definisi pusat massa. Kecepatan pusat

massa diperoleh dari derivatif persamaan pusat massa;

v⃗ pm=∑ i mi r⃗i

M.......(9)

Dari persamaan ini, setelah dikalikan dengan M, diperoleh

M v⃗ pm=∑i

mi v⃗ i=∑i

p⃗ i..........(10)

Besaran M v⃗ pm yang dapat kita anggap sebagai momentum pusat massa, tidak lain

adalah total momentum sistem (jumlahan seluruh momentum partikel dalam sistem).

Dengan menderivatifkan pers.diatas terhadap waktu, diperoleh

M a⃗pm=∑i

d p⃗ i

dt=¿∑

i

F⃗i ¿ ........(11)

dengan F⃗ i adalah total gaya yang bekerja pada partikel ke-i. Persamaan di atas

menunjukkan bahwa gerak pusat massa ditentukan oleh total gaya yang bekerja pada

sistem.

Gaya yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, gaya

internal yaitu gaya antar partikel di dalam sistem, dan gaya eksternal yaitu gaya yang

berasal dari luar sistem. Untuk gaya internal, antara sembarang dua partikel dalam

sistem, i dan j misalnya, akan ada gaya pada i oleh j dan sebaliknya (karena aksi-reaksi),

tetapi

F⃗ ij+ F⃗ ji=F⃗ ij−F⃗ij=0 .........(12)

Sehingga jumlah total gaya internal pada sistem akan lenyap, dan

M a⃗pm=∑i

F⃗ ieks=F⃗eks .........(13)

6

Jadi gerak pusat massa sistem hanya ditentukan oleh total gaya eksternal yang bekerja

pada sisem. Ketika tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada suatu sistem, maka

ddt ∑i

p⃗i=0........(14)

Atau berarti total momentum seluruh partikel dalam system konstan,

3. Momentum Sudut, Tenaga kinetik sistem

Vektor posisi dan kecepatan partikel ke- i dalam sistem banyak dapat dinyatakan

sebagai;

r⃗i= r⃗ pm+ r⃗ipm

dan

v⃗ i=v⃗ pm+ v⃗ipm

Dimana dan masing- masing adalah vektor posisi dan kecepataan partikel ke- i

terhadaap pusat massa. Dari persamaan- persamaan (1), (5), (14) diperoleh

∑ mi r⃗ i=0⃗ ..........(15)

Dan

∑ mi v⃗ i=0 ...........(16)

Persamaan (15) dan (16) menyatakan bahwaa vektor posisi dan kecepatan sistem

terhadap pusat massanya ( terhadap dirinya sendiri) adalah nol.

Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan sebagai,

L⃗=∑ r⃗i x mi v⃗ i ........................(17)

7

L⃗=r⃗ ipm x M v⃗ pm+∑ r⃗ipm x mi v⃗ ipm......(18)

Suku pertama ruas kanan persamaan berasal dari gerak pusat massanya, sering disebut

momentum sudut orbital atau lintasan, dan suku keduanya berasal dari gerak partikel-

partikel penyusun terhadap pusat massanya, sering disebut momentum sudut spin.

Apabila ada torsi ( moment gaya) eksternal yang bekerja pada sistem makaa berlaku

persamaan,

τ eks=∑ τ⃗ i=˙⃗L ...............(19)

Yang berarti pula jika resultan torsi eksternal nol, maka momentum sudutnya kekal,

sebagai hukum kekekalan momentum sudut.

Tenaga kinetik sistem banyak partikel didefinisikan sebagai,

K=∑ K i=∑ 12

mi(v⃗ j . v⃗ i) .................(20)

Dengan persamaan (13) (14) (16) tenaga kinetik sistem dirumuskan menjadi,

K=12

M v pm+∑ 12

mi v ipm ................(21)

Atau

K=K pm+K (pm) ...................(22)

Merupakan penjumlahan dari tenaga kinetik pusat massa dan tenaga kinetik partikel-

partikel penyusun terhadap pusat massanya.

4. Impuls dan Momentum

Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul, tongkat bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada

8

waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada bola. Gaya yang cukup besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini disebut gaya impulsif.

Dari hukum ke-2 Newton diperoleh

F=dpdt

∫ti

tf

Fdt=∫pi

pf

dp

I=∫ti

tf

Fdt=∆ P=impuls

Dilihat dari grafik tersebut, impuls dapat dicari dengan menghitung luas daerah di

bawah kurva F(t) (yang diarsir). Bila dibuat pendekatan bahwa gaya tersebut konstan,

yaitu dari harga rata-ratanya, Fr , maka

I=F r ∆ t=∆ p

F r=I

∆ t=∆ p

∆ t

“ Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel “.

4. Kekekalan Momentum dalam Tumbukan

9

m 1 m 2

V 2V 1

F 12 F 21v2'

v1'

m 1

bertumbukan

Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat bertumbukan kedua partikel saling

memberikan gaya (aksi-reaksi), F12 pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F21 pada partikel

2 oleh partikel 1.

Perubahan momentum pada partikel 1 :

∆ p1=∫ti

tf

F12 dt=F r12 ∆t

Perubahan momentum pada partikel :

∆ p2=∫ti

tf

F21 dt=F r21 ∆ t

Karena F21 = - F12 maka Fr21 = - Fr12 oleh karena itu p1 = - p2

Momentum total sistem : P = p1 + p2 dan perubahan momentum total sistem :

∆ P=∆ P1+∆ P2

“Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidak mengubah momentum total sistem”.

selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gaya gesek) sangat kecil dibandingkan dengan gaya impulsif, sehingga gaya eksternal tersebutdapat diabaikan.

o Tumbukan satu dimensi

a.Tumbukan lenting sempurna

Tumbukan biasanya dibedakan dari kekal-tidaknya tenaga kinetik selama proses.

Bila tenaga kinetiknya kekal, tumbukannya bersifat elastik. Sedangkan bila tenaga

kinetiknya tidak kekal tumbukannya tidak elastik. Dalam kondisi setelah tumbukan

kedua benda menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik

sempurna.

10

m 2

Sebelum tumbukan sesudah tumbukan

m1 m2 m1 m2

v1 v2 v’1 v’2

Dari kekekalan momentum :

m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2

Dari kekekalan tenaga kinetik :

12

m1 v12+

12

m2 v22 =

12

m1v’12 +

12

m2v2’2

Koefisien restitusi e=1

e=−(v '

1❑−v '

2❑)

(v1−v2❑)

b. Tumbukan tidak lenting sama sekali

Dari kekekalan momentum :

m 1 m 2 m 1+m 2

v1 v2 v '

m1 v1 + m2 v2 =( m1+ m2 ) v’

dengan koefisien restitusi e = 0. Kekekalan tenaga mekanik tidak berlaku,

berkurang/bertambahnya tenaga mekanik ini berubah/berasal dari tenaga potensial

deformasi (perubahan bentuk).

c. Tumbukan lenting sebagian

11

V1 > v2

Setelah tumbukan kedua benda berpisah, energi kinetik hilang dan momentum tetap.

Dari kekekalan momentum :

m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2

dengan koefisien restitusi 0 ≤ e ≤1

o Tumbukan dua dimensi

y sesudah

sebelum bertumbukan m1

v’1

θ1

θ2 x

Dari kekekalan momentum , untuk komponen gerak dalam arah x : m2 v’2

m1 v1 + m2v2 = m1(v’1 cos 1)+ m2(v’2 cos 2)

untuk komponen gerak dalam komponen y :

0 = m1v’1 sin 1- m2v’2 sin 2

Dalam tumbukan dua dimensi juga terdapat tumbukan lenting sempurna,lenting

sebagian, dan tidak lenting sama sekali.Bila dianggap tumbukannya lenting :

12

m1 v12 +

12

m2 v22 =

12

m1v’12 +

12

m2v2’2

12

m 1

KESIMPULAN

o sistem banyak partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari

banyak partikel (titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-

partikel yang dianggap tersebar secara kontinyu pada benda.

o Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai

berikutr⃗ pm=m1 r1+m2

r2+ …+¿mn rn

m1+m2+…+mn

=∑ imiri

M¿

o Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan sebagai,

L⃗=∑ r⃗i x mi v⃗ i , L⃗=r⃗ ipm x M v⃗ pm+∑ r⃗ipm x mi v⃗ ipm

o Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel

I=F r ∆ t=∆ p, F r=I

∆ t=∆ p

∆ t

o Tumbukan dapat dibagi menjadi tiga yaitu tumbukan lenting sempurna,

tumbukna lenting sebagian, dan tumbukan tidak lenting sama sekali.

13

DAFTAR PUSTAKA

o Riyanto.http//riyanto.wordpress.com. diakses pada tanggal 19 november 2010

o Supliyadi.2009.Fisika program IPA.jakarta: Grasindoo Sistem partikel pdf.www.google.com. diakses pada tanggal 19 november

2010

14