bab6 kinetik sistem partikel

5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 1/14

6INETIK SISTEM PARTIKEL

6.1. PRINSIP NEWTON UNTUK SISTEM PARTlKEL

Sebelum kita menentukan persamaan Newton II untuk sistem partikel, kita mulai

dengan menentukan persamaan Newton II untuk tiap - tiap partikel P " dimana batasan i

adalah: J ~ i ~n.

Dengan memperhatikan suatu partikel, seperti terlihat pada Gambar 6.1. di bawah,

di misalkan :

r , = vektor posisi partikel P, terhadap sistem sumbu.

massa partikel P, .

percepatan partikel P, .

gaya oleh PJkepada P, .

m,

a,

= gaya oleh semua partikel pada P, . (dalam hal iniJ;, = 0)

I' = gaya luar yang bekerja pada partikel P, .

117



F,

x

o,m,.a,

ox

z z

Gambar 6.1. Gaya Efektive Pada Sistem Partikel

Hukum Newton II untuk partikel Pj, dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut:

n

~ +Ih} = m,.a i (6.1)j=l

Bila ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan 6.1, dikalikan dengan vektor posisi r, '

maka diperoleh :

~ X

F , +i:(~I y ) = ~X

m , . a , .j= I ( 6 . 2 )

Jika persamaan 6.1 dan persamaan 6.2 diulang untuk seluruh partikel, maka diperoleh

sejumlah n persamaan 6.1 dan n persamaan 6.2, dimana i = 1, 2, 3, ..... , n.

Hukum Newton II untuk partikel P, ' dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut:

II

F , +Iiu =m,.a, (6.1)}=l

Bila ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan 6.1, dikalikan dengan vektor posisi r, 'maka diperoleh :

r, xF, +i:( r , X I I ) ) = r, xm ,.a , .j=l

( 6 . 2 )

Jika persamaan 6.1 dan persamaan 6.2 diulang untuk seluruh partikel, maka diperoleh

sejumlah n persamaan 6.1 dan n persamaan 6.2, dimana i = 1, 2, 3, ..... , n.

118



Vektor 1 1 1 "a, disebut gaya efektive dari partikel P, .Persamaan di atas menggambarkan

bahwa gaya luarJ, dan gaya dalamJ" yang bekerja pada sistem partikel, ekuivalen dengan

gaya efektive dari sistem partikel, dimana dalam hal ini berlaku :

/ 1 ] =gaya dalam oleh partikel Pjkepada partikel P, .

~, =gaya dalam oleh partikel P, kepada partikel Pj

•

F,

J,. . . . . . . . . . .· · · · 0

.II" " " ' 0

x

z

Gambar 6.2. Gaya Luar dan Gaya Dalam Pada Sistem Partikel

Gambar 6.2 menunjukkan, bahwa gaya luar dan gaya dalam yang bekerja pada

sistem partikel sarna dengan sistem gaya efektive.

Berdasarkan hukum Newton III,untuk partikel P dan partikel P , berlaku :, j

1+1- 0U j'

Momen oleh gaya~ dan gaya!;" terhadap pusat 0, adalah :

~ X /y +~Xr.=~X v , J +~J+ ( r J - ~ ) x ~ , = 0 , karena

~ +!;, = 0 , maka: ( r j -~)X~, = 0

Jadi dapat disimpulkan bahwa vektor (rJ- r)dan!;, adalah berimpit.

Apabila kita jumlah semua gaya dalam dan momen oleh gaya dalam terhadap pusat

0, maka diperoleh :

t t ( r , X J ; J = o,=1 J=l

(6.3)

119



Dengan memasukkan persamaan 6.3 ke dalam persamaan 6.1 dan persamaan 6.2,

maka dapat diperoleh :

(6.4)

/=1

n n

I(r, xF;)= I(r , xm,.a,)/=1

(6.5)

Persamaan 6.4 dan persamaan 6.5 menunjukkan bahwa sistem gaya luar yang bekerja

pad a sistem partikel dan sistem gaya efektive dari partikeI, adalah ekuivalen.

y

o

z

F

P~

P3 Y

m ~ : , ?F] PI

c In1J.aJ

cI2 P2

X X

Gombar 6.3. GayaLuar dan GayaEfektive Pada Sistem Partikel

6.2. LINIER DAN ANGULAR MOMENTUM SISTEM

PARTIKEL

Linier momentum dari sistem partikel dapat dituliskan dengan persamaan sebagai

berikut:

n

L= Im,.v/ .1=1

(6.6)

Sedangkan angular momentum dari sistem partikel terhadap pusat 0, adalah sebagai

berikut:

n • n

Ho =Im/.v/ =Im/.a/I................................................... (6.7)/=1 ,=1

Bila persamaan 6.6 dan persamaan 6.7, di atas di defferensialkan terhadap waktu,

maka diperoleh :

120



• n • n

L=Lm,.vi=Lm,.a i,=1 ,=1

(6.8)

n n

= L (v,xm ,.v,)+ L(r , xm ,.a,),=1 ,=1

n

Dimana harga: L v , X m , .V, ) = 0 ,maka:,=1

• n

Ho = L (r , xm ,.a ,) (6.9);=1

Dengan memasukkan persamaan 6.4 dan persamaan 6.5 ke dalam persamaan 6.8dan persamaan 6.9, maka dapat diperoleh :

L = F (6.10)

H o = M o (6.11)

6.3. GERAK DARI PUSAT BERAT SISTEM PARTIKEL

Bila diketahui, bahwa :

F = Vektor posisi dari pusat berat suatu sistem partikel.

n

m = Lm , = total massa dari sistem partikel., = 1

r = vektor posisi partikeli (1sisn)

maka berlaku :

_ n

m .r =Lm,.1j

, = 1

(6.12)

Dengan menggunakan sumbu x, y , Z, maka persamaan 6.12 akan berubah menjadi:_ n

m .x= L m ,.xi, = 1

_ n

m .y= L m,.y,,=1

121



_ n

m.z= Iml.zl1 = 1

Bila persamaan 6.12 di atas, di defferensialkan terhadap waktu, maka diperoleh

persamaan:

_ n

m.r= Iml.vI

1 = 1

_ n

m.v= Iml.vI

1 = 1

(6.13)

Bila Ladalah linier momentum dari sistem, maka :

L=m.v (6.14)

Lt=m.v=m.a (6.15)

Dan hila diketahui, hahwa :

.L= IF ,maka:

IF =m.a (6.16)

6.4. ANGULAR MOMENTUM SISTEM PARTlKEL

TERHADAP PUSAT BERATNYA

Pada Gambar 6.4. di bawah, diketahui :

oxy z = sistem sumbu tetap

0X'y'z' = sistem sumbu yang sistem sumbu tetap dengan pusat di G

G =pusat berat sistem partikel

r = posisi partikel P terhadap sumbu G ...I I xyz

v ' =kecepatan partikel P terhadap sumbu G ...I I xyz

Dimana angular momentum HG' dari sistem partikel terhadap pusat berat G,

adalah sebagai berikut :

n

HG' =Ir , 'xm,.V I ') •.•••••••.••..••......••• • .••••.•••...•••..•...• • ••.• .••• (6.17); = 1

122



y

x'

x

z

Gombar 6.4. Angular Momentum Sistem Partikel Terhadap Pusat Berat

Bila persamaan 6.17 di atas, di defferensialkan terhadap waktu, maka diperoleh

persamaan:

• II

HG ' = L (~'xm,.a,'), = 1

(6.18)

Dimana:

a,' =percepatan partikel P, relative terhadap sistem sumbu GX)"Z'

Dengan mengetahui, bahwa :

Dimana:

aI

=percepatan partikel P, relative terhadap sistem sumbu 0 X)'= •

=percepatan pusat G relative terhadap sistem sumbu 0 X)'Z •a

maka persamaan 6.18, berubah menjadi :

H G ' = ~(r ,xm,n, ' ) - (~m, .~)~

123



dimana suku kedua dari ruas kiri, harganya adalah :

n

Im,.v,, =m.rG '= 0, = 1

rG'=0 , karena G adalah pusat berat sistem, maka :

• n

HG' =Ir , 'xm,.a, '), = 1

(6.19)

dimana harga :

n

Ir , 'xm,.a,') =MG ,jadi:, = 1

IMG = SG' (6.20)

Jadi total momen terhadap pusat G oleh gaya luar, adalah sarna dengan angular

momentum terhadap pusat G dari sistem partikel.

y

m,.v,

x'

x

z

Gambar 6.5. Gerak Absolut Sistem Partikel Terhadap Pusat Berat

124



Dimana:

v ' =kecepatan partikel P terhadap sistem sumbu G o o o

1 I xyz

V , =kecepatan absolut partikel P, (relative terhadap 0 X } 0 = ) .

Angular momentum dari gerakan absolut sistem partikel (gerakan relative terhadap

sumbu 0 xyz ) terhadap pusat berat G, adalah :

n

HG = L ( r , 'xm,v,,)1 = 1

(6.21)

Karena harga :

V, =V+V,'

Maka:

H G = ( t m , ~ ) x ~ + t ( ~ ' x m , · v : )Dimana harga :

n

Lm,.r,' = m.r B'= 0/=1

Sehingga:

n

HG = Lm,.r,' = m.r B'= 01 = 1

/I

HG = L ( r , 'xm.v,')= HG' (6.22), = 1

Dengan memperhatikan persamaan 6.20 dan persamaan 6.22, dapat diperoleh

persamaan sebagai berikut :

.LMG =HG 0•••••••••••••••••••••• 0•••••••••••••••• 0••• 00. (6.23)

Berdasarkan analisa di atas, maka angular momentum HG dapat dihitung dengan

menentukan momen terhadap pusat G dari linier momentum partikel, dengan memperhatikan

gerakan relative terhadap sisstem sumbu Oxyz atau G x ' y 0 = o ,jadi :

n n

HG= L{r,'xm,.v,')= L{v,'xm,.v,') (6.24),=1 1 = 1

125



6.5. PRINSIP KEKEKALAN MOMENTUM SISTEM

PARTIKEL

Bila tidak ada gaya luar yang bekerja pada sistem partikel, maka ruas kiri dari

persamaan 6.10 dan persarnaan 6.11, adalah sarna dengan nol, dan berlaku :

L= O

Ho =O ,maka:

L =konstan

Ho = konstan (6.25)

Persamaan 6.25 ini menunjukkan bahwa linier momentum dan angular momentum

dari sistem partikel terhadap pusat 0 adalah sarna dengan nol.

Dengan memperhatikan kecepatan rata - rata pusat berat ~ dari sistem partikel,

maka:

-L=m.vBilaL =konstan, maka:

~ = konstan (6.26)

Hal ini berarti bahwa berat sistem partikel bergerak lurus dengan kecepatan konstan.

Apabila total momen terhadap pusat berat G, sarna dengan nol, maka persarnaan 6.23 menjadi

HG = konstan (6.27)

6.6. KINETIK ENERGI DARI SISTEM PARTIKEL

Lihat Garnbar 6.6, sebagai berikut :

y <> v

P,

v

x'

x

Gambar 6.6. Energi Kinetik Sistem Partikel

126



Energi kinetik sistem partikel dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut :

T = ~ t ( m , . v / ) .j=/

(6.28)

Dengan memperhatikan sumbu gerak GXJ"z " dim ana G adalah pusat berat sistem

partikel, dapat diketahui bahwa :

Vi =V+V,'

Maka persarnaan 6.28 berubah menjadi :

T =~tm,[(~+v , ') ], = /

1=/ .=/ .=/

Dimana suku kedua dari ruas kanan adalah sarna dengan nol , maka :

(6.29)

6.7. PRINSIP IMPULS DAN MOMENTUM UNTUK SISTEM

PARTIKELApabila persarnaan 6.10 dan persarnaan 6.11 diintegralkan dalarn batas t1 sampai

dengan t2 ' maka dapat diperoleh :

12 L2

L fFdt= fdL1 / L1

12 (HoJ2

L fMo.dt = fd(Ho)1/ (HoJ/

atau

12

L/'+L fFdt =L2tJ

(6.30)

12

(Ho)/ +L fMo.dt = (Ho}21/

(6.31)

127



Dimana persamaan 6.30 dan persamaan 6.31 dapar dijelaskan dengan menggunakan

Gambar 6.7, sebagai berikut :

y y

mA·(vAJJ

I~nJJ

Co

0

mC.(vc11

y

1 2

LfF.dtII

x 0 x

t1

Gambar 6.7. Prinsip Impuls dan Momentum Untuk Sistem Partikel

6.8. SOAL - SOAL LATlHAN

1. Suatu bola dengan berat 20 Ib dan kecepatannya Vo = 100 ft/det, Ketika meledak

(pecah) menjadi dua bagian, yaitu bagian A dan bagian B, yang masing - masing

beratnya adalah 51b dan 15 lb. Diketahui bahwa kecepatan A dan B, seperti

terlihat pada Gambar 6.8 di bawah. Dimana 8A

= 45° dan 8B

= 30°. Hitung

kecepatan A dan B.

yA c r b,/

. . .,. . . .

/ . \ B A

. . . ./ \2 0 / b O · · · · · · · · · · : < : ; ; : . : : : : . : J 8

B<

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . • . . • . . . • . . • . . . .

Gambar 6.S. Soal Latilum No.1

128



2 . Suatu bola dengan berat 50 lb dan kecepatannya Vo = 200 ftldet. Ketika meledak

(pecah) menjadi dua bagian, yaitu bagian A dan bagian ~ yang masing - masing

beratnya adalah 25 lb dan 25 fbi.Diketahui bahwa kecepatan A dan B, seperti terlihat

psda Gambar 6.9 di bawah. Dimana B A = 60° dan B B = 45°. Hitung kecepatan

A danB.

Gambar 6.9. Soal Latihan No.2

3. Pada permainan biliard, bola A diberi kecepatan Vo = 10 ftldet dengan arah sejajar

sumbu meja. Diketahui bahwa bola A memukul bola B, kemudian bola C yang mula

- mula diam. Kemudian bola A, bola B dan bola C memukul tepi meja seperti terlihat

pada Gambar 6.10 di bawah. Hitung VA' VB dan Vc dengan mana bola memukul tepimeja.

8ft 2ft

______~, "

.......

4ft

7ft


129



Suatu bola dengan berat 10 kg dan kecepatannya Vo = 150 m/det . Ketika meledak

(pecah) menjadi tiga bagian, yaitu bagian A, bagian B dan bagian C, yang masing-

masing beratnya adalah 3 kg, 4 kg dan 3 kg. Diketahui bahwa kecepatan bola A, B

dan C, seperti terlihat pada Gambar 6.11 di bawah. Dimana B A =45°, B B =0° dan B e

= 30°. Hitung kecepatan A, B dan C.

4.

/V

'd", '

B O - - - - , - . , . . . - I ' _ B _ _ _ _-I kg

('~

~r7t'


5. Pada permainan biliard, bola A diberi kecepatan va =25 mldet dengan arah sejajar

sumbu meja. Diketahui bahwa bola A memukul bola B, kemudian bola C dan

bola D yang mula - mula diam. Kemudian bola A, bola B, bola C dan bola D

memukul tepi meja seperti terlihat pada Gambar 6.12 di bawah. Hitung VA' VB've

dan vD' dengan mana bola memukul tepi meja.

2 015 085

1m

I

m . m l J' m J• T T

-~

,

~ c o&~,

A 1 1 ,

-er- e . .o~ D

\ ,

\,\ ,\

E O__:C

-\VB

1,75 m

O,5m


130

1,25 m

bab6 kinetik sistem partikel

Documents