statistik & probabilitas -...

Statistik & Probabilitas 2012

FARID MUHAMMAD - 1010620058 1

PENDAHULUAN

1. Statistik

Dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, statistik tidak hanya kumpulan

angka-angka dalam tabel atau grafik seperti dulu. Statistik telah berkembang sesuai dengan

tuntutan ilmu pengetahuan sekarang ini. Statistik dapat digunakan dalam segala bidang ilmu

pengetahuan. Sehingga pengertian statistik pun berkembang menjadi:

Statistik merupakan cabang dari ilmu matematika yang mempelajari cara (metode)

pengumpulan, penyajian, analisa, interpretasi dan penarikan kesimpulan dari sekelompok data

yang disusun, dalam bentuk angka. (Hifni, 1990)

Bidang statistik berkaitan dengan pengumpulan, penyajian, analisis, dan penggunaan

data untuk membuat keputusan dan memecahkan masalah. Karena banyak aspek praktek

rekayasa melibatkan pekerjaan yang berhubungan dengan data, pengetahuan tentang statistik

penting bagi insinyur dari bidang apapun. Secara khusus, teknik statistik dapat mempermudah

kerja dalam merancang produk dan sistem baru, meningkatkan kualitas desain yang sudah ada,

dan merancang, mengembangkan, dan meningkatkan proses produksi.

Metode statistik digunakan untuk membantu kita menggambarkan dan memahami

variabilitas. Variabilitas berarti, bahwa pada setiap pengamatan dari suatu sistem atau

fenomena, tidak akan menghasilkan hasil yang sama persis. Kita semua menghadapi variabilitas

dalam kehidupan kita sehari-hari, dan statistik dapat memberikan kita cara yang tepat untuk

memasukkan variabilitas tersebut ke dalam proses pengambilan keputusan. Misal, jarak yang

dapat ditempuh suatu mobil untuk tiap liter bensin. Apakah selalu sama? Tentu saja tidak,

faktanya jarak tersebut bervariasi. Variabilitas ini bergantung pada banyak faktor seperti kondisi

jalan, cuaca, kondisi mobil, dll. Faktor-faktor inilah yang menggambarkan sumber dari

variabilitas sistem tersebut. Statistik memberi kita kerangka untuk menjelaskan variabilitas ini

dan untuk mempelajari tentang sumber variabilitas mana yang paling penting atau yang

memiliki dampak terbesar pada sistem tersebut.

2. Probabilitas

Probabilitas biasa digunakan untuk menggambarkan pemikiran terhadap beberapa

masalah atau dalil yang kebenarannya tidak menentu. Masalah tersebut biasanya dalam bentuk

“Apakah peristiwa tertentu akan terjadi?” Sedangkan pemikiran dalam bentuk ”Seberapa

yakinkah kita bahwa peristiwa tersebut akan terjadi?” Keyakinan (kepastian) yang kita adopsi



tersebut dapat digambarkan dalam bentuk ukuran numerik, antara 0 dan 1, yang kita sebut

probabilitas. Semakin tinggi nilai probabilitas dari suatu peristiwa, semakin yakin kita bahwa

peristiwa tersebut akan terjadi.

Jadi, probabilitas dalam pengertiannya adalah ukuran atau nilai dari kemungkinan suatu

peristiwa acak akan terjadi. (Wikipedia)

Teori matematika tentang probabilitas memberi kita alat dasar untuk membangun dan

menganalisa model matematika untuk fenomena acak. Dalam mempelajari fenomena acak, kita

berhadapan dengan percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi sebelumnya.

Dalam sains dan teknologi, fenomena acak menggambarkan berbagai macam situasi.

Pada umumnya, mereka dapat dikelompokkan menjadi dua kelas yang besar. Kelas yang

pertama berhubungan dengan fenomena fisik atau alam yang melibatkan ketidakpastian.

Ketidakpastian masuk ke dalam rumusan masalah melalui kompleksitas, kurangnya pemahaman

kita tentang semua sebab dan akibat masalah tersebut, dan kurangnya informasi. Misalnya,

prakiraan cuaca. Informasi yang diperoleh dari satelit cuaca dan informasi meteorologi lainnya

tidak cukup untuk membuat prediksi cuaca tersebut bisa diandalkan 100 persen. Oleh karena

itu, laporan cuaca di radio dan televisi dibuat berdasarkan probabilitas.

Kelas kedua mempelajari model probabilistik yang menyangkut variabilitas. Misalnya,

masalah dalam kepadatan lalu lintas dimana seseorang ingin mengetahui jumlah kendaraan

melintasi titik tertentu di jalan dalam interval waktu tertentu. Jumlah ini bervariasi tak terduga

untuk interval satu dan interval lain, dan variabilitas ini mencerminkan variabel perilaku

pengemudi yang melekat dalam masalah ini. Sifat ini memaksa kita untuk mengadopsi sudut

pandang probabilistik, dan teori probabilitas menyediakan alat yang tepat untuk menganalisis

masalah jenis ini.

Dapat dikatakan bahwa variabilitas dan ketidakpastian ada dalam setiap pemodelan

untuk semua fenomena nyata, dan wajar bila melihat pemodelan dan analisis probabilitas

menempati posisi sentral dalam perkembangan berbagai topik ilmu dalam sains dan teknologi.



POPULASI, SAMPEL DAN DATA

1. Populasi

Populasi adalah keseluruhan objek yang akan/ingin diteliti. Populasi ini sering juga

disebut Universe. Anggota populasi dapat berupa benda hidup maupun benda mati, dimana

sifat-sifat yang ada padanya dapat diukur atau diamati. Populasi yang tidak pernah diketahui

dengan pasti jumlahnya disebut "Populasi Infinit" atau tak terbatas, dan populasi yang

jumlahnya diketahui dengan pasti (populasi yang dapat diberi nomor identifikasi), misalnya

murid sekolah, jumlah karyawan tetap pabrik, dll disebut "Populasi Finit".

2. Sampel

Sampel adalah bagian dari populasi yang menjadi objek penelitian (sampel sendiri

secara harfiah berarti contoh). Hasil pengukuran atau karakteristik dari sampel disebut

"statistik" yaitu X untuk harga rata-rata hitung dan S atau SD untuk simpangan baku.

Alasan perlunya pengambilan sampel adalah sebagai berikut :

Keterbatasan waktu, tenaga dan biaya.

Lebih cepat dan lebih mudah.

Memberi informasi yang lebih banyak dan dalam.

Dapat ditangani lebih teliti.

Pengambilan sampel kadang-kadang merupakan satu-satunya jalan yang harus dipilih,

(tidak mungkin untuk mempelajari seluruh populasi) misalnya:

Meneliti air laut di Indonesia

Mencicipi rasa makanan di dapur

Mencicipi durian yang hendak dibeli

Dalam prakteknya, berikut jenis (teknik) pemilihan sampel yang paling banyak

digunakan oleh peneliti:

a) Sampel Random (Random Sampling)

Cara ini dapat digunakan apabila dari populasi dianggap semua unsur yang terdapat

dalam populasi tersebut memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih. Contohnya

pengambilan adukan campuran baja untuk dibuat sampel kubus.

b) Sampel Sistematis (Systematic Sampling)

Sebuah sampel dianggap sistematis, apabila proses pengambilannya dilakukan

secara sistematis dari populasinya. Contohnya apabila kita ingin menyelidiki lapisan tanah,



dimana sampel-sampel yang kita ambil pada kedalaman-kedalaman tertentu, maka secara

teoritis apabila pengambilan dilakukan beberapa tempat maka pada kedalaman yang

mempunyai lapisan yang sama, dapat kita hubungkan dengan garis, dan ini merupakan

proyeksi perkiraan lapisan tanah berdasarkan hasil dari data yang kita peroleh.

c) Sampel Luas / Kelompok (Cluster Sampling)

Pengambilan sampel dilakukan terhadap sampling unit, dimana sampling unitnya

terdiri dari satu kelompok (cluster). Tiap item (individu) di dalam kelompok yang terpilih

akan diambil sebagai sampel. Cara ini dipakai bila populasi dapat dibagi dalam kelompok-

kelompok dan setiap karakteristik yang dipelajari ada dalam setiap kelompok. Misalnya ingin

meneliti gambaran karakteristik (umur, suku, pendidikan dan pekerjaan) orang tua

mahasiswa FT Universitas Brawijaya. Mahasiswa FT-UB dibagi dalam 6 kelompok (I s/d VI).

Pilih secara random salah satu tingkat (misal kelompok II). Maka orang tua semua mahasiswa

yang berada pada tingkat II diambil sebagai sampel (Cluster).

d) Sampel Bertingkat (Multi Stage Sampling)

Pengambilan sampel bertingkat dapat dilakukan, apabila populasi dapat terbagi

dalam tingkatan-tingkatan, sehingga pengambilan sampel disesuaikan dengan jumlah tiap

tingkatan. Contohnya bila kita mengajukan pendapat umum, maka sampel dibagi atas

beberapa tingkatan umum, atau kita ingin menyelidiki pengeluaran rata-rata dari penduduk

kita dapat menggolongkan pada tingkat penghasilan dan sebagainya.

e) Sampel Kuota (Quota Sampling)

Pengambilan sampel hanya berdasarkan pertimbangan peneliti saja, hanya

disini besar dan kriteria sampel telah ditentukan lebih dahulu. Misalnya Sampel yang akan di

ambil berjumlah 100 orang dengan perincian 50 laki dan 50 perempuan yang berumur 15-40

tahun. Cara ini dipergunakan kalau peneliti mengenal betul daerah dan situasi daerah

dimana penelitian akan dilakukan.

3. Data

Dalam statistika dikenal beberapa jenis data. Data dapat berupa angka dapat pula

bukan berupa angka. Data berupa angka disebut data kuantitatif dan data yang bukan angka

disebut data kualitatif.

Berdasarkan nilainya dikenal dua jenis data kuantitatif yaitu data diskrit yang diperoleh

dari hasil perhitungan dan data continue yang diperoleh dari hasil pengukuran. Menurut

sumbernya data dibedakan menjadi dua jenis yaitu data interen adalah data yang bersumber



dari dalam suatu instansi atau lembaga pemilik data dan data eksteren yaitu data yang

diperoleh dari luar.

Data eksteren dibagi menjadi dua jenis yaitu data primer dan data sekunder. Data

primer adalah data yang langsung dikumpulkan oleh orang yang berkepentingan dengan data

tersebut dan data sekunder adalah data yang tidak secara langsung dikumpulkan oleh orang

yang berkepentingan dengan data tersebut.

Data bisa disajikan dalam bentuk tabel atau grafik.

a) Tabel Statistika

Ada beberapa macam tabel yang kita kenal dalam tabel statistika, yang fungsinya

bukan hanya mempermudah pada pengolah data saja, tetapi tabel dapat berfungsi sebagai

alat bantu komunikasi dan sumber informasi bagi pembacanya. Tabel-tabel tersebut secara

umum dapat dibagi dalam

Tabel Referensi

Tabel referensi ini biasanya disusun secara khusus dan terinci guna kepentingan

referensi. Contohnya tabel dibawah ini yang merupakan tabel referensi kekuatan pipa

baja

Tabel Iktisar

Merupakan bentuk penyajian beberapa data, hasil dari pengumpulan atau pengukuran

sebelumnya dari kelompok jenis data tertentu sehingga seseorang secara langsung

dapat membandingkan antara data yang satu dengan data lainnya.

Tabel Umum

Bentuk penyajian data yang dikumpulkan dari bermacam-macam jenis data, yang

dituliskan dalam suatu monogram. Biasanya informasi ini dikumpulkan berdasarkan

sensus, sehingga setiap saat data itu akan berubah sesuai dengan perkembangan.

Contoh:

http://blog.ub.ac.id/faridmuhammad/files/2012/03/tabel-ref-baja.jpg



Tabel Distribusi

Bentuk penataan data, yang dibuat oleh pengolahan data berdasarkan hasil-hasil data

yang diperoleh oleh peneliti tersebut, yang bertujuan untuk memperoleh gambaran

karakteristik dari data yang akan diolahnya. Contoh:

b) Grafik

Grafik adalah cara penyampaian informasi bagi pembacanya. Penyajian data dengan

grafik dianggap lebih komunikatif karena dalam waktu singkat dapat diketahui karakteristik

dari data yang disajikan.

Grafik Garis

Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis

dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda. Contoh grafik garis

tunggal dan ganda:

http://blog.ub.ac.id/faridmuhammad/files/2012/03/tabel-umum.jpg



Grafik Batang

Grafik batang pada dasarnya sama fugsinya dengan grafik garis yaitu untuk

menggambarkan data berkala. Grafik batang juga terdiri dari grafik batang tunggal dan

grafik batang ganda. Contoh grafik batang tunggal dan ganda:

Grafik Lingkaran

Grafik lingkaran menunjukkan hubungan bagian informasi yang satu dengan yang lain

terhadap total seluruh informasi. Biasanya bagian-bagian informasi digambarkan dalam



bentuk proporsi atau presentase dimana lingkaran menggambarkan seluruh total

kejadian. Contoh grafik lingkaran:

Histogram

Penyajian data dengan histogram diperlukan suatu batas tepi kelas, sehingga masing-

masing kelas dapat berhimpit menjadi satu batas. Contoh histogram:

Poligon

Jika pada penggambaran histogram diperlukan batas tepi, maka untuk menggambarkan

poligon data yang diperlukan hanya titik tengah dan frekuensi saja. Hanya saja

tambahan dua batas lagi, yaitu pada awal dan akhir dari garis poligon, dilanjutkan

setebal interval dari masing-masing kelas yang ada. Contoh poligon:



TENDENSI SENTRAL

Ukuran rata-rata dalam statistik banyak ragamnya. Dalam penelitian pendidikan hanya tiga

macam ukuran rata-rata yang sering digunakan yaitu, mean atau rata-rata hitung, median dan mode.

1. Mean

Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja

merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi

sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi

dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut:

Sampel:

Populasi:

Keterangan:

∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan

n = banyaknya sampel data

N = banyaknya data populasi

= nilai rata-rata sampel

μ = nilai rata-rata populasi

Mean dilambangkan dengan (dibaca “x-bar”) jika kumpulan data ini merupakan

contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari opulasi, mean

dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu).

Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris, , sementara parameter-

parameter populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ

a) Rata-rata hitung (Mean) untuk data tunggal

Contoh 1:

Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:

2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

Jawab:

Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan

formula berikut:



Keterangan:


fi = frekuensi data ke-i

n = banyaknya sampel data


Contoh 2:

Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:

xi fi

70 5

69 6

45 3

80 1

56 1

Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal,

bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas

tertentu.

Jawab:

xi fi fixi

70 5 350

69 6 414

45 3 135

80 1 80

56 1 56

Jumlah 16 1035



b) Mean dari data distribusi Frekuensi atau dari gabungan:

Distribusi Frekuensi

Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat

ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung

nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu:

Keterangan:


fi = frekuensi data ke-i


Contoh 3:

Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel

frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat

dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7

dan panjang kelas = 10).

Kelas ke- Nilai Ujian fi

1 31 – 40 2

2 41 – 50 3

3 51 – 60 5

4 61 – 70 13

5 71 – 80 24

6 81 – 90 21

7 91 – 100 12

Jumlah 80

Jawab:

Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi) dan hitung fixi.

Kelas ke- Nilai Ujian fi xi fixi

1 31 – 40 2 35.5 71.0

2 41 – 50 3 45.5 136.5



3 51 – 60 5 55.5 277.5

4 61 – 70 13 65.5 851.5

5 71 – 80 24 75.5 1812.0

6 81 – 90 21 85.5 1795.5

7 91 – 100 12 95.5 1146.0

Jumlah 80 6090.0

Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi

frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan

menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak

memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.

Rata-rata Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted Mean)

Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah

cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.

2. Median

Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,…, xn adalah nilai pengamatan yang

terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan

(n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh

dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Dengan

demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50%

dari pengamatan terletak di bawah median dan 50% lagi terletak di atas median.

Median sering dilambangkan dengan (dibaca “x-tilde”) apabila sumber datanya

berasal dari sampel (dibaca “μ-tilde”) untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh

nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka.



Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu,

kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:

Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data

Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di

tengah gugus data

a) Median data tunggal:

Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui

letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula

berikut:

dimana

n= banyaknya data pengamatan.

Median apabila n ganjil

Contoh 4:

Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:

8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10

banyaknya data (n) = 11

posisi Me = ½ (11+1) = 6

jadi Median = 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)

Nilai Ujian 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 10

Urutan data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

↑

Median apabila n genap:

Contoh 6:

Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:

8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9



Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

banyaknya data (n) = 10

posisi Me = ½ (10+1) = 5.5

Data tengahnya: 6 dan 7

jadi Median = ½ (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan

ke-6)

Nilai Ujian 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9

Urutan data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

↑

b) Median dalam distribusi frekuensi

Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai

berikut:

b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai

median

p = panjang kelas median

n = ukuran sampel/banyak data

f = frekuensi kelas median

F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑fi)

Contoh 6:

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke- Nilai Ujian fi fkum

1 31 – 40 2 2

2 41 – 50 3 5

3 51 – 60 5 10



4 61 – 70 13 23

5 71 – 80 24 47 ←letak kelas median

6 81 – 90 21 68

7 91 – 100 12 80

8 Jumlah 80

Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian

71-80)

b = 70.5, p = 10

n = 80, f = 24

f = 24 (frekuensi kelas median)

F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23

3. Mode

Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus,

pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya.

Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik

untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu

gugus data:

Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan

bimodal.

Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut

dikatakan multimodal.

Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut

dikatakan tidak mempunyai modus.

Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu

distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.

Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya

sama.

Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus

untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu

mean > median > modus.



Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal,

namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut:

Mean – Mode = 3 (Mean – Median)

a) Modus Data Tunggal

Contoh: 8:

Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9

2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9

2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9

2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Jawab:

2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak =

3), sehingga Modus (M) = 7

2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing

muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan

bimodal karena mempunyai dua modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya berurutan,

mode sering dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.

2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing

muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan

bimodal karena mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena

ke-2 mode tersebut tidak berurutan.

2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-

masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut

dikatakan multimodal karena modusnya lebih dari dua.



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama,

masing-masing muncul satu kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak

mempunyai modusnya

b) Mode dalam Distribusi Frekuensi:

dimana:

Mo = modal = kelas yang memuat modus

b = batas bawah kelas modal

p = panjang kelas modal

bmo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi)

b1= bmo – bmo-1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya

b2 = bmo – bmo+1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya

Contoh:

Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!

Jawab:

Kelas ke- Nilai Ujian fi

1 31 – 40 2

2 41 – 50 3

3 51 – 60 5

4 61 – 70 13

→ b1 = (24 – 13) = 11

5 71 – 80 24 ← kelas modal (frekuensinya paling besar)

→ b2 =(24 – 21) =3

6 81 – 90 21

7 91 – 100 12

8 Jumlah 80

Kelas modul =kelas ke-5

b = 71-0.5 = 70.5; b1 = 24 -13 = 11; b2 = 24 – 21 = 3

p = 10



4. Varian dan Standar Deviasi

Salah satu ukuran variabilitas (measure of dispersion) yang paling sering digunakan jika

data yang diukur berskala interval adalah varians. Varians didefinisikan sebagai rata-rata dari

skor penyimpangan kuadrat. Untuk mencari varians, dibedakan antara varians populasi yang

dilambangkan dengan (σ2) dengan varians sample yang dilambangkan dengan (s2).

Untuk varians populasi, dapat dicari dengan rumus:

Dimana:

µ = rata-rata populasi

N = total jumlah populasi

Adapun varians untuk sample dapat dicari dengan rumus yang sama namun

mengurangkan N dengan 1 sebagai berikut:

Dimana :

s = rata-rata sample

n = jumlah sampel yang digunakan

Untuk lebih memperjelas, baiklah kita coba dengan menghitung varians untuk populasi

jika kita memiliki data pengukuran tentang nilai 5 siswa pada mata pelajaran matematika

sebagai berikut:

7; 7; 9; 8; 6

Untuk menghitung varians dari data di atas maka kita harus mencari dahulu berapa

mean (rata-rata) dari. Dengan rata-rata 6,9 maka kita tinggal memasukkan data di atas sebagai

berikut:

Dengan varian sebesar 1,3 maka untuk mencari standar deviasi kita tinggal mengakar

kuadratkan 1,3 yang akan menghasilkan 1,14. Karena varian adalah ukuran keberagaman data,

http://1.bp.blogspot.com/_lKlbyrdPRCo/TFDHpNr2DGI/AAAAAAAAAdc/tpWyPhXWShQ/s1600/varian+populasi.gif

http://1.bp.blogspot.com/_lKlbyrdPRCo/TFDHpVlxDcI/AAAAAAAAAdk/TFlqv4Okglw/s1600/varian+sampel.gif

http://2.bp.blogspot.com/_lKlbyrdPRCo/TFDHoJGDk8I/AAAAAAAAAdM/eU-3w1ijDt4/s1600/perhitungan+varians.gif



maka semakin besar angkat varians maka semakin beragamlah data yang kita miliki dan

semakin kecil nilai varians maka semakin homogenlah data yang kita miliki.

Nah, jika seandainya nilai varians yang kita miliki ternyata adalah 0, maka dapat

disimpulkan bahwa dalam populasi atau sampel yang kita miliki tidak terdapat variabilitas.

Keadaan demikian dapat terjadi jika sekor untuk setiap sampel/populasi adalah sama.

Selain rumus di atas, kita juga dapat menggunakan rumus-rumus lain untuk mencari

varians. Pada dasarnya, pemilihan rumus yang digunakan tergantung pengguna yang merasakan

rumus manakah yang paling mudah digunakan. Rumus-rumus yang lain tersebut diantaranya

adalah:

Untuk varians sampel:

http://1.bp.blogspot.com/_lKlbyrdPRCo/TFDHoWZhuKI/AAAAAAAAAdU/JWpMybAjgJM/s1600/rumus+varian+2.gif



UKURAN POSISI

1. Quartil (Q)

Suatu nilai yang membagi data dalam kelompok maisng-masing 25%, sehingga

kelompok data akan terbagi menjadi 4 bagian. Kelompok data terbagi menjadi 3 bagian yaitu:

Q1 : Quartil bawah

Q2: Quartil tengah

Q3: Quartil atas

Perhitungan Quartil:

Dimana:

LQi = batas tepi bawah nilai kelas Quartil ke i

Qi = Quartil ke i (i = 1;2;3)

n = jumlah data

i = nomor quartil ke i

∑fQi = jumlah frekuensi sebelum kelas quartil

fQi = frekuensi kelas kuartil

c = interval kelas

2. Quentil (q)

Quentil membagi data menjadi 5 bagian masing-masing 20% dari tabel data. Maka

jumlah sekelompok data mempunyai 4 Quentil yaitu q1, q2, q3, dan q4.

Perhitungan Quensil:

Dimana:

Lqi = batas tepi bawah nilai kelas Quensil ke i

qi = Qensil ke i (i = 1;2;3;4)

n = jumlah data

i = nomor quensil ke i

∑fqi = jumlah frekuensi sebelum kelas quensil



fqi = frekuensi kelas quensil

c = interval kelas

3. Desil (d)

Desil membagi sekelompok data menjadi 10 bagian, sehingga masing-masing bagian

10%. Berarti sekelompok data mempunyai 9 desil d1, d2,d3,......d9.

Perhitungan Desil:

Dimana:

Ldi = batas tepi bawah nilai kelas desil ke i

di = desil ke i (i = 1;2;3;4;5;6;7;8;9)

n = jumlah data

i = nomor desil ke i

∑fdi = jumlah frekuensi sebelum kelas desil

fdi = frekuensi kelas desil

c = interval kelas

4. Persentil (p)

Persentil membagi sederetan data menjadi 100 bagian yang masing-masing bagian 1%.

Berarti sekelompok data mempunyai 99 persentil, yaitu p1, p2, p3.......p99.

Perhitungan Persentil:

Dimana:

Lpi = batas tepi bawah nilai kelas persentil ke i

pi = desil ke i (i = 1;2;3;4;......99)

n = jumlah data

i = nomor desil ke i

∑fpi = jumlah frekuensi sebelum kelas desil

fpi = frekuensi kelas desil

c = interval kelas



PROBABILITAS

Konsep probabilitas (peluang) mulanya berkembang dari judi, namun demikian dalam

perkembangannya mempunyai peranan penting dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari.

Menurut BJ Randel: Probabilitas diartikan sebagai suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur

tingkat peluang terjadinya kejadian yang random

Suatu proses disebut random, bila hasil proses tersebut tidak dapat ditentukan sebelumnya

dengan pasti, dan terjadinyapun tidak dapat ditentukan dengan pasti. Sehingga nilai peluang

tersebut hanya dapat dipakai sebagai ukuran untuk memprediksi peluang yang akan terjadi dalam

suatu kejadian. (Hifni, 1990)

1. Nilai Peluang

Apabila suatu event (E) dapat terjadi sebanyak h kali sejumlah n cara peluang yang sama,

maka peluang event tersebut dapat terjadi atau tidak dapat ditulis:

Jika Pr(E) ditulis dengan simbol p (dapat terjadi/succeed) dan Pr(bukan E) disimbolkan q

(gagal/failure) maka p+q=1

Contoh: bila sebuah dadu dilempar, berapa peluang muncul mata dadu 5?

Jawab : Dadu memiliki 6 sisi, dan masing-masing sisi tertulis nilai 1-6. Maka tiap pelemparan

tiap sisi menpunyai nilai peluang yang sama. Berarti ada 6 cara untuk muncul. Harapan

munculnya mata dadu 5 adalah 1 dari 6 kejadian tersebut maka peluangnya adalah

p=1/6 dan peluang tidak munculnya angka 5 adalah q=1-1/6=5/6.

2. Analisa Kombinatorial

a) Permutasi

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan ialah penempatan r

unsur tersebut dalam suatu urutan (r>n).

b) Kombinasi

Jika permutasi unsur-unsur tersebut disusun tidak mempermasalahkan urutan maka

pada kombinasi, urutan pasangan dipermasalahkan.

http://blog.ub.ac.id/faridmuhammad/files/2012/03/nilai-peluang.jpg



Persamaan permutasi dan kombinasi:

3. Distribusi Kemungkinan

Apabila nilai kemungkinan menggambarkan nilai dari suatu kejadian, maka seluruh nilai

kejadian dapat digambarkan dengan distribusi tersebut.

Dalam berbagai peristiwa probabilitas yang bersifat independen dan dependen akan

mengalamai kesulitan dalam penghitungan jika frekuensi percobaannya cukup banyak (bekali-

kali). Apalagi untuk peristiwa yang bersifat independen dengan frekuensi percobaan yang tidak

terhingga (tidak terbatas). Untuk menjawab permasalahan tersebut, maka digunakan Distribusi

Kemungkinan untuk penyelesaian secara sederhana. Untuk membahas distribusi kemungkinan,

terlebih dahulu harus dapat membedakan antara Variabel Diskrit dengan Variabel Kontinyu.

Variabel Diskrit merupakan variabel yang mempunyai angka-angka bulat. Misalnya

jumlah mahasiswa sebanyak 60 orang, dia pergi ke Jakarta sebanyak 4 kali dan lain-lain. Dalam

variabel diskrit berlaku ketentuan X > 5 tidak sama X >= 5. Sedangkan yang dimaksud dengan

Variabel Kontinyu adalah suatu variabel yang mempunyai nilai berkesinambungan

(antara variabel satu dengan variabel selanjutnya tidak mempunyai jarak). Misalnya panjang

jalan itu 25,73 km, perusahaan itu sudah berusia 5 tahun, 8 bulan, 25 hari. Dalam variabel

kontinyu berlaku ketentuan X > 5 sama dengan X >= 5. Dengan demikian variabel kontinyu

dapat dikatakan mempunyai nilai yang kecilnya tidak terhingga dan besarnya juga tidak

terhingga.Dalam bab ini pembahasan distribusi kemungkinan lebih difokuskan pada :

a) Variabel Diskrit :

Peristiwa Dependen : Distribusi Hipergeometris.

Peristiwa Independen : Distribusi Binomial, Distribusi Multinomial dan Distribusi

Poisson.

b) Variabel Kontinyu :

Peristiwa Independen : Distribusi Normal

http://blog.ub.ac.id/faridmuhammad/files/2012/03/nilai-peluang1.jpg



4. Distribusi Hipergeometris

Distribusi Hipergeometris digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa yang

bersifat dependen (bersyarat) dan variabelnya bersifat diskrit. Rumus yang digunakan : P(x1, x2,

…, xi) = (n1Cx1.n2Cx2 … niCxi)/(nCx); dimana x1, x2, … xi : banyaknya peristiwa yang diharapkan

terjadi dari setiap peristiwa; n1, n2, …ni : banyaknya seluruh frekuensi yang dapat terjadi dari

setiap peristiwa; n = n1 + n2 + … + ni; dan x = x1 + x2 + … + xi.

Contoh :

Sebuah kotak berisi 10 bola, yang terdiri 4 bola warna merah dan 6 bola warna hitam. Jika

diambil sebanyak 3 bola secara berturut-turut (tanpa dikembalikan) berapa probabilitas

terambil bola 2 warna merah dan 1 warna hitam.

Jawab :

X1 = kejadian bola warna merah

X2 = kejadian bola warna hitam

P(2 ; 1) = ((4C2).(6C1))/(10C3) = 36/120 = 0,3

5. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial digunakan untuk menghitung peristiwa-peristiwa yang bersifat independen

dengan variabel yang bersifat diskrit. Rumus yang digunakan adalah :

http://3.bp.blogspot.com/_iUJ0P7Qk6ig/SbdDBQnweHI/AAAAAAAAAio/So4mffEpA5g/s1600-h/2.bmp



REGRESI

Regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk membentuk model hubungan antara

variabel terikat (dependen; respon; Y) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen, prediktor,

X). Apabila banyaknya variabel bebas hanya ada satu, disebut sebagai regresi linier sederhana,

sedangkan apabila terdapat lebih dari 1 variabel bebas, disebut sebagai regresi linier berganda.

Analisis regresi setidak-tidaknya memiliki 3 kegunaan, yaitu untuk tujuan deskripsi dari

fenomena data atau kasus yang sedang diteliti, untuk tujuan kontrol, serta untuk tujuan prediksi.

Regresi mampu mendeskripsikan fenomena data melalui terbentuknya suatu model hubungan yang

bersifatnya numerik. Regresi juga dapat digunakan untuk melakukan pengendalian (kontrol)

terhadap suatu kasus atau hal-hal yang sedang diamati melalui penggunaan model regresi yang

diperoleh. Selain itu, model regresi juga dapat dimanfaatkan untuk melakukan prediksi untuk

variabel terikat.

Namun, yang perlu diingat, prediksi di dalam konsep regresi hanya boleh dilakukan di dalam

rentang data dari variabel-variabel bebas yang digunakan untuk membentuk model regresi tersebut.

Misal, suatu model regresi diperoleh dengan mempergunakan data variabel bebas yang memiliki

rentang antara 5 s.d. 25, maka prediksi hanya boleh dilakukan bila suatu nilai yang digunakan

sebagai input untuk variabel X berada di dalam rentang tersebut. Konsep ini disebut sebagai

interpolasi.

1. Regresi Linear

Regresi Linear digunakan untuk menentukan fungsi linier yang paling sesuai dengan

kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.

Untuk mendapatkan fungsi linier y=mx+c, dicari nilai m dan c

Contoh penyelesaian analisis regresi linear:

Carilah persamaan kurva linier jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut:



Sehingga persamaan kurva linearnya menjadi:

2. Regresi Polinomial

Regresi Polinomial digunakan untuk menentukan fungsi polinomial yang paling sesuai

dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.

Fungsi pendekatan:

Untuk mendapatkan persamaan polinomial ordo kedua didapatkan hubungan:



Contoh penyelesaian regresi polinomial:

Menggunakan matriks dan metode Gauss/Gauss-Jordan untuk mencari persamaan

polinomialnya,

Sehingga persamaan eksponensialnya menjadi:

3. Regresi Eksponensial

Regresi Eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling

sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Regresi Eksponensial merupakan

pengembangan dari regresi linier dengan memanfaatkan fungsi logaritmik. Untuk fungsi

dapat dilograritmakan menjadi atau jika

maka .



Contoh penyelesaian regresi eksponensial:

Carilah persamaan kurva eksponensial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut,

Cari nilai a dan b seperti mencari nilai m dan c pada regresi linear,

Sehingga persamaan eksponensialnya menjadi:



PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Hipotesis

Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi.

Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. Kebenaran

(benar atau salahnya ) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita

memeriksa seluruh populasi. (Memeriksa seluruh populasi? Apa mungkin?) Lalu apa yang kita

lakukan, jika kita tidak mungkin memeriksa seluruh populasi untuk memastikan kebenaran suatu

hipotesis? Kita dapat mengambil contoh acak, dan menggunakan informasi (atau bukti) dari

contoh itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis.

Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis

tersebut dan bukan karena hipotesis itu benar. Sedangkan penolakan suatu hipotesis terjadi

karena tidak cukup bukti untuk menerima hipotesis tersebut dan bukan karena hipotesis itu salah.

Landasan penerimaan dan penolakan hipotesis seperti ini, yang menyebabkan para statistikawan

atau peneliti mengawali pekerjaan dengan terlebih dahulu membuat hipotesis yang diharapkan

ditolak, tetapi dapat membuktikan bahwa pendapatnya dapat diterima.

Hipotesis dibedakan menjadi dua macam yaitu Hipotesis Nol (H0) yang menyatakan

hipotesis yang diuji dan Hipotesis Alternatif (H1). H0 harus berupa satu nilai parameter dari suatu

populasi (rata-rata atau varians). H1 bisa merupakan beberapa kemungkinan nilai parameter.

2. Kesalahan

Kesalahan jenis 1: suatu kesalahan bila menolak H0 yang benar (seharusnyaditerima), tingkat

kesalahan ini dinyatakan dalam α.

Kesalahan jenis2: suatu kesalahan bila menerima H0 yang salah (seharusnyaditolak), tingkat

kesalahan ini dinyatakan dalamβ.

Biasanya tingkat kesalahan yang diambil dinamakan dengan tingkat signifikasi yaitu

antara 1% sampai dengan 5%. Suatu hipotesa dikatakan terbukti dengan tingkat kesalahan 1%



bila dilakukan pada 100 kali pengambilan sample dari populasi yang sama hanya mendapatkan

satu kesimpulan yang salah.

3. Uji Hipotesis

Uji Hipotesis Satu Arah

Uji Pihak Kiri

Uji Pihak Kanan

Uji Hipotesis Dua Arah

Menguji Rerata

Simpangan baku diketahui. Simpangan baku tidak diketahui



4. Ilustrasi Kasus

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya memiliki masa pakai 800 jam. Akhir-akhir

ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan

penyelidikan dengan menguji 50 lampu, ternyata reratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui

bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam.

a. Selidikilah dengan taraf nyata 0,05, apakah kualitas lampu itu telah berubah atau belum.

b. Bagaimana dengan taraf nyata 0,01?

Jawab:



5. Uji Hipotesis Nilai Tengah Populasi



6. Uji Hipotesis Ragam Populasi

7. Uji Hipotesis Proporsi Populasi



DAFTAR PUSTAKA

Anonymous. 2011. “Ukuran Pemusatan Data: Mean, Median & Mode”. http://www.smartstat.info/

statistika/ statisika-deskriptif/ukuran-pemusatan-data-mean-median-mode.html (diakses

pada tanggal 14 Maret 2012)

Basuki, Achmad. 2006. “Statistik dan Probabilitas: Uji Hipotesa”. Surabaya: PENS-ITS

Hifni. 1990. “Metode Statistika”. Malang: Kopma Unibraw

Kurniawan, Deni. 2008. “Regresi Linier”. http://ineddeni.wordpress.com (diakses pada tanggal 20

April 2012)

Manado, Djunaidi. 2010. “Varian dan Standar Deviasi” http://statistikpendidikanii.blogspot.com/

2010/07/varian-dan-standar-deviasi.html (diakses pada tanggal 14 Maret 2012)

Montgomery, Douglas & Runger, George. 2003. “Applied Statistics and Probability for Engineers”.

New York: John Wiley & Sons Inc.

Nasution, Rozaini. 2003. “Teknik Sampling”. Medan: USU Digital Library

Nurtama, Budi; Suyatma, Nugraha Edhi. _____. “Uji Hipotesis”. Bogor: IPB

Pramono, Supriyoko. ____. “Modul Kuliah Statistik & Probabilitas”. http://sangiang.files.wordpress.

com /2008/11/stat_pro_modul_1.doc (diakses pada tanggal 6 Maret 2012)

Santoso, Slamet. 2009. “Distribusi Kemungkinan”. http://ssantoso.blogspot.com/2009/03/materi-iv-

distribusi-kemungkinan-1.html (diakses pada tanggal 28 Maret 2012)

Soong, T.T. 2004. “Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers”. New York: John Wiley &

Sons Inc.

Wikipedia. 2012. “Probability”. http://en.wikipedia.org/wiki/Probability (diakses pada tanggal 26

Februari 2012)

statistik & probabilitas -...

Documents