sifat barisan subhimpunan tutup di ruang metrik yang

Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji

Hendy Fergus A. Hura1, Nora Hariadi2, Suarsih Utama3

1Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 2Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 3Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstrak Suatu ruang metrik disebut sebagai ruang Atsuji jika untuk setiap fungsi kontinu dan bernilai real di ruang metrik tersebut adalah fungsi kontinu seragam. Ruang metrik dikatakan memiliki Atsuji completion jika completion dari ruang metrik tersebut adalah ruang Atsuji. Dalam skripsi ini, dipelajari sifat barisan subhimpunan tutup di ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji, menggunakan salah satu karakteristik fungsional khususnya. Fungsi dan barisan yang ditinjau merupakan fungsi yang Cauchy-sequentially regular (CS-regular) dan barisan yang tidak memiliki subbarisan Cauchy. Properties of Closed Subset Sequences in a Metric Space that Has an Atsuji Completion

Abstract

A metric space is called an Atsuji space if every real-valued continuous function defined on it, is a uniformly continuous function. A metric space is called to have an Atsuji completion if its completion is an Atsuji space. In this skripsi, the properties of closed subset sequences in a metric space that has an Atsuji completion will be studied based on one of its special functional characteristic. The function and sequence that will be considered are Cauchy-sequentially regular function, and sequence that has no Cauchy subsequence.

Keywords : Atsuji space, Cauchy sequence, Cauchy-sequentially regular function Pendahuluan

Kekontinuan adalah salah satu konsep klasik dalam ilmu matematika, tetapi konsep ini salah

satu hal yang penting dalam mempelajari segala hal yang berhubungan dengan analisis dan

salah satunya adalah analisis fungsional. Salah satu cabang dari matematika abstrak ini

berawal dari analisis mengenai fungsional. Bukan hanya fungsional saja, namun juga

mencakup pembahasan memgenai operator linier, ruang Banach, dan ruang Hilbert dan

berbagai topik-topik lainnya.

Di dalam analisis fungsional, dibangun beberapa konsep yang diperumum dari konsep-konsep

yang telah ada sebelumnya, salah satunya adalah ruang metrik. Ruang metrik sendiri

Sifat barisan…, Hendy Fergus Atheri Hura, FMIPA UI, 2014

merupakan abstraksi konsep jarak pada suatu himpunan tak kosong dengan menggunakan

fungsi metrik, yaitu fungsi bernilai real yang memenuhi beberapa sifat tertentu. Fungsi metrik

membangun konsep topologi himpunan-himpunan, konvergensi barisan, barisan Cauchy,

fungsi kontinu, fungsi kontinu seragam, dan fungsi Cauchy-sequentially regular (CS-regular)

yaitu fungsi yang memetakan barisan Cauchy menjadi barisan Cauchy juga) di ruang metrik.

Untuk kasus di ruang metrik, sifat lengkap di himpunan bilangan real, yaitu setiap barisan

Cauchy-nya adalah barisan konvergen, merupakan salah satu contoh yang tidak selalu berlaku

di ruang metrik lainnya. Meskipun demikian, setiap ruang metrik dapat dibuat lengkap. Ruang

metrik yang telah lengkap disebut dengan completion.

Pengetahuan mengenai ruang metrik ini kemudian digali lebih lanjut sehingga

diperkenalkanlah ruang Atsuji. Ruang Atsuji adalah ruang metrik yang bersifat, untuk setiap

fungsi bernilai real dan kontinu pada ruang metrik tersebut, adalah fungsi kontinu seragam.

Dimulai dari Nagata di tahun 1950 yang mempelajari ruang Atsuji. Kemudian di tahun 1951,

Monteiro dan Peixoto mengembangkan empat karakteristik ekuivalensi dari ruang tersebut.

Lalu Beer adalah orang pertama yang menyebut ruang tersebut dengan ruang Atsuji dan pada

tulisannya yang lain disebut sebagai ruang UC (Uniformly Continuous). (Jain & Kundu, 2005)

Ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji sendiri memiliki karakteristik

fungsional khusus, yaitu setiap fungsi yang CS-regular dan bernilai real terdapat bilangan

bulat positif !! sedemikian sehingga untuk setiap titik dari himpunan

! = ! \!!!( −!! ,!! ), terisolasi di ruang metrik tersebut dan infimum jarak titik-titik

tersebut ke ruang metriknya bernilai positif. (Jain & Kundu, 2005)

Dalam skripsi ini dibahas sifat barisan subhimpunan tutup dan barisan subhimpunan lengkap

di ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji. Sifat ini digali dari fungsi CS-

regular dan hal tersebut menjadi fokus utama di pembahasan skripsi ini.

Tinjauan Teoritis

Pada bagian ini, diberikan beberapa teori dasar mengenai ruang metrik beserta sifat-sifatnya,

barisan di ruang metrik, fungsi di ruang metrik dan completion dari ruang metrik.


Definisi 2.1 Ruang metrik adalah pasangan !,! , dengan ! adalah himpunan tak kosong

dan ! adalah metrik di !, yaitu fungsi yang didefinisikan di !×! sedemikian sehingga untuk

setiap !,!, ! ∈ ! berlaku:

1. ! adalah fungsi bernilai real, hingga, dan tak negatif,

2. ! !,! = 0 jika dan hanya jika ! = !,

3. ! !,! = ! !, ! , (simetri)

4. ! !,! ≤ ! !, ! + ! !,! . (ketaksamaan segitiga)

(Kreyszig, 1989, hal. 3)

Selanjutnya, subhimpunan dari suatu ruang metrik yang mewarisi metrik yang sama disebut

sebagai subruang metrik. (Kreyszig, 1989)

Contoh 2.2 Himpunan bilangan real ℝ dengan metrik standar ! !,! = ! − ! adalah salah

satu contoh ruang metrik. Fungsi ! sendiri merupakan fungsi bernilai real, hingga, dan tak

negatif. Untuk ! − ! = 0 berlaku jika dan hanya jika ! = !. Kemudian sifat simetri dan

ketaksamaan segitiga juga berlaku untuk harga mutlak. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

ℝ , ⋅ adalah ruang metrik.

Setelah definisi ruang metrik, dijelaskan beberapa teori dasar di ruang metrik. Diawali dengan

penjelasan mengenai definisi lingkungan dari suatu titik.

Definisi 2.3 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan ! ∈ ! dan ! > 0 . Lingkungan-

! (disebut juga bola buka) dari ! adalah himpunan ! !, ! yang didefinisikan sebagai:

! !, ! = ! ∈ !;! !,! < ! .

Lingkungan dari ! adalah subhimpunan dari ! yang memuat suatu lingkungan-! dari !


Contoh 2.4 Interval buka ! = ! − !, ! + ! adalah lingkungan-! atau bola buka dari ! ∈ ℝ

dengan metrik standar.

Menggunakan pengertian lingkungan dari suatu titik di ruang metrik, maka definisi dari titik

akumulasi dapat dijelaskan. Berikut ini adalah definisi dari titik akumulasi.


Definisi 2.5 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan ! ⊆ ! . Titik ! ∈ ! adalah titik

akumulasi dari ! jika setiap lingkungan dari ! mengandung paling tidak satu titik di ! yang

berbeda dari !.


Selanjutnya diberikan definisi himpunan buka dan himpunan tutup di ruang metrik.

Definisi 2.6 Misalkan !,! adalah ruang metrik dengan ! ⊆ ! dan ! > 0. Himpunan !

disebut himpunan buka di ! jika untuk semua ! ∈ ! terdapat bola buka ! !, ! sedemikian

sehingga ! !, ! ⊆ ! . Himpunan ! dikatakan himpunan tutup di ! jika himpunan

komplemen dari, !! = ! − !, adalah himpunan buka di !.


Ada satu konsep yang berhubungan langsung dengan himpunan tutup di ruang metrik yang

dijelaskan pada definisi berikut ini.

Definisi 2.7 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan ! ⊆ !. ! atau cl(C) disebut closure

dari ! jika ! = ! ∪ !′, dengan !’ adalah himpunan titik-titik akumulasi dari !. Himpunan

! dikatakan himpunan tutup jika dan hanya jika ! = !. Lebih lanjut, closure dari suatu

himpunan adalah himpunan tutup terkecil yang memuat himpunan tersebut.


Definisi 2.8 Misalkan !,! adalah ruang metrik dengan ! ⊆ ! dan ! ∈ !. Didefinisikan,

!(!,!), jarak titik ! ke suatu subhimpunan ! di !, ! !,! = inf{! !,! :! ∈ !}.

(Armstrong, 1983, hal. 39)

Definisi 2.9 Misalkan !,! adalah ruang metrik dengan !,! ⊆ !. Didefinisikan, !(!,!)

jarak antara dua subhimpunan ! dan !, ! !,! = inf{!(!, !):! ∈ !, ! ∈ !}.


Definisi 2.10 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan ! ∈ ! . Derajat isolasi adalah,

! ! = ! !,! − ! = inf ! !,! :! ∈ ! − ! . ! ! = 0 jika dan hanya jika ! adalah titik

tidak terisolasi (non-isolated) yang artinya ! adalah titik akumulasi.

(Jain & Kundu, 2005, hal. 32)


Untuk lebih jelasnya, diberikan beberapa contoh berikut untuk menjelaskan definisi diatas.

Contoh 2.11 Misalkan !,! = ( 1,2 , |. |). Derajat isolasi dari {1} di !,! adalah,

! 1 = ! 1, 1,2 = inf ! 1,! :! ∈ 1,2 = 0, yang diperoleh dari sifat kepadatan pada

himpunan bilangan real.

Contoh 2.12 Himpunan bilangan bulat dengan fungsi metriknya adalah nilai mutlak, ℤ, ∙ ,

membentuk ruang metrik. Misalkan ! ∈ ℤ . ! ! = ! !,ℤ− ! = inf ! !,! :! ∈ ℤ−

! = 1, karena jarak ! ke anggota terdekat di sekitarnya adalah satu.

Selanjutnya diberikan definisi dari lingkungan dari suatu subhimpunan yang

dijelaskan pada Definisi 2.13.

Definisi 2.13 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan ! ⊆ !. Didefinisikan, !(!, !) ,

lingkungan dari suatu subhimpunan di !, ! !, ! = ! ∈ !:! !,! < ! = !(!, !)!∈! .


Definisi 2.14 Misalkan ! adalah subhimpunan dari ruang metrik !,! . ! dikatakan

subhimpunan yang padat di ! jika ! = !.


Barisan di Ruang Metrik

Dengan menggunakan konsep jarak yang telah dibahas sebelumnya, maka konsep

konvergensi barisan di ruang metrik dapat didefinisikan.

Definisi 2.15 Barisan !! di ruang metrik !,! dikatakan konvergen jika terdapat ! ∈ !

sedemikian sehingga lim!→∞

! !!, ! = 0 . Titik ! disebut limit dari !! dan dituliskan

sebagai lim!→∞

!! = ! atau secara sederhana !! → !.



Definisi barisan konvergen menjelaskan bahwa titik limit dari sebuah barisan konvergen harus

berada di himpunan dimana barisan tersebut berada. Untuk beberapa hal yang berhubungan

dengan sifat konvergensi barisan akan diulas lebih lanjut. Berikut penjelasannya.

Lemma 2.16 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan ! ⊆ !. Jika titik ! ∈ ! adalah titik

akumulasi dari ! ∈ !, maka terdapat barisan !! di ! yang berbeda dari x dan konvergen

ke !.

Teorema selanjutnya menyatakan hubungan antara konvergensi barisan dengan titik di

himpunan closure.

Teorema 2.17 Misalkan ! adalah subhimpunan tak kosong dari ruang metrik !,! dan !

adalah closure dari. Maka ! ∈ ! jika dan hanya jika terdapat sebuah barisan !! di A

sedemikian sehingga !! konvergen ke x.


Definisi 2.18 Misalkan !,! adalah ruang metrik. Didefinisikan diameter dari suatu

subhimpunan tak kosong di ruang metrik, ! ! = sup!,!∈! !(!,!). Sebuah subhimpunan

tak kosong ! ⊆ ! dikatakan himpunan terbatas jika diameternya terbatas yaitu,

! ! = sup!,!∈! !(!,!) < ∞


Selanjutnya dapat didefinisikan barisan terbatas.

Definisi 2.19 Misalkan !,! adalah ruang metrik. Barisan (!!) di ! adalah barisan terbatas

jika himpunan ! = {!! |! = 1,2,3. . } adalah himpunan terbatas.

(Kreyszig, hal. 26)

Lemma 2.20 Misalkan !,! adalah ruang metrik. Maka barisan (!!) yang konvergen di !

adalah terbatas dan limitnya tunggal.

(Kreyszig, hal. 26)

Berikutnya diberikan definisi dari barisan Cauchy.


Definisi 2.21 Misalkan !,! adalah ruang metrik. Barisan !! di ! dikatakan barisan

Cauchy di !,! jika untuk setiap ! > 0 terdapat bilangan asli ! sedemikian sehingga

! !! , !! < !,∀!,! ≥ !.


Setelah mengetahui definisi barisan Cauchy, akan ditunjukkan bahwa setiap barisan yang

konvergen adalah barisan Cauchy.

Teorema 2.22 Setiap barisan yang konvergen di ruang metrik adalah barisan Cauchy.


Dengan adanya hubungan antara barisan Cauchy dengan barisan konvergen, dapat

didefinisikan suatu ruang metrik yang lengkap, berikut adalah definisinya.

Definisi 2.23 Misalkan !,! adalah ruang metrik. Ruang (!,!) disebut ruang metrik

lengkap jika untuk semua barisan Cauchy di ! konvergen ke suatu ! ∈ !.

(Kreyszig, 1989, hal.28)

Satu lagi jenis barisan yang terdapat di dalam ruang metrik, yaitu barisan asimtotik yang

menunjukkan kedekatan antara dua barisan. Berikut ini adalah definisinya.

Definisi 2.24 Misalkan !,! adalah ruang metrik, barisan !! dan !! adalah barisan di !.

Barisan !! dan !! disebut asimtotik, ditulis !! ≍ !! , jika ∀! > 0, terdapat !! ∈ ℕ

sedemikian sehingga untuk setiap ! > !! berlaku ! !!,!! < !.


Fungsi di Ruang Metrik

Selanjutnya, akan ditinjau beberapa teori yang berlaku di ruang metrik yang diawali dengan

definisi fungsi kontinu di ruang metrik.

Definisi 2.25 Misalkan ! = !,! dan ! = !,! adalah ruang metrik. Pemetaan !:! → !

dikatakan kontinu di titik !0 ∈ ! jika untuk setiap ! > 0 terdapat ! > 0 sedemikian sehingga

! !(!), !(!0) < ! untuk semua ! ∈ ! yang memenuhi ! !, !0 < !.

Jika ! kontinu di setiap titik di !, pemetaan !:! → ! dikatakan kontinu di !.



Contoh 2.26 Misalkan untuk ruang metrik (ℝ, |. |), ! ! = !!, ! ∈ ! = ! ∈ ℝ, ! > 0 . Jika

diberikan ! > 0 , dapat diplih ! !,! = inf !!!, !

!!!! untuk setiap ! ∈ ! sedemikian

sehingga jika ! − ! < ! !,! , maka ! ! − ! ! < ! . (Bartle & Sherbert, 2000, hal.

136). Dengan kata lain, fungsi g kontinu di !.

Contoh 2.27 Misalkan untuk ruang metrik (ℝ, |. |), ! ! = 3!, ! ∈ ℝ. Ambil ! > 0, pilih

! = !! , sehingga untuk setiap ! ∈ ℝ, jika ! − ! < ! maka ! ! − ! ! = 3 ! − ! <

3! = !. Dengan kata lain, fungsi ! kontinu di !

Pada Contoh 2.26, pemilihan ! bergantung pada ! dan !. Berbeda halnya pada Contoh 2.27,

pemilihan ! hanya bergantung terhadap ! saja dan tidak bergantung terhadap ! . Dengan

memandang cara pemilihan ! yang berbeda, hal ini memberikan ide tentang konsep kontinu

yang lebih kuat, yaitu kontinu seragam.

Definisi 2.28 Misalkan !,! dan !,! adalah ruang metrik. Pemetaan !:! → ! dikatakan

kontinu seragam di ! , jika untuk setiap ! > 0 terdapat ! > 0 sedemikian sehingga

berlaku ! ! !1 , !(!0) < ! untuk semua !!, !! ∈ ! yang memenuhi ! !!, !! < !.

(Munkres, 1975, hal. 176)

Berhubungan dengan fungsi kontinu, berikut diberikan sifat fungsi kontinu di subhimpunan

yang padat.

Teorema 2.29 Misalkan !,! dan !,! adalah ruang metrik. Misalkan pula ! adalah

subhimpunan ! yang padat. Jika !:! → ! fungsi kontinu dan !:! → ! kontinu dengan

! ! = ! ! ,∀! ∈ ! maka ! = ! . Dengan kata lain, nilai dari fungsi kontinu !:! → !

ditentukan oleh nilai dari ! pada sebuah subhimpunan ! yang padat, yaitu !.

(Engelking, 1989, hal. 76)

Kekontinuan fungsi di suatu titik berhubungan dengan kekonvergenan dari suatu barisan di

daerah asal yang konvergen ke titik tersebut. Berikut adalah teorema yang menjelaskan hal

tersebut.


Teorema 2.30 Misalkan (!,!) dan (!,!) adalah ruang metrik. Fungsi !:! → !

kontinu di titik !! ∈ ! jika dan hanya jika untuk setiap barisan !! → !! mengakibatkan

!(!!) → !(!!).

(Kreyszig,1989, hal. 30)

Dari Teorema 2.30, jika sebuah fungsi kontinu di domainnya, maka untuk sembarang barisan

konvergen di domain, mengakibatkan peta dari barisan yang konvergen tersebut juga

merupakan barisan yang konvergen di kodomainnya, dan berlaku sebaliknya. Hal ini

dirangkum dalam teorema berikut.

Teorema 2.31 Misalkan (!,!) dan (!,!) adalah ruang metrik. Fungsi !:! → !

dikatakan kontinu di ! jika dan hanya jika untuk setiap barisan !! di ! dengan !"#!→∞

!! = ! ∈

! mengakibatkan !"#!→∞

! !! = !(!).

(Aliprantis & Burkinshaw, 1998, hal. 38)

Teorema 2.31 menjelasakan bahwa setiap fungsi yang kontinu akan mengawetkan barisan

konvergen. Setelah fungsi kontinu, terdapat pula fungsi isometrik, yaitu fungsi yang

mempertahankan jarak antara dua buah titik. Berikut definisinya.

Definisi 2.32 Misalkan !,! dan !,! adalah ruang metrik. Maka:

(a) !:! → ! disebut isometrik atau sebuah isometri jika ! mengawetkan jarak, yaitu untuk

setiap !,! ∈ ! berlaku

! !",!" = ! !,! ,

dimana Tx dan Ty masing-masing adalah peta dari x dan y.

(b) Ruang X disebut isometrik dengan ruang Y jika terdapat isometri yang bijektif dari X ke

Y. Ruang X dan Y kemudian disebut sebagai ruang-ruang isometrik.


Ruang yang isometrik dapat merupakan himpunan yang berbeda elemennya, namun dilihat

dari sudut pandang jarak sebenarnya kedua himpunan tersebut tidak berbeda.


Completion

Dalam himpunan bilangan real, telah diketahui bahwa suatu barisan akan konvergen jika dan

hanya jika barisan tersebut adalah barisan Cauchy. Namun, dalam ruang metrik secara umum

tidak berlaku demikian. Satu hal yang berlaku di ruang metrik adalah jika suatu barisan

konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan Cauchy. Suatu ruang metrik disebut

ruang metrik yang lengkap apabila setiap barisan Cauchy-nya adalah barisan konvergen.

Berikut ini adalah contoh ruang metrik yang tidak lengkap.

Contoh 2.33 Interval 0,1 ⊂ ℝ dengan metrik standar adalah ruang metrik yang tidak

lengkap karena terdapat barisan Cauchy, !!

di (0,1) yang tidak konvergen di 0,1 .

Walaupun tidak semua ruang metrik adalah lengkap, setiap ruang metrik dapat dibuat

lengkap. Ruang metrik yang sudah dilengkapi disebut completion. Lebih jauh, completion

ruang metrik adalah tunggal jika dipandang dari segi isometrinya. Berikut diberikan Definisi

2.34 mengenai completion dan Teorema 2.35 yang menjamin bahwa setiap ruang metrik

memiliki completion yang tunggal secara isometri.

Definisi 2.34 Misalkan !,! adalah ruang metrik. Ruang !,! disebut completion dari

!,! jika !,! adalah ruang metrik yang lengkap dan terdapat ! subruang yang padat dari

! yang isometrik dengan !.


Teorema 2.35 Untuk setiap ruang metrik !,! , terdapat ruang metrik lengkap !,! yang

memiliki ! sebagai subhimpunan yang padat di ! dan ! isometrik dengan !. Himpunan !

tunggal secara isometri, yaitu jika (!,!) adalah sebarang ruang metrik lengkap yang

memiliki ! sebagai subhimpunan yang padat di ! dan ! isometrik dengan !, maka ! dan !

isometrik.



Pembuktian Teorema 2.35 dapat dilihat di buku Kreyzig yang berjudul: Introductory

Functional Analysis with Application di halaman 42-45.

Contoh 2.36 Interval 0,1 ⊂ ℝ dengan metrik standar adalah completion dari interval 0,1 .

Interval 0,1 adalah ruang metrik lengkap dan terdapat 0,1 ⊂ 0,1 dengan 0,1 = 0,1

dan 0,1 isometrik dengan 0,1 .

Setelah semua teori yang berkaitan mengenai ruang metrik dalam penulisan skripsi ini telah

dibahas, selanjutnya didefinisikan ruang Atsuji.

Definisi 2.37 Misalkan !,! ruang metrik. Jika untuk setiap !:! → ℝ kontinu

mengakibatkan ! kontinu seragam, maka !,! disebut ruang Atsuji.


Selanjutnya, ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji disebut memiliki Atsuji

completion.

Contoh 2.38 Misalkan !,! = −2,2 , ⋅ dan !: −2,2 → ℝ kontinu. Telah diketahui

bahwa fungsi kontinu yang didefinisikan di interval tutup terbatas akan kontinu seragam

(Bartle & Shebert, 2000, Introduction to Real Analysis, Teorema 5.43, hal. 138). Oleh karena

itu, ruang metrik −2,2 , ⋅ adalah ruang Atsuji.

Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Pembahasan Sebelum masuk ke pembahasan utama, perhatikan definisi berikut ini, yaitu definisi yang

menjelaskan fungsi Cauchy-sequentially regular (CS-regular)..

Definisi 3.1 Misalkan f: X, d → Y, ρ adalah fungsi antara dua ruang metrik X dan Y. Jika

untuk setiap barisan Cauchy (x! ) di X, d , (f x! ) juga barisan Cauchy di Y, ρ , maka

f disebut fungsi Cauchy-sequentially regular (CS-regular).



Perluasan suatu fungsi dapat dilakukan jika memenuhi beberapa syarat tertentu yang

berhubungan dengan domain dan kodomainnya, ataupun sifat dari fungsi itu sendiri. Fungsi

CS-regular dengan sifatnya yang mengawetkan barisan Cauchy juga dapat diperluas jika

memenuhi syarat tertentu. Berikut ini teoremanya.

Teorema 3.2 Misalkan ! subhimpunan dari ruang metrik (!,!) dan (!,!) adalah ruang

metrik yang lengkap. Jika ! ∶ (!,!) → (!,!) adalah fungsi CS-regular, maka ! mempunyai

perluasan fungsi ! yang kontinu dan unik pada ! , yaitu ! ∶ (!,!) → (!,!).


Bukti dari Teorema 3.2 dapat dilihat di dalam skripsi berikut: Soleman, (2012). Karakteristik

Fungsional Pada Ruang Metrik Yang Completionnya Adalah Ruang Atsuji. Depok:

Universitas Indonesia.

Selanjutnya akan dibuktikan beberapa lemma pendukung yang digunakan untuk proses

pembuktian Lemma 3.8. Lemma-lemma ini adalah akibat dari sifat barisan asimtotik, barisan

Cauchy, dan barisan konvergen.

Lemma 3.3 Misalkan !,! adalah ruang metrik, !! dan !! adalah barisan di ! yang

memenuhi ! !!,!! < 1/!, ∀! ∈ ℕ, maka !! dan !! adalah barisan asimtotik.

Lemma 3.4 Misalkan !,! adalah ruang metrik, !! dan !! adalah barisan di ! .

Misalkan pula !! memiliki subbarisan Cauchy (!!!) . Jika !! dan !! memenuhi

! !!,!! < 1/!, ∀! ∈ ℕ, maka terdapat subbarisan Cauchy (!!!) dari (!!) .

Lemma 3.5 Misalkan !,! adalah ruang metrik, !! dan !! adalah barisan di ! yang

asimtotik dimana !!! merupakan subbarisan Cauchy dari !! . Jika (!!!) adalah

subbarisan !! yang konvergen ke ! ∈ !, maka (!!!) juga konvergen ke ! ∈ !.

Lemma 3.6 Misalkan !,! adalah ruang metrik, !,! ∈ ! dan ! ⊆ ! dengan ! ≠ ∅. Maka

berlaku:

! !,! − ! !,! ≤ ! !,! .


Selanjutnya, pada lemma berikut dijelaskan hubungan antara titik yang dikandung sebuah

subhimpunan dengan closure-nya di ruang metrik.

Lemma 3.7 Misalkan !,! adalah ruang metrik, ! ⊆ ! dengan ! ≠ ∅ dan ! adalah

closure dari !. Misalkan pula ! ∈ !. Maka ! !,! = 0 jika dan hanya jika ! ∈ !.

Selanjutnya akan dibuktikan sebuah lemma utama, yaitu Lemma 3.8, yang berhubungan

langsung dalam proses pembuktian teorema utama pertama dalam skripsi ini yaitu Teorema

3.13. Berikut ini pernyataanya.

Lemma 3.8 Misalkan (!!) adalah sebuah barisan subhimpunan tutup di ruang metrik (!,!)

sedemikian sehingga untuk beberapa ! ∈ ℕ, !! adalah subhimpunan tutup yang lengkap di !

dan !! = ∅!!!! . Jika untuk setiap !! ∈ ! !! , 1 ! ;! = 1,2 3,…. , dengan ! tetap,

terdapat !! ∈ !! sedemikian sehingga ! !!,!! < 1/! , maka barisan !! di X tidak

memiliki subbarisan Cauchy.

Bukti. Lemma 3.8 akan dibuktikan dengan cara kontradiksi. Sesuai premis, untuk setiap ∈ ℕ,

! !!,!! < 1/!. Sehingga menurut Lemma 3.3, barisan (!!) dan (!!) adalah barisan

asimtotik.

Andaikan !! memiliki subbarisan Cauchy (!!!), maka menurut Lemma 3.4, terdapat

!!! subbarisan Cauchy dari (!!). Perhatikan bahwa (!!) berada di !!, maka !!! juga

berada di !! . Karena !! lengkap dan !!! merupakan barisan Cauchy, maka !!!

konvergen ke suatu !! ∈ !!. Lebih lanjut, !! dan !! adalah barisan di ! yang asimtotik

dengan !!! dan (!!!) masing-masing merupakan subbarisan Cauchy dari !! dan !! ,

serta (!!!) adalah barisan yang konvergen ke !! ∈ !!, sehingga menurut Lemma 3.5, !!!

konvergen ke !! ∈ !! ⊆ !.

Perhatikan ! !!,!! , jarak !! ke subhimpunan sebarang !! ∈ !! . Menurut Lemma 3.6,

! !!,!! − ! !!! ,!! ≤ ! !!, !!! , sehingga bisa didapatkan,

! !!,!! ≤ ! !!, !!! + ! !!! ,!! . Karena (!!!) konvergen ke !! , maka menurut

Definisi 2.15, lim!!→!

! !!! ,!! = 0 . Lebih lanjut, karena !!! ∈ ! !!, 1/!! , maka

! !!! ,!! < 1/!! ≤ 1/! ( !! adalah indeks subbarisan dan dengan induksi dapat

dibuktikan bahwa !! ≥ !) sehingga lim!!→!

! !!! ,!! = 0. Akibatnya,


! !!,!! = lim !!→!

! !!,!! ≤ lim!!→!

! !!, !!! + lim!!→!

! !!! ,!! = 0.

Karena jarak tidak mungkin negatif maka haruslah ! !!,!! = 0.

Pandang, ! !!,!! = inf ! !!,! ∶ ! ∈ !! = 0 . Karena !! adalah himpunan tutup,

maka menurut menurut Lemma 3.7, !! ∈ !! dan karena ini berlaku untuk semua ! ∈ ℕ pada

!! ∈ !! , maka !! ∈ !!!!!! . Tetapi hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa !! = ∅!

!!! .

Oleh karena itu haruslah barisan !! tidak memiliki subbarisan Cauchy. ∎

Telah diketahui bahwa setiap barisan Cauchy di ruang metrik yang lengkap adalah barisan

konvergen. Dengan sifat tersebut, lemma berikut ini menyatakan salah satu sifat dari suatu

fungsi kontinu yang menghubungkan antara dua ruang metrik yang lengkap

Lemma 3.9 Misalkan (!,!) dan (!,!) masing-masing merupakan ruang metrik yang

lengkap. Jika !: (!,!) → (!,!) adalah fungsi yang kontinu, maka ! adalah fungsi CS-

Regular.

Bukti. Misalkan (!!) sembarang barisan Cauchy di (!,!). Karena (!,!) merupakan ruang

metrik lengkap maka menurut Definisi 2.23, (!!) merupakan barisan konvergen. Karena !

suatu fungsi yang kontinu dan (!!) adalah barisan konvergen, maka menurut Teorema 2.34,

(! !! ) adalah barisan konvergen di (!,!). Akibatnya, menurut Teorema 2.22, (! !! )

merupakan barisan Cauchy di (!,!). Karena untuk sembarang barisan Cauchy (!!) di (!,!),

(! !! ) merupakan barisan Cauchy di (!,!) , maka menurut Definisi 3.1, ! merupakan

fungsi CS-regular. ∎

Berikut ini adalah sebuah teorema yang menjelaskan perluasan fungsi kontinu bernilai real,

dari subhimpunan tutup ke ruang metrik semestanya yang lebih dikenal dengan Teorema

Perluasan Fungsi Tietze.

Teorema 3.10 Misalkan !,! adalah ruang metrik, dan ! adalah subhimpunan tutup di !.

Fungsi !: !,! → (ℝ, |. |) adalah fungsi kontinu bernilai real. Maka terdapat fungsi kontinu

bernilai real ℎ, ℎ: !,! → (ℝ, |. |), sedemikian sehingga ℎ|! = !.



Sebelum sampai pada pembuktian utama pada skripsi ini, ada beberapa teorema dan lemma

yang perlu dibuktikan untuk mendukung pembahasan Teorema 3.13. Berikut ini dibuktikan

Teorema 3.11, yang berkaitan dengan perluasan fungsi CS-regular, dengan menggunakan

Teorema 3.2, Teorema 3.10, dan Lemma 3.9.

Teorema 3.11 Misalkan ! subhimpunan dari ruang metrik (!,!) dan ! ∶ (!,!) → (ℝ, |. |)

adalah fungsi CS-regular. Maka terdapat perluasan fungsi, ! ∶ (!,!) → (ℝ, |. |) yang CS-

regular sedemikian sehingga !|! = !.


Bukti. Untuk setiap ruang metrik !,! , terdapat ruang metrik lengkap !,! sebagai

completion-nya yang memiliki ! sebagai subhimpunan yang padat di ! (! = !) dan !

isometrik dengan !. Karena ! isometrik dengan !, maka terdapat fungsi bijektif isometri

!: ! →! . Sehingga, terdapat fungsi ! !!:! → ! yang juga bijektif isometri, dengan

(!!!) !! = !. Oleh karena itu, untuk setiap ! ⊆ !, maka !(!) ⊆!, !!! !! ! = !(!).

Konstruksi fungsi ℎ ∶ !(!) ⊆! → ℝ , dengan ℎ = ! ° !!! , maka untuk !(!) ⊆! ,

ℎ ! ! = !(!!! ! ! = !(!) . Akan ditunjukkan bahwa ℎ adalah fungsi CS-regular.

Misalkan (!!) sembarang barisan Cauchy di !(!) ⊆!. Karena ! !! bijektif isometri, maka

barisan (! !!(!!)) juga barisan Cauchy di ! ⊆ !. Lalu, karena ! fungsi CS-regular, maka

barisan ( ! !!! !! adalah barisan Cauchy di ℝ . Akibatnya

barisan ℎ !! = (! ° !!! !! ) adalah barisan Cauchy di ℝ . Karena untuk sembarang

barisan Cauchy (!!) di !(!) ⊆!, ℎ !! adalah barisan Cauchy di ℝ, maka menurut

Definisi 3.1, ℎ adalah fungsi CS-Regular.

Karena ℎ ∶ ! ! → ℝ , adalah fungsi CS-Regular dengan !(!) ⊆! , dan (ℝ, |. |) adalah

ruang metrik lengkap maka, menurut Teorema 3.2, terdapat perluasan fungsi

ℎ yaitu, ℎ : !(!) → ℝ yang tunggal dan kontinu dengan ℎ|!(!) = ℎ. Lebih lanjut, !(!) juga

himpunan tutup di ! = !. Karena ℎ :!(!) → ℝ adalah fungsi yang kontinu bernilai real

dengan !(!) adalah himpunan tutup di ! = ! maka menurut Teorema 3.10, terdapat

perluasan fungsi ℎ di ! = ! yaitu ℎ: !,! → (ℝ, |. |) , yang kontinu dan bernilai real

sedemikian sehingga ℎ|!(!) = ℎ . Lebih lanjut, karena !(!) ⊆! , maka ℎ (!(!) =

ℎ (! ! = ℎ ! ! = ! ! . Karena ℎ: !,! → (ℝ, |. |) adalah fungsi kontinu dan (!,!)

serta (ℝ, |. |) masing-masing merupakan ruang metrik lengkap, maka menurut Lemma 3.9, ℎ


adalah fungsi CS-regular. Oleh karena itu, restriksi fungsi ℎ di !, ℎ|!: !,! → (ℝ, |. |),

juga merupakan fungsi CS-Regular.

Kemudian konstruksi fungsi !: (!,!) → (ℝ, |. |), ! = ℎ|!° !. Akan ditunjukkan bahwa !

adalah fungsi CS-regular dengan !|! = !. Misalkan (!!) sembarang barisan Cauchy di !.

Karena ! fungsi bijektif isometri, maka barisan (! !! ) juga barisan Cauchy di !. Lebih

lanjut, karena ℎ|! adalah fungsi CS-Regular, maka barisan (ℎ|! ! !! = (! !! ) adalah

barisan Cauchy di ℝ. Karena untuk sembarang barisan Cauchy (!!) di ! , (! !! ) juga

barisan Cauchy di ℝ, maka, sesuai Definisi 3.1, fungsi ! adalah fungsi CS-Regular.

Terakhir akan ditunjukkan !|! = ! . Untuk ! ⊆ ! , ! ! = ℎ|!° ! ! = ℎ|! ! ! =

ℎ ! ! = ℎ ! ! = !(!) , sehingga !|! = ! . Sehingga dapat disimpulkan bahwa !

adalah fungsi CS-regular sedemikian sehingga !|! = !. Jadi teorema terbukti. ∎

Lemma berikut ini menjelaskan tentang sifat barisan yang tidak memiliki subbarisan Cauchy

di ruang metrik, yang berhubungan langsung dalam proses pembuktian Teorema 3.13. Berikut

ini adalah pernyataanya.

Lemma 3.12 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan !! adalah barisan di ! yang tidak

memiliki subbarisan Cauchy, maka !! terdiri dari titik-titik yang berbeda.

Bukti. Misalkan !! adalah barisan di (!,!) yang tidak memiliki subbarisan Cauchy.

Karena setiap barisan konvergen adalah barisan Cauchy, maka barisan !! tidak memiliki

subbarisan yang konvergen. Akibatnya, menurut Lemma 2.16, untuk setiap !! ∈ !! , titik

!! bukanlah suatu titik akumulasi dari X. Lebih lanjut, karena untuk setiap !! ∈ !! bukan

suatu titik akumulasi dari X, maka terdapat !! > 0 sedemikian sehingga lingkungan dari

!(!! , !!) = {!!}. Akibatnya, untuk sembarang !! , !! ∈ !! , !(!! , !!) ≥ !! + !!. Oleh karena,

!(!! , !!) = 0 jika dan hanya jika !! = !! , sedangkan !(!! , !!) ≥ !! + !! maka !! , !! adalah

titik yang berbeda. Karena ini berlaku untuk sembarang anggota barisan (!!), maka !!

terdiri dari titik-titik yang berbeda. ∎

Selanjutnya akan dibuktikan Teorema 3.13, yang merupakan pembahasan utama dalam

skripsi ini, yaitu tentang sifat irisan subhimpunan tutup pada ruang metrik yang completion-

nya adalah ruang Atsuji.


Teorema 3.13 Misalkan !,! adalah ruang metrik dan !,! adalah completion-nya. Jika

! fungsi CS-regular bernilai real di X, dimana terdapat sebuah bilangan bulat positif !!

sedemikian sehingga untuk setiap titik di ! = ! \!!!( −!!,!! ) adalah titik terisolasi di !

dan inf{!(!): ! ∈ !} > 0, maka untuk setiap barisan subhimpunan tutup (!!) di ! dengan

!! = ∅!!!! dan untuk beberapa ! ∈ ℕ, !! adalah lengkap di X, terdapat ! > 0 sedemikian

sehingga ! !!, !!!!! = ∅.


Bukti. Teorema ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan (!!) adalah barisan

subhimpunan tutup di ! sedemikian sehingga untuk beberapa ! ∈ ℕ, !! adalah subhimpunan

yang lengkap di ! dan !! = ∅!!!! .

Asumsikan kontradiksinya, yaitu untuk semua ! > 0 berlaku ! !!, !!!!! ≠ ∅. Karena

berlaku untuk semua ! > 0 , dengan memilih !! = 1/! berlaku ! !!, 1/!!!!! ≠

∅ ∀! ∈ ℕ.

Untuk ! = 1,2,3,… pandang !! ∈ ! !!, 1/!!!!! . Maka !! ∈ ! !!, 1/! untuk setiap

! ∈ ℕ . Khususnya !! ∈ ! !! , 1/! dengan !! yang tetap. Oleh karena itu, menurut

Definisi 2.13, untuk setiap ! ∈ ℕ , dapat ditemukan !! ∈ !! sedemikian sehingga

! !!,!! < 1/!. Sehingga menurut Lemma 3.8, barisan !! tidak memiliki subbarisan

Cauchy. Lebih lanjut, karena !! tidak memiliki subbarisan Cauchy, menurut Lemma 3.12,

!! terdiri dari titik-titik yang berbeda.

Bentuk himpunan ! = !!:! ∈ ℕ . Definisikan !:! → ℝ sedemikian sehingga ! !! =

!. Diketahui bahwa setiap barisan Cauchy yang dibentuk dari himpunan ! akan berakhir

konstan, sehingga ! adalah fungsi CS-regular. Karena ! adalah fungsi CS-regular di ! dan

! ⊆ ! maka menurut Teorema 3.11, terdapat fungsi ! yang merupakan perluasan fungsi ! di

!, !:! → ℝ, yang juga merupakan fungsi CS-regular. Karena ! fungsi yang CS-regular di !,

maka menurut premis, terdapat !! ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap titik di ! =

! \!!!( −!! ,!! ) terisolasi di ! dan inf{!(!): ! ∈ !} > 0. Oleh karena itu, untuk semua

!! dengan !! ≥ !!, !!! ∈ ! dan

inf ! !!! : !! ≥ !! ≥ inf ! ! : ! ∈ ! > 0 (3.4)

Lebih lanjut, karena !! = ∅!!!! , maka untuk setiap !! ∈ ℕ, terdapat ! ∈ ℕ sedemikian

sehingga ! !! ∉ !! . Tetapi !!! ∈ ! !!, 1/ !!!!!! , akibatnya !!! ∈ ! !! , 1/!!! . Karena


!!! ∈ ! !! , 1/!! maka terdapat !!! ∈ !! , sedemikian sehingga 0 < ! !!! , !!! < 1/!! .

Karena 0 < ! !!! , !!! < 1/!! berlaku untuk setiap !! ≥ !!, diperoleh inf ! !!! : !! ≥

!! = 0. Hal ini kontradiksi dengan pertidaksamaan (3.4). Oleh karena itu haruslah terdapat

! ∈ ℕ sedemikian sehingga ! !!, 1/!!!!! = ∅. Jadi, terdapat ! > 0 sedemikian

sehingga ! !!, !!!!! = ∅ . ∎

Selanjutnya akan dijelaskan hubungan antara himpunan lengkap dengan himpunan tutup di

ruang metrik, yang berhubungan langsung dalam proses pembuktian teorema utama kedua

dalam skripsi ini. Berikut pernyataannya yang dirangkum dalam lemma.

Teorema 3.14 Misalkan !,! adalah ruang metrik dengan himpunan ! ⊆ ! . Jika !

lengkap di !, maka ! adalah himpunan tutup di !.


Bukti. Akan dibuktikan bahwa ! = ! dengan menunjukkan bahwa ! ⊆ ! dan ! ⊆ !.

Untuk ! ⊆ !, sudah jelas sesuai definisi !. Kemudian akan ditunjukkan ! ⊆ !. Misalkan

! ∈ ! sembarang, maka menurut Teorema 2.17, terdapat barisan (!!) di ! yang konvergen

ke ! ∈ !. Akibatnya, (!!) adalah barisan Cauchy di !. Karena ! himpunan lengkap, maka

barisan Cauchy (!!) konvergen di ! ∈ !. Karena hal ini berlaku untuk sebarang ! ∈ !,

maka ! ⊆ !. Oleh karena ! ⊆ ! dan ! ⊆ !, maka ! = !, sehingga menurut Definisi

2.7, ! adalah himpunan tutup di !. ∎

Berikut ini adalah akibat dari Teorema 3.13 yang dinyatakan dalam Teorema 3.15.

Akibat 3.15 Jika untuk setiap barisan subhimpunan tutup (!!) di ruang metrik (!,!)

sedemikian sehingga untuk beberapa ! ∈ ℕ , !! adalah lengkap di X dan !! = ∅!!!! ,

terdapat ! > 0 sedemikian sehingga ! !!, !!!!! = ∅ , maka untuk setiap barisan

subhimpunan lengkap (!!) di ! dengan !! = ∅!!!! , terdapat ! > 0 sedemikian sehingga

! !!, !!!!! = ∅.



Bukti. Misalkan (!!) adalah sembarang barisan subhimpunan lengkap di (!,!) dengan

!! = ∅!!!! . Menurut Lemma 3.14, setiap subhimpunan yang lengkap di ! adalah

himpunan tutup di !, maka akibatnya barisan himpunan lengkap (!!) adalah juga barisan

himpunan tutup di ! . Berdasarkan premis terdapat ! > 0 sedemikian sehingga

! !!, !!!!! = ∅. ∎

Kesimpulan Pada skripsi ini telah dipelajari dan dijelaskan sifat-sifat barisan dari subhimpunan tutup di

ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji. Sifat-sifat tersebut digali dari salah

satu sifat khusus fungsional yaitu: untuk setiap fungsi CS-regular bernilai real ! di !, terdapat

sebuah bilangan bulat positif !! sedemikian sehingga untuk setiap titik dari himpunan

! = ! \!!!( −!! ,!! ) terisolasi di ! dan inf{!(!): ! ∈ !} > 0.

Dari sifat fungsional tersebut diperoleh sifat barisan subhimpunan tutup di ruang metrik

(!,!) yang completion-nya adalah ruang Atsuji sebagai berikut:

1. Untuk setiap barisan subhimpunan tutup (!!) di (!,!) sedemikian sehingga untuk

beberapa ! ∈ ℕ, !! adalah lengkap di ! dan !! = ∅∞!!! , terdapat ! > 0 sedemikian

sehingga ! !!, !∞!!! = ∅. Sifat ini dibuktikan pada Teorema 3.13.

2. Untuk setiap barisan subhimpunan lengkap (!!) di (!,!) dengan !! = ∅∞!!! ,

terdapat ! > 0 sedemikian sehingga ! !!, !∞!!! = ∅.

Sifat kedua ini merupakan akibat dari sifat yang pertama dan dibuktikan pada Akibat 3.15.

Daftar Referensi [1] Aliprantis, C. D., & Burkinshaw, O. (1998). Principles of Real Analysis. California: Academic

Press.Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra. California: Cengage Learning.

[2] Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology. USA: Springer Science Business Media, Inc.Williard, S. (1970). General Topology. Canada: Addison-Wesley Publishing Company.

[3] Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc.

[4] Engelking, R. (1989). General Topology. Berlin: Heldermann.


[5] Jain, T., & Kundu, S. (2005). Atsuji Completion: Equivalent characterizations. Topology and its Application, 29-38.

[6] Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis with Application. New York: John Wiley & Sons.

[7] Munkres, J. R. (1975). Topology (2 ed.). USA: Prentice Hall.

[8] Soleman, (2012). Karakteristik Fungsional Pada Ruang Metrik Yang Completionnya Adalah Ruang Atsuji.

Depok: Universitas Indonesia.


sifat barisan subhimpunan tutup di ruang metrik yang

Documents