Geometri

EuclidGeometri Euclid

Terdiri dari :

Dalam Bab Ini Kita Akan Membahas Tentang :

Dalam Bab Ini Kita Akan Membahas Tentang :

PENGERTIAN SISTEM AKSIOMATIK

MODEL

SIFAT SISTEM AKSIOMATIK

PENGERTIAN SISTEM AKSIOMATIK

Sistem aksiomatik adalah suatu sistem yang memuat

himpunan yang terdiri dari istilah-istilah yang

tidak didefinisikan atau primitif tetapi memiliki

arti yang bergantung pada interpretasi pembaca.

Sistem aksiomatik mengandung himpunan

pernyataan yang tidak perlu dibuktikan. Sistem

aksiomatik berbeda dengan aksioma, postulat,

definisi, dan teorema.

Macam-macam sistem aksioma

1. Istilah tak terdifinisi

2. Istilah terdifinisi

3. Aksioma atau Postulat

4. Teorema

contoh dari sistem aksiomatik.

 Diberikan suatu sistem aksiomatik, dinamai dengan sistem

aksiomatik Fe-Fo, dengan istilah-istilah primitif : “Fe”,

“Fo”, dan relasi “termasuk pada”. Aksioma-aksiomanya

adalah :Aksioma 1. Terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem

aksioma ini.

Aksioma 2. Dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat

satu Fo.

Aksioma 3. Tidak semua Fe termasuk pada Fo yang sama.

Aksioma 4. Setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe yang termasuk pada keduanya.

Istilah-istilah primitif “Fe”, “Fo”, dan “termasuk pada”

bisa saja diinterpretasikan bermacam-macam.

Sekarang, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai

titik, Fo diinterpretasikan sebagai garis, dan

termasuk pada diinterpretasikan sebagai terletak

pada. Karenanya sistem aksioma Fe-Fo menjadi :

Aksioma 1. Terdapat tepat tiga titik yang berbeda

pada sistem aksioma ini.

Aksioma 2. Dua titik yang berbeda terletak pada tepat

satu garis.

Model

Aksioma 3. Tidak semua titik terletak pada garis

yang sama.

Aksioma 4. Setiap dua garis yang berbeda memuat

paling sedikit satu titik yang terletak pada keduanya.

Kalau kita perhatikan, aksioma-aksioma pada sistem

aksioma Fe-Fo di atas (dengan meninterpretasikan Fe

sebagai titik, Fo sebagai garis, dan termasuk pada

sebagai terletak pada) merupakan pernyataan-

pernyataan yang benar. Interpretasi yang demikian

disebut sebagai model.

Selanjutnya, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai

buku, Fo diinterpretasikan sebagai rak, dan termasuk

pada diinterpretasikan sebagai terletak pada.

Akibatnya, sistem aksioma Fe-Fo dengan interpretasi

demikian menjadi :

Aksioma 1. Terdapat tepat tiga buku yang berbeda

pada sistem aksioma ini.

Aksioma 2. Dua buku yang berbeda terletak pada

tepat satu rak.

Aksioma 3. Tidak semua buku terletak pada rak yang

sama.

Aksioma 4. Setiap dua rak yang berbeda memuat

paling sedikit satu buku yang terletak pada

keduanya.

 

Aksioma 4 pada sistem aksioma Fe-Fo di atas (dengan

meninterpretasikan Fe sebagai buku, Fo sebagai rak,

dan termasuk pada sebagai terletak pada)

merupakan pernyataan yang salah. Interpretasi

seperti ini tidaklah dikatakan sebagai model.

Suatu sistem aksiomatik harus memiliki beberapa sifat :

Yang pertama, adalah konsisten. Suatu sistem

aksiomatik dikatakan konsisten jika dari aksioma-aksioma yang

ada tidak mungkin menghasilkan teorema-teorema yang

kontradiksi dengan aksioma-aksioma yang ada dan dengan

teorema-teorema yang telah dibuktikan sebelumnya.

Sifat kedua, yang harus dimiliki oleh suatu sistem

aksioma adalah setiap aksioma yang ada pada sistem tersebut

bukanlah merupakan turunan (deduksi) dari aksioma-aksioma

yang lain. Jadi antara aksioma yang satu dengan aksioma yang

lain saling bebas atau independen.

 

Sifat Sistem Aksioma

• Sifat terakhir yang harus dimiliki oleh suatu sistem

aksioma adalah lengkap. Maksudnya, tidaklah mungkin

manambahkan aksioma lain yang konsisten dan

independen tanpa menambahkan istilah-istilah primitif.

That’s all our Presentation,,,

Thank’s for Your Respon…!!!

That’s all our Presentatio,,,Thank’s for Your Respon…!!!

That’s all our Presentation,,,Thank’s for Your Respon…!!!