Arum Handini Primandari

SEASONAL ARIMA

ALLPPT.com _ Free PowerPoint Templates, Diagrams and Charts

ARIMA Musiman

• Pola musiman dalam runtun waktu adalahperubahan pola yang berulang dalam kurun waktu s; dimana s didefinisikan sebagai banyaknya periodehingga pola berulang lagi.

• Dalam model ARIMA musiman; musiman AR dan MA memprediksi xt menggunakan nilai data dan error menggunakan lag yang merupakan kelipatan s.

– Dengan data bulanan (s = 12), AR musiman orde petamaakan menggunakan xt-12 untuk memprediksi xt. Misal: kitamemprediksi data bulan Agustus 2015, maka kitagunakan data Agustus 2014)

– AR musiman orde kedua akan menggunakan xt-12 danxt-24 untuk memprediksi xt. Berarti jika kita inginmemprediksi data Agustus 2015, maka kita gunakanAgustus 2014 dan Agustus 2013

Differencing

• Musiman biasanya menyebabkan data menjadi

tidak stasioner; ini dikarenakan nilai rata-rata pada

waktu tertentu di dalam periode musiman dapat

berbeda dari nilai rata-rata pada waktu yang lain.

– Contoh: penjualan kipas angin akan selalu lebih tinggi

ketika di bulan-bulan cuaca panas.

• Diferensi musiman (Seasonal Differencing):

– Didefinisikan sebagai perbedaan antara suatu nilai

dengan nilai pada lag kelipatan dari s.

– Diferensi musiman menghilangkan tren musiman dan

random walk musiman;

– Contoh: dengan s = 12, diferensi musimannya adalah:

12

t t t 121 B x x x

• Diferensi non-musiman (Non-seasonal

Differencing):

• Jika tren terdapat di dalam data, kita kemungkinan

membutuhkan juga diferensi non-musiman.

• Biasanya (tidak selalu) diferensi non-musiman orde

pertama akan menghilangkan tren (“detrend”).

• Diferensi orde pertama:

• Diferensi untuk tren dan musiman:

• Ketika tren dan musiman muncul dalam data, kita

kemungkinan perlu menggunakan baik diferensi

musiman maupun non-musiman.

t t t 11 B x x x

• ARIMA tanpa diferensi

• ARIMA dengan diferensi

Contoh:

1. ARIMA (0,1,1)

2. ARIMA (1,1,0)

3. ARIMA (2,1,0)

NOTASI

p pk k

k t k t

k 1 k 1

1 B x 1 B

t t t t 1 t 1 t 2 t1 B 1 B x atau x x x x

t t t t 1 t t 11 B x 1 B atau x x

2

1 2 t t1 B B 1 B x

NOTASI

• SARIMA tanpa diferensi:

• Contoh: ARIMA (0,0,1)×(0,0,1)12

• Mengalikannya diperoleh

• Persamaan tersebut mengimplikasikan ACF

akan tidak-nol hanya pada lag 1, 12, dan 13

12

t tx 1 B 1 B

t t t 1 t 12 t 13x

MODEL MUSIMAN ADDITIVE

• Pada model ini, komponen musiman berinteraksi

dengan komponen non-musiman dalam model

secara additive.

• Dinyatakan sebagai model:

SARIMA ((p,P),(d,D),(q,Q))s

• Bagi proses xt (dengan komponen musiman MA)

dapat dituliskan:

• Bagi proses xt (dengan komponen musiman AR)

dapat dituliskan:

d Dp q s Qs

1 p t 1 q 1 Q t1 B ... B 1 B 1 B x 1 B ... B B ... B

d Dp s sP q

1 p 1 P t 1 q t1 B ... B B ... B 1 B 1 B x 1 B ... B

Contoh 1

• Diberikan ARIMA ((0,0),(0,0),(1,1))12

• Fungsi autokorelasi (ACF) akan tidak-nol di lag

1, 11, dan 12

12

t t

t t t 1 t 12

x 1 B B

x

1 2 2

11 2 2

12 2 2

1

1

1

ACF dan PACF

0.6; 0.9

MODEL MUSIMAN MULTIPLICATIVE

• Pada model ini, komponen musiman berinteraksi

dengan komponen non-musiman dalam model

secara additive.

• Dinyatakan sebagai model:

SARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s

• Bagi proses xt (dengan komponen musiman MA)

dapat dituliskan:

• Bagi proses xt (dengan komponen musiman AR)

dapat dituliskan:

d Dp q s Qs

1 p t 1 q 1 Q t1 B ... B 1 B 1 B x 1 B ... B 1 B ... B

d Dp s sP q

1 p 1 P t 1 q t1 B ... B 1 B 1 B 1 B ... B x 1 B ... B

Contoh 2:

• Diberikan model ARIMA (0,0,1)×(0,0,1)12

• Fungsi autokorelasi (ACF) tidak-nol di lag 1, 11,

12, dan 13 yaitu

12

t t

t t t 1 t 12 t 13

x 1 B 1 B

x

2 2 2

0

1 2

11 13 2 2

12 2

1 1

1

1 1

1

ACF dan PACF

0.6; 0.9

Identifikasi Model

1. Menggambarkan plot data. Periksa adanya tren

dan musiman.

2. Lakukan diferensi yang diperlukan:

– Jika terdapat musiman dan tidak terdapat tren:

diferensi lag s;

– Jika terdapat tren dan tidak terdapat musiman yang

jelas: diferensi orde pertama;

– Jika terdapat tren dan musiman: diferensi baik

musiman maupun non-musiman.

3. Periksa ACF dan PACF

– Non-musiman: periksa lag-lag awal (1, 2, 3, 4);

– Musiman: periksa pola lag kelipatan s. Misal: unk

data bulanan periksa lag 12, 24, 36, dst. Nilailah ACF

dan PACF pada lag musiman seperti yang kamu

lakukan pada lag awal.

• Ringkasan cara penentuan model musiman

4. Estimasi model sesuai dengan langkah 3.

5. Periksa residual (diagnostic check). Jika

menggunakan beberapa model, maka perlu

dibandingkan AIC atau SC. Jika tidak

memenuhi diagnostic check, maka kembali ke

langkah 3.

Contoh 1:

Data aliran air di Sungai Colorado di titik

tertentu; untuk n = 600 bulan.

• Dengan banyaknya titik, sedikit sulit untuk menilai ada

tidaknya pola musiman.

• Oleh karena data aliran sungai, maka dugaannya adalah

aliran tinggi ketika akhir musim semi dan awal musim panas.

• Tanpa pengetahuan tersebut, kita dapat menentukan rata-

rata bulan dalam tahun. Berikut adalah rata-rata bulanan

dalam 1 tahun.

• Dari rata-

rata bulanan,

terlihat

adanya

perbedaan

bulanan

(yang

menunjukka

n adanya

musiman)

ACF dan PACF

• Musiman:

– ACF: keluar di sekitar lag 12;

– PACF: signifikan di lag 12, 24, 36, dst

– Model: seasonal MA (1)

Referensi

• STAT 510 (https://onlinecourse.science.psu.edu/stat510)

• Suhartono dan Muhammad H.L., 2011, Forecasting of

Tourist Arrivals Using Subset, Multiplicative or Additive

Seasonal ARIMA Model, Journal MATEMATIKA

Department of Mathematical Science, vol 27 number 2 pp.

169-182.

• Cryer, Jonathan D., 1985, Time Series Analysis, PWS-

KENT: Boston.

• Brockwell, Peter J., dan Davis, Richard A, 2001,

Introduction to Time Series and Forecasting 2rd, Springer:

New York.