sistem n partikel identik ( fisika kuantum )

8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )

1/24

SISTEM N PARTIKEL IDENTIK

Sistem N partikel di nyatakan dengan fungsi gelombang: ( x1, x2, ., xN)

Keadaan ternormalisasi:

dx1 dx2 . dxN( x1, x2, ., xN)2= 1

( x1, x2, ., xN)2 adalah generalisasi dari (x)

artinya: probabilitas menemukan patikel 1 pada x1, partikel 2 pada x2, dan

partikel N pada xN.

Hamiltonian sistem N partikel:

H==

N

i 1 im

Pi

2

2

+ V(x1, x2, ., xN)

H= - ( 2221 ximi ++ 22

2

1

NN xm

) + V(x1, x2, ., xN)

SISTEM 2 N PARTIKEL IDENTIK

Tinjau sistem 2 partikel identik, t berinteraksi satu dengan yang lain di namakan

partikel 1 dan partikel 2.

(inti) )E1)E2

Partikel sistem t saling berinteraksi, maka fungsi Hamilton total sistem adalah:

(1,2) = (1)+(2)..(1)

Parsamaan Schrodinger sistem 2 partikel:

(1,2) (1,2)= (E1 + E2) (1,2)(2)

(1,2) adalah fungsi diri sistem 2 partikel identik.Ada 4 macam bentuk (1,2) yang memenuhi persamaan (2):1). (1,2) = (1) (2)2). (1,2) = (2) (1)

3). (1,2)=2

1[ (1) (2) + (2) (1)]

4). (1,2)=2

1[ (1) (2) - (2) (1)]

Cek! Ke-4 nya memenuhi persamaan (2)?


2/24

(1,2) = (1) (2) (1,2) (1,2) = [( 1 + 2)] (1) (2)

= (1) (1) (2) + (2) (1) (2)= (E1 + E2) (1) (2)=(E1 + E2) (1,2) memenuhi pers.(2)

Diantara 4 kemungkinan (1,2) manakah yang merupakan fungsi diri 2partikel identik?

cek dengan operator 12(penukar partikel 1 dengan 2)

(i) 12 (1,2) (1,2)= 12 (E1 + E2) (1,2)= (E1 + E2)

12 (1,2)(*)

(ii) (1,2) 12 (1,2) = (1,2) (1,2)= (1,2) (1,2)= (E1 + E2) (1,2)=(E1 + E2) (1,2)=(E1 + E2) 12 (1,2)(**)

Dari (*) dan (**): 12 (1,2) = (1,2) 12

[ 12, (1,2)] = 0

KOMUTHarus di pilih fungsi diri bersama bagi operator 12 dan (1,2)

Misal (1,2) adalah fungsi diri 12 dengan nilai diri : 12 (1,2) = (1,2)

122 = 12 . 12

12 (1,2) = 12 12 (1,2)= 12 (1,2)= 12 (1,2)

= (1,2)

Karena setiap permutasi dua kali harus kembali ke keadaan semula, maka nilai 2harus sama dengan 1.

2=1 = +1 dan = -1

s (1,2) a (1,2)(simetri) (antisimetri)


3/24

Untuk sistem 2 partikel identik, 1 partikel dalam keadaan , lainnya dalamkeadaan , maka fungsi gelombang simetri dan anti simetri yang mungkinadalah:

s (1,2)=2

1{ (1) (2) + (2) (1)}

a (1,2)=2

1{ (1) (2) - (2) (1)}

FERMION, PRINSIP EKLUSI PAULI, ENERGI FERMI

FERMION

memenuhi statistika Fermi Diracuntuk sistem 2 fermion identik, bentuk fungsi gelombang adalah:

a (1,2)=!2

11 (1) 1(2)

2 (1) 2(2)

Bila 2 fermion ( elektron ) berada dalam keadaan yang sama dan energi yangsama maka determinan = 0.

Jadi suatu keadaan yang energinya tertentu, dengan momentum sudut samadan spinnya berbeda, hanya dapat di isi oleh 2 elektron.

Di kenal dengan prinsip eklusi pauli1. Tidak terdapat 2 elektron dalam sebuah atom yang dapat berada dalam

keadaan kuantum yang sama. Masing masing elektron dalam sebuah atom

harus memiliki kumpulan bilangan kuantum n, l, mldan ms yang berbeda.

2. Elektron pada atom H pada keadaan normal berada pada keadaankuantum terendah.

Apakah 92 e- pada uranium juga berada dalam keadaan kuantum yang sama?

Tidak Mungkin! Mereka akan berdesakan dalam 1 orbit mengelilingi inti.

Ada perbedaan yang sangat besar terhadap sifat kimia unsur yang hanyamemiliki struktur atomik yang berbeda 1 e- saja.

Contoh:

9F, 10Ne, 11Na

halogen gas mulia logam

Jika seluruh e- berada dalam keadaan kuantum yang sama maka akan sulitbagi kita untuk menjelaskan mengapa ada perbedaan sifat ketika jumlah e-

berbeda.

Prinsip eklusi pauli memiliki konsekuensi bahwa: keadaan dasar bagi N elektron dalam suatu medan potensial sangat berbeda

di bandingkan keadaan dasar untuk N boson.


4/24

Untuk lebih jelasnya tinjau N buah partikel identik dalam sumur potensial tak

berhingga:

V(x)

0 1

V(x)= ; x


5/24

E dnnmb

N

n

=

2/

1

2

2

22

2/1

3

2

22

3

1 Nn

mb

3

12

22

mb

[(

2

N)3-12]

4.2

3

2

22N

mb

Energi per partikel ( fermion ):

N

E=

4.2

3

2

22N

mb

Fermion 1 dimensi kerapatan fermion =

b

N

Energi Fermi ( Ef)

Energi pada saat n =2

N

Ef= En ( pada n =2

N)

Ef= ( )2

22

22

N

mb

=2

222

8 b

N

m

=

m8

22 2

Tambahan:

Perbedaan s dan a : s : kedua partikel 1 dan 2 dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama

secara serentak ( = )

a : jika = berarti a = 0, artinya kedua partikel tidak dapat beradadalam keadaan kuantum yang sama, sehingga sehingga a 0.

Sehingga jika kita bandingkan dengan prinsip eklusi pauli maka berarti sistem

elektron ( fermion ) harus di berikan oleh fungsi gelombang antisimetri ( tandanya

berlawanan ) jika terjadi pertukaran tiap pasang elektron.

MOMENTUM SUDUT

Operator Momentum Sudut


6/24

Nilai diri dan fungsi diri

*. Persoalan elektron dalam medan potensial sferik*. Atom Hidrogen

*. Rotasi Molekul


Momentum sudut secara klasik:

L = pxr

( ) ( ) ( )xyzxyZ Y PX PkX PZ PjZ Py PiL ++= (1)

liniermomentump

posisivektorr

:

:

Komponen komponen Operator L dalam koordinat kartesian:

yzX PZPYL =

=

yz

iZiY

zXY PXPZL =

=

zx

iXiZ

xYZ PYPXL =

=

xy

iYiX

Operator Momentum Sudutkoordinat bolaTinjau:

Hubungan koordinat kartesian dengan koordinat bola

2222

cos

sinsin

cossin

zyxr

rz

ry

rx

++=

===

(*)

Pernyataan komponen L dalam koordinat bola

=

yz

X ZYiL

=zx

Y XZiL

=

xY

Z YXiL


7/24

Dari persamaan(*) di peroleh:

dzz

dyy

dxx

d

dzz

dyy

dxx

d

dzz

rdy

y

rdx

x

rdr

drdrdzdcrdrdrdy

drdrdrdx

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=++=

+=

sincoscossinsincossinsin

sinsincoscoscossin

(**)

)(0sin

cos

)(sin

cossincos

1sinsin

)(.sin

sincoscos

1cossin

iiirr

zzrz

r

z

iirrr

yyry

r

y

irrr

xrx

r

x

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

+

=

(i), (ii), dan (iii)substitusi ke persamaan komponen momentum sudutzyx LLL,, sehingga di peroleh:

+

=

++=

=

=

+

=

2

2

2

22

2222

sin

1sin

sin

1

sincotcos

coscotsin

L

LLLL

iL

giL

giL

zyx

z

y

x


Dalam

Koordinat Bola

Bagaimana fungsi diri dan nilai diri Operator ZL ?


8/24

Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator ZL

= iLz

Misal Fungsi diri ZL adalah ( ) :u

Persamaan Nilai Diri

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

zLi

m

z

z

z

zz

eNu

solusi

uiLd

du

uiLu

uLui

uLuL

=

=

=

=

=

u( )harus fungsi berharga tunggal( ) ( )

( )

( )

zz

zz

Li

Li

Li

m

Li

m

ee

eNeN

uu

=

=

=+

+

+

2

2

2

1

2

..

=

zLie

Nilai diri operator ,......1,0 == mmLL zz

( )

im

meNu =Berapa?

Syarat Normalisasi:


9/24

()()

2

1

1

1.

1*

2

0

2

2

0

2

2

0

=

=

=

=

m

m

imim

m

N

dN

deeN

duu

Fungsi Diri Operator zL

Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator zL :

+

= 2

2

2

2

sin

1sin

sin

1

zL

Misal Fungsi Diri Operator zL Y ( , )Persamaan Nilai Diri:

2L Y ( , )= 2 Y ( , )

Nilai Diri

+

2

2

2

2

sin

1sin

sin

1

Y ( , )= 2 Y ( , )

[ ] 0,; 2 =

= zz LLiL

zLL,

2 saling komut berarti

Y ( , )Fungsi Diri bersama bagi zLL 2 +

Kita Pilih:

Y ( , )= ( )

im

m eP2

1

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ))(0

111

2

01

1

sin,cos:

)........(sin

1sin

sin

1

)......(,,

2

2

222

2

2

22

2

2

2

iiiPm

d

dP

d

Pd

Pm

d

dP

d

d

ddkanDidefinisi

iiPP

iYmYL

mm

mmZ

=

+

=

+

==

=

+

=

Fungsi P memiliki singularitas di titik = 1Penyelesaian di dekat +1,


10/24

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] )......(...1111

)......(0141

1

2

210

2

2

22

2

iiiiiaaaP

iiiiPm

d

dP

d

Pd

+++=

=

Substitusi (iiiii) ke (iiii) kemudian menyesuaikan koef.suku ( )1 diperoleh:

( )

2

.......(*)04

12

0

m

ma

=

=

+

Untuk ( ) ( ) ( )[ ]....112

102

1

0++== aaP

m m

Untuk ( ) ( ) ( )[ ]....1''12

10

21 ++==

aaP

m m

Bantuan matematis memperoleh pers(*):

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]......12.321....121

121....1111

...121....111

...111

0141

1

3221

1

21

12

210

2

2

2

212

210

1

2

210

2

2

2

2

++++

+++=

++++=

+++=

=

aaaa

aaaaad

Pd

aaaaad

dP

aaaP

Pm

d

dP

d

Pd

( ) 21 ( ) 11

2

2

d

Pd ( ) 01 a+ ( ) 111 aa +

( ) ddP

11

oa 11 aa +

( )P

m2

2

14 0

2

4a

m 1

2

4a

m+


11/24

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ).....(......111

)....(0141

1

,1...

2

4

04

04

1

0

4

1

10

2

2

2

2

22

22

2

0

0

2

00

viiibbP

v iiPm

d

dP

d

Pd

deka t d ianPenyelesa i

m

m

m

ma

am

aa

+++=

=+

+

=

=

=+

=

+

=+

Substitusi (viii) ke (vii) & lakukan penyamaan koefisien bagi suku

( ) :1 2diperoleh

2

m=

Untuk ( ) ( ) ( )[ ].......112

102

1

0++++=+= bbP

m m

Untuk ( ) ( ) ( )[ ].......1''12

10

21 ++++==

bbP

m m

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) diterimaPP

anpenyelesaisbgditerimatdivergenPP

10

1

0

11

&

)..(&

Penyelesaian pers(iii):

P m( )= ( ) ( )1

0

1 PPo

= ( ) ( ) ( ) mmm

Z22 11 +

= ( ) ( ) )......(1 22 ixZ mm

Substitusi (ix) ke (iii) diperoleh:

( ) [ ] ( )[ ] )....(011212

22 xzmm

d

dzm

d

zd=+++


12/24

Penyelesaian dalam bentuk deret:

( ) ).....(0

xiaz k

kk

=

=

Substitusi (xi) ke (x):

( )( ) ( )( )[ ] )......(112 2 xiiamkmkakk kk +++=++ +

Fungsi z( ) harus terbatas pada domain:

-1 +1 atau 0

Deret akan berhenti bila nilai pers(xii) di pilih bernilai:( )

lm

m

k

mkl

ll

=

=

+=

+=

2,1,0

,.....2,1,0

1

*Nilai diri operator 2L adalah l(l+1)2

Fungsi diri operator 2L :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

,1,

:..

.1.2

1

..1

2

1,

22

2

22

m

l

m

l

l

l

l

ll

lm

mmm

l

imm

llm

m

l

YllYL

DiriNilaiPersamaan

LegendrePolinomd

d

lP

sekawanLegendrePolinomPd

dP

ePNY

+=

=

=

=

*Normalisasi Fungsi Diri ( ),mlY .Syarat Normalisasi: 1= dY

m

l


13/24

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] ( )

( )[ ]

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )*

21

'

4

1

21

1

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

0

2

1

!

!.

2

12

2

11,

!

!

2

12

':0,':

!

!

12

2

).......(1

1coscos

12.sincos2

1sin2

ml

mml

imml

mml

lm

ml

ml

mllm

mllm

ml

lm

ml

lm

YY

ePml

mllY

ml

mllN

llll

ml

ml

l

dPP

xiiidPN

dPN

dPN

ddPN

=

++

=

++

=

=

+

+=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Contoh Fungsi Diri ( ),mlY :

( )( )( )

( )

( )( )( )( )( )Y

Y

Y

Y

Y

eY

Y

eY

keadaanY

i

i

sin396

5,

sin324

5,

cos2

3

4

5,

sin324

5,

sin396

5

,

sin8

3,

cos4

3,

sin8

3,

4

1,

2

2

1

2

20

2

1

2

22

2

1

1

0

1

1

1

0

0

+=

=

=

=

=

=

=

=

=

*Pemilihan sumbu z adalah sembarang dengan nilai diri komponen momentum

sudut terhadap arah z yang sembarang tersebut adalah m .


14/24

*Nilai diri mLL yx & karena masing masing operator zyx LLL &, tidaksaling komut.

BUKTI

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]xyzzzYzz

zxyzyx

PZPZPXPYPXPZPXPY

PXPZPZPYLL

,,,,

.,

+=

=

( 1) (2)

.[ ] [ ] [ ] [ ]

0

,,,,

,,,).1(

0000

=

+++=

+=

zzzzzzZ

zzzzzz

PPYXPPXYPPXYXPY

PPYXPXPYPXPY

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] komuttidakLiLL

Li

PYPXi

PYiPXi

PPZXPPXZ

PPXZPPZPPYZPPZYPPZYPPY

PPZXPXPZPPYZPZPY

PXPZPZPYLL

PXPZPZPYLL

PPZZPPZZPPZZPZPZ

PPZZPZPZPZPZ

zyx

z

xy

xy

y

i

zzy

zyzxyzxxzxzx

i

zz

zyzyxzxz

zyxzyx

zyxzyx

yxxyxyxy

xyxyxy

.,

,,

,,,,,

,,,

,,

,,

0

,,,

,,).2(

0

00000

,

,

,

,

0000

,

,

=

=

=

=

++

+++++=

+++=

+=

+=

=

+++=

+=

Dengan cara serupa:

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )

,,

,1,

,

,

22

m

l

m

lz

m

l

m

l

yxz

xzy

YmYL

YllYL

LiLL

LiLL

=

+=

=

=

Besar momentum sudut partikel di batasi oleh bilangan diskrit ( ) .1+ll Sebuah partikel dalam salah satu keadaan memiliki komponen momentum

sudut arah sumbu z sebesar m dengan m adalah salah satu dari:


15/24

-l, -l+1,,0,1,2,l

Contoh: untukl=2Maka m= -2, -1, 0, 1, 2

( ).1+ll = 6Momentum sudut

Untukl=2

Nilai l maks = 2Nilai L= 6

Berlaku:

k es e l u r u n t u k Llz

..Nilai lz tidak mungkin menyamai L artinya momentum sudut L tidak pernah dapat

di sejajarkan dengan sumbu z dan selalu membentuk sudut .

( )1cos

cos

1

1

+=

=

ll

m

L

lz

Nilai sudut akan minimum apabila m terbesar yaitu = l.

Misal: l=201

min 3,35)12(2

2cos =

+=


16/24

OPERATOR PENAIK & PENURUN

( )+ LL &

Didefinisikan:yx

yx

LiLL

LiLL

=

+=

+

( (

( )( )

[ ][ ] ( )[ ] [ ] [ ]

[ ]

+

+

+

+

+

+

+

=

+=

+=+=

=

++=

+=

++=

+=

+=

++=

+=

L

LiL

LLiLLLLiLLL

LLL

Tinjau

LLLL

atauLLLL

LLLL

LLL

LiLLiLLL

LLL

LiLLiLLL

yx

zyzxzyxz

Zz

zz

zz

zyx

zyx

yxyx

zyx

yxyx

,,,,

2,

!

2

2

2222

22

22


17/24

[ ] ( )[ ][ ] [ ]

[ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ]( )[ ]

( )ml

m

l

m

l

zzyx

z

y

zyyzyzzy

zxzxzzyxyxyy

xzxyxx

xzyxx

yx

yx

z

YllL

YLLYLL

berlakumakadiataskomutasisifatsifatnBerdasarka

CEK

LLLL

LL

LL

LL

samayangcaradengan

LLiLLiLLiLLi

LLLLLLLLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLiLL

LiLLLL

LLL

2

22

222

2

2

2

22

0

2

2222

(**)

2

(*)

2

22

1

:.,...

!0

,

0?,

0,

0,(*)

:...

0

,,,,

,,,

,,

,,

,

,

+=

=

=

++=

=

=

=

++=

+++=

++=

++=

=

=

=

[ ]

m

l

m

l

m

l

m

lz

m

lz

m

lz

YLYLm

YLYLL

YLLLYLL

++

++

+++

+=

+=

+=

)2(

mlYL+

adalah fungsi diri bagi operator zL dengan nilai diri m di naikkan dengan

1.

( ) mlm

l YLllYLL += 122

( ) mlm

lz YLmYLL ++ += 1


18/24

[ ]

ml

ml

m

l

m

lz

m

lz

m

lz

YLYLm

YLYLL

YLLLYLL

=

=

=

)3(

mlYL

adalah fungsi diri bagi operator zL dengan nilai diri m di turunkan dengan

1.

Bagaimana dengan ? m

lYL( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) mlm

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

lz

m

l

m

lz

m

l

m

l

m

l

ml

zz

ml

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

m

l

YmmllYL

YmmllYL

mmllmlC

mmll

YYmYYmYYll

YLYYLYYLY

YLLLYC

CYLLY

YYCYLYL

YmlCYL

YmlCYL

dicariakan

komplekstakonsYC

YmlCYL

11

11

11,

1

1

,

,

!.

.tan:

,

_

2222

2222

22

222

2

112

1

1

1

1

+=

++=

+=

+=

+=

=

=

=

=

=

=

=

+

+

PARTIKEL dalam MEDAN POTENSIAL SIMETRIS SFERIS dan ATOM

HIDROGEN

Pembahasan:

1. Gerak partikel karena pengaruh medan potensial sferispotensial ( )rV yangkuat medannya pada suatu titik hanya bergantung pada r dari titik pusat.

( ) mlm

lz YLmYLL = 1


19/24

2. Kasus khusus untuk atom hidrogen. ( )rV di sebabkan oleh tarikan Coulombantara inti dan elektron.

SEBUAH PARTIKEL DLM MEDAN POTENSIAL SIMETRIS SFERIS.

Persamaan Schrodinger bagi sebuah partikel massa me yang bergerak di bawah

pengaruh medan potesial simetris sferis.

( ) ( ) ( )

( )

EnergiE

dirifungsirU

rEUrUrVm

e

ee

e

:

.:,,

)1......(,,,,2

22

=

+

Laplacian 2 dalam koordinat bola:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ]

[ ]:)4(.......,.

0,

:..

)5(..........0,

..)4(..

)4.....(,,,,2

1

2

:.).3(.

sin

1sin

sin

1:

)3.......(,,,,

sin

1sin

sin

11

2

:)1.().2(.

)2....(sin

1sin

sin

11

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

222

2

2

2

2

2

222

2

2

2

perssolusibersamadirifungsimemilikiHdanLLJadi

LL

LdengankomutL

LH

LdengankomutpersamaanpadaH

rEUrUrVrm

L

rr

rrm

ditulisdapatpersmaka

LDiket

rEUrU

rVrrr

rrrm

kepersSubstitusi

rrrr

rr

z

z

z

EE

H

ee

EE

e

=

=

=

++

+

=

=

+

+

+

+

+

=


20/24

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=++

+

=

=

=+

++

=

++

=

=

=

+

++

=

+

++

+=

=

cos1

:sin..&

sin1

:..

....

012

:

2

012

2

11

2

:.).8.(

...2

0...1

:..

.:

)..(.:,

)8.......(2

11

2

,,

2

1,

1

2

:)4(..)7(&)6(

)7.....(,1,

!

....:

)6.......(,,,

2

2

2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

22

l

l

l

l

l

e

e

nene

e

ne

e

m

ne

ne

ne

m

l

nene

e

ne

e

m

len

m

lne

e

m

lne

e

m

l

m

l

ne

m

lneE

d

dn

gularnonsolusi

d

dJ

regularsolusiDengan

sferisBesselfungsimerupakansolusi

RRll

d

dR

d

kd

krkandidefinisi

kEm

rRkrRr

ll

dr

d

rdr

d

rERrR

rm

llrR

r

r

rrm

ditulisdapatpers

r

ZerVHatomuntukrR

rVbebaspartikeluntukrR

rVpadabergantung

radialfungsirR

sebelumnyadiperolehsudahangularfungsiY

rERrRrVrm

llrR

rr

rrm

YrERYrR

rVrm

llYrR

rr

rrm

persamaankemasukPers

YllYL

INGAT

rpadabergantungyangfungsirR

YrRrU

Beberapa fungsi:


21/24

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

sin3

cos13

;cos3

sin13

sincos;cossin

cos;

sin

232232

2121

00

=

=

==

==

nJ

nJ

nJ

ATOM HIDROGEN

V(r): tarikan coulumb antara inti yang bermuatan Ze+ dengan sebuah elektron

yang bermuatan e.

( )

0

22

2

0

2

4

)9.....(4

ee

r

Ze

r

ZerV

m

m

=

==

r: jarak antara elektron dengan inti.

Bila elektron berada pada jarak jauh tak berhingga terhadap inti maka energi

potensial sistem elektron inti adalah Nol.

Persamaan(8) menjadi:

( )] ( ) ( ) ( )10.....

2

1

22

2

2

2

2

rRErRrm

ll

r

Ze

rr

rrmnlnenl

e

m

e

=+

+

Pemilihan energi acuan nol di jarak t- tak berhingga memberikan energi keadaan

terkungkung (Bound State) bernilai negatif.

nene EE =

Didefinisikan:

r

Zm

E

mZe

Em

n

n

eme

ne

em

neen

=

=

=

=

2

221

2

22

2

2

8

Persamaan (10) menjadi:


22/24

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

==

=+

++

=

+

+

=

++

+

=

++

+

=

++

+

=

++

&0..

11...........01

4

21

01

4

11

04

414

2

44

04

414

16

844

018

148

8

4

1

2

222

22

2

2

22

2

221

2

2

2

2

221

2

2

2

2

2

2

221

2

2

2

2

2

2

222

2

2

diCEK

RllRR

d

dR

d

Rd

Rll

d

d

d

d

Rll

E

mZ

d

d

d

d

RllEm

E

Z

d

d

d

d

Rrm

E

llEm

E

Ze

d

d

d

d

rE

m

RRrmE

ll

rE

Ze

rd

dr

rd

d

rmR

ne

nl

ne

eem

nl

nee

ne

em

ne

ene

nee

ne

m

ne

e

nene

enene

m

enl

Di dekat = , persamaan (11) dapat di dekati sbb:

0

4

12

2

= R

d

Rd

Penyelesainnya adalah: 2

= eR

Penyelesaian 2

e tidak dapat di terima sebagai fungsi diri, karena nilainya

menjadi tak berhingga ketika .

Penyelesaian lengkap pers.(11) di andaikan berbentuk:

( ) ( )12.........2

= eLR S d

( ) ).(.... 002

210polinomsuatuaaaaLdengan ++++=

Dalam hal ini 00 a dan s adalah bilangan positif.(Bila s


23/24

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 232122

2

2

21212122

2

2

2221

4

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

++

++=

++=

esLd

dLeeLs

d

dLe

d

Lde

d

dLeseLs

d

dLeseLss

d

Rd

eLd

dLeeLs

d

dR

shssss

ssss

sss

maka pers(11) menjadi:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )13..........011112

012122

01

4

1

2

22

24

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

22

2

2

22

22

22121212

222212

2

2

221212122

=++++++

=++++++

=+

++

++

+++

Lllsssd

dLs

d

Ld

LsLLsssLLllLd

dL

d

dLs

d

dL

d

Ld

eLll

eLeLeLd

dLeeL

seLd

dL

eeLsd

dL

ed

Ld

ed

dLeseLs

d

dLeseLs

s

ssss

sssss

sssss

Agar pers(13) tetap berlaku pada 0= maka haruslah:( ) ( ) 011 =++ lls sehingga s=latau s= -(l+1).-(l+1) tidak dapat di terima sebagai penyelesaian ( )R karena l 0.Yang diterima adalah s= lsehingga pers(13) menjadi:

( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ...2111...3.22

.......1...32

.......

14.........0112

0112

20

1

1

2

322

2

1

12

321

2

210

2

2

2

22

++++++++=

+++++++=

+++++=

=+++

=+++

+

+

+

vv

v

v

v

v

v

v

v

v

v

avvavvvavaad

Ld

avsvaaaad

dL

aaaaL

ld

dLl

d

Ld

ld

dLl

d

Ld


24/24

sistem n partikel identik ( fisika kuantum )

Documents