SETENGAH PUTARAN

Dalam pasal sebelumnya, telah kita lihat bahwa suatu pencerminan pada sebuah garis adalah suatu involusi. Contoh lain sebuah involusi adalah suatu setengah putaran mengelilingi sebuah titik; suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu. Oleh karena itu, setengah putaran juga dinamakan pencerminan pada suatu titik atau refleksi pada suatu titik.SA (E)

FSA(F)

EDefinisi:Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan SA yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut:1) Apabila P A maka SA (P) = P sehingga A titik tengah ruas garis 2) SA (A) = ATeorema 7.1 :Andaikan A sebuah titik dan g dan h garis tegak lurus yang berpotongan di A. Maka SA = MgMhBukti: Oleh karena g h, maka kita dapat membuat sebuah sistem sumbu orthogonal dengan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y.YP (-x,y)P (x , y)

gX

P (-x,-y) h

1) Jika P A, maka SA (P) = MgMh (P)2) Jika P = A, maka MgMh (P) = Mg (A) = Asedangkan SA (A) = A . Jadi juga MgMh (A) = SA (A) sehingga untuk setiap P pada bidang berlaku MgMh (A) = SA (P)Ini berarti MgMh (A) = SA

Teorema 7.2 :Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka Mg Mh = Mh MgBukti: Kalau P = A pada gambar diatas maka MgMh (A) = Mg (A) = AJuga Mh Mg (A) = Mh (A) = Asehingga Mg Mh (A) = Mh Mg (A)Untuk P A, maka Mg Mh = SAselanjutnya Mh Mg (P) = Mh ( -x, -y) = SA (P)Jadi Mh Mg = SAsehingga diperoleh Mg Mh = Mh Mg

Teorema 7.3 :Jika SA setengah putaran, maka SA-1 = SABukti: Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka Mg Mh = SA dengan A titik potong antara g dan h.Jadi (Mg Mh)-1 = Mh-1 Mg-1 = SA-1oleh karena Mh-1 = Mh dan M-1g = Mg maka MhMg = SA-1. menurut teorema 7.2 MhMg = MgMh oleh karena g hJadi, SA-1 = MgMh = SA