sekolah tinggi ilmu statistik

1

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

Distribusi Teoritis

Novi Hidayat Pusponegoro

• Distribusi Binomial

• Distribusi Multinomial

• Distribusi Hypergeometrik

• Distribusi Poisson

• Distribusi Normal

• Distribusi t-student

• Distribusi Chi Square

• Distribusi Fisher

2



PENDAHULUANJenis Peubah Acak/ Random Variable

• Kuantitatif• KualitatifMisal jika, anak berusia lima tahun ditanyai mengenai warna favorit mereka, maka variabelnya adalah variabel kualitatif. Sedangkan, jika yang diamati adalah jangka waktu mereka untuk merespon pertanyaan tersebut, maka variabelnya adalah kuantitatif

Jenis Peubah Acak Kuantitatif

• P. diskret: peubah yang nilainya berupa titik-titik bilangan/ hasil cacahan

• P. kontinyu: peubah nilainya merupakan suatu garis bilangan/ hasil pengukuran

3



PENDAHULUAN (2)Distribusi Peluanghubungan yang menunjukkan peluang dari suatu peubah acaknya (f(x))

Contoh:Dalam pelemparan sebuah dadu dengan enam sisi, maka:x= kemunculan suatu sisi (x=1,2,3,4,5,6)f(x)= peluang munculnya sisi x

x f(x)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

Maka X=1, 2, 3, 4, 5, 6f(x)=1/6, dst merupakan suatu distribusi peluang

4



Distribusi BinomialAsumsi:•Terdiri dari n ulangan yang pasti•Hanya mempunyai dua kemungkinan nilai yi; sukses atau gagal•Peluang terjadinya suatu kemungkinan nilai adalah tetap•Setiap percobaan yang dilakukan saling bebas (independent)

Jika peubah acak x dist. Binomial maka peluang untuk mendapatkan sukses sebanyak x dari n percobaan yang saling bebas:

untuk x=0, 1, 2, …Dengan; p: peluang sukses μ = E(x)= np (1-p)/q: peluang gagal σ2= E(xi- μ)= pqnUntuk pemudahan kemudahan nilai peluang peubah acak dari distribusi binomial disajikan dalam suatu tabel kumulatif.

xnx ppx

npnxf

)1(),;(

5



Distribusi MultinomialMerupakan percobaan binomial dengan k kemungkinan dalam setiap percobaan

Bila setiap percobaan mempunyai kemungkinan untuk menghasilkan kejadian E1, E2 , E3, ..., Ek dengan peluang P1, P2 , P3, ..., Pk. Maka sebaran peluang untuk peubah acak x1, x2 , x3, ..., xk dist. Multinomial, dengan fungsi peluangnya:

221 ......,...,

),...,,,;...,,,( 212,1

321,321xk

xx

kkk ppp

xxx

nppppxxxxf

k

ii nx

1

11

k

iip

6



Distribusi HypergeometrikAsumsi:•Dari populasi sebesar N diambil sampel sebanyak n•Pengambilan sampel tanpa pengembalian•Percobaan yang dilakukan tidak saling bebasSehingga fungsi peluang untuk x dist. Hypergeometrik adalah:

Dengan;k=himpunan peubah acak yang suksesN-k=himpunan peubah acak yang gagal

μ = E(x)= σ2= E(xi- μ)2=

n

N

xn

kN

x

k

knNxf ),,;(

N

nk

n

k

n

kn

N

nN1...

1

7



Distribusi Hypergeometrik (2)Untuk n kecil dibanding N, maka peluang peubah acak x akan berubah kecil sekali sehingga dist. Hypergeometrik dist. binomial dengan;P=k/N sehingga μ = E(x)= =np ;

σ2= E(xi- μ)2= =

Kemudian nilai nilai N/N=1. Biasanya n terbilang kecil jika n ≤ 5%N* Galat perhitungan antara penggunaan dist. Hypergeometrik dan dist. Binomial kecil, tetapi dala penggunaannya lebih mudah menggunakan dist. Binomial.

n

k

n

kn

N

nN1...

1 qpnN

nN...

1

8



Distribusi PoissonSebaran peubah acak x dikatakan mengikuti dist. Poisson jika banyaknya x pasti dan terjadi pada suatu interval waktu tertentu.Asumsi:•Terjadi dalam suatu interval waktu•Hasil percobaannya fixed•Peluang kejadiannya saling bebas antara interval waktu yang satu dengan yang lain

Jika peubah acak x dist. Poisson maka peluang untuk mendapatkan sukses sebanyak x dalam suatu interval waktu adalah:

,.....3,2,1,0);(

untuxx

exf

xx

9



Distribusi Poisson (2)Kemudian untuk distribusi binomial yang mempunyai n besar dan p yang kecil (n≥100 dan np<10), maka distribusi tsb akan mendekati ditribusi poisson (bentuk khusus) yaitu;

,.....3,2,1,0),;(

untuxx

enppnxf

npx

10



Sebaran NormalPeubah acak normal: suatu peubah kontinyu yang distribusinya berbentuk lonceng atau setangkupBila x adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah dan ragam 2, maka fungsi peluangnya adalah:

2

x2

1

e2

1)x(f

11



Sebaran Normal (2)Daari gambar daapt dilihat jika nilai semakin kecil maka data akan semakin berkelompok di sekitar rata-ratanya (kurva semakin runcing)

12



Sebaran Normal (3)Distribusi normal bakuKarena xnormal(x;, ) tergantung pad nilai dan , maka untuk membentuk nilai yang lebih baku bagi semua nilai dan dilakukan transformasi nilai x ke nilai baku z sbb:

x

z

Dimana bentuk kurva normal baku menyesuaikan dengan bentuk kurva normal:

13



Distribusi Chi SquareJika diambil contoh sebanyak n dari sebuah populasi normal dengan ragam dan dihitung (yang merupakan penduga dari ), sehingga dapat dibentuk peubah acak: dengan

kemudian untuk data sampel tidak diketahui sehingga diduga dengan , sehingga peubah acak menjadi dengan

2

2

x

22

2

2

22

2

21 .... n

nnxxx

x 2

2

xx

212

2

2

22

2

21 ....

n

nn xxxxxx

14



Distribusi Chi Square (2)

Sehingga

21

22

21

222

2

2

12

1

22

1

1....

11

1

n

nn

n

tt

n

n

xxxxxx

nxx

n

2

22

)1(

)1(

n

n

15



Distribusi t-studentAndaikan Z adalah variabel random dengan distribusi normal standard dan adalah variabel random berdistribusi chi-squared yang bebas dengan derajad kebebasan v. Maka variabel random t

2z

t

berdistribusi t dengan derajad kebebasan v .Distribusi t ditentukan oleh nilai derajad kebebasan v.Grafik fungsi densiti distribusi t berbentuk simetris seperti bel dengan garis tengah pada t=0.Parameter v adalah parameter bentuk. Yakni dengan berubahnya nilai v maka bentuk grafik berubah. Semakin tinggi nilai v maka grafiknya semakin runcing dan pada nilai distribusinya menjadi normal.

2 2

2

16



Distribusi t-student (2)

runcing dan pada nilai distribusinya menjadi normal.

-6 -4 -2 0 2 4 6

t5

Normal

17



Distribusi t-student (3)Sifat sebaran t•Derajat bebasnya n-1 (merupakan pembagi bagi nilai 2)

•Setangkup sehingga besarnya t=t1-

•Bentuk kurva t-student setangkup (mirip kurva normal baku) tetapi cara pembacaannya berbeda, misal t,v adalah nilai t dengan luas daerah sebelah kanan sebesar dengan derajat bebas v.Sehingga nilai z berlaku jika 2 diketahui, tetapi jika 2 tidak diketahui•Untuk sampel besar, maka s2 mendekati 2 sehingga nilai mendekati

•Untuk sampel kecil, 2 2 sehingga nilai

x

x

x

x

18



Distribusi Fisher

22

21 dan

22

21 dan

21

22

22

21

22

21

22

21

F

22

11

2

22

1

11

v

vf

Jika diketahui sebagai penduga dari

sehingga dapat dibentuk suatu peubah acak

yang mengikuti sebaran Fisher

dengan derajat bebas v1=n1-1 dan v2=n2 – 1.

sekolah tinggi ilmu statistik

Documents