sandy s. prayogo, st., mt.sandy_sr.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/...1. deretfourier § 1.1....
TRANSCRIPT
SANDY S. PRAYOGO, ST., MT.
1. Deret Fourier§ 1.1. Fungsi Periodik§ 1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,
§ 1.3. Deret Trigonometri, § 1.4. Bentuk umum Deret Fourier,
§ 1.5. Kondisi Dirichlet, § 1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.
2. Integral Fourier
3. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta § 3.1. Fungsi Gamma § 3.2. Fungsi Beta
§ 3.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta
4. Transformasi Laplace
§ 4.2. Invers dari transformasi Laplace § 4.3. Teorema Konvolusi
§ 4.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D. dengan syarat batas.
UTS
UAS
Merupakan suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistemyang mengandung masukan (input) dan keluaran (output), dengan melakukantransformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.
Dalam matematika jenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang pentingsebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukananalisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilatorharmonik,devais optik dan sistem-sistemmekanik.
Transformasi Laplace
Invers Transformasi Laplace
L f (t){ } = F(s)
L−1 F(s){ } = f (t)
Transformasi Laplace dari fungsi f(t)
Dimana
L f (t){ } = F(s) = f (t).e−st dt0
∞
∫
s ∈ R (R : Himpunan bilangan Real)L : Operator transformasi Laplace
CONTOH:
Tentukan Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = 1,
F(s) = L 1{ }F(s) = 1.e−st dt
0
∞
∫ = − 1se−st⎡⎣ ⎤⎦0
∞
= − 1se−s.∞ − e−s.0⎡⎣ ⎤⎦0
∞
= − 1s1es.∞
− e0⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − 1
s0−1⎡⎣ ⎤⎦ =
1s
SOAL 1.
Tentukan Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = -2,
JAWAB. F(s) = L −2{ }F(s) = −2.e−st dt
0
∞
∫
= −2 1.e−st dt0
∞
∫ = −2. 1s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= −2s
SOAL 2.
Tentukan Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = t,
JAWAB. F(s) = L 1{ }F(s) = t.e−st dt
0
∞
∫
= t.− 1s.e−st − 1
s2.e−st⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
∞
= ∞.− 1s.e−s.∞ − 1
s2.e−s.∞⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ − 0.− s.e−s.0 − 1
s2.e−s.0⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ∞.− 1s.0− 1
s2.0
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ − 0− 1
s2.e−s.0⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
1s2
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
1. LINIERITAS
CONTOH. L 2t + 3e2t{ } = L 2t{ }+ L 3e2t{ }= 2L t{ }+ 3L e2t{ }= 2. 1
s2+ 3. 1
s− 2
= 2(s− 2)+ 3s2
s3 − 2s2= 3s
2 + 2s− 4s3 − 2s2
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
2.TRANSLASI
CONTOH
Jika L f (t){ } = F(s),
maka L eat f (t){ } = F(s− a)
Jika L cos2t{ } = ss2 + 4
,
maka L e3t cos2t{ } = (s− 3)(s− 3)2 + 4
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
3.TRANSLASI KOMPOSISI
CONTOH.
Jika L f (t){ } = F(s), dan g(t) = (t − 2)3, t > a0 , t < a⎧⎨⎩⎪
maka L g(t){ } = e−asF(s)
Jika L t3{ } = 6s4 ,
maka transformasi Laplace dari g(t) = (t − 2)3, t > 20 , t < 2
⎧⎨⎩⎪
adalah e−2s 6s4 = 6e−2s
s4
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
4. PERUBAHAN SKALA
CONTOH.
Jika L f (t){ } = F(s),
maka L f (at){ } = 1aF sa
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Jika L sin t{ } = 1s2 +1
maka L sin3t{ } = 13
. 1s
3( )2+1
= 3s2 + 9
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
5.TURUNAN
CONTOH.
Jika L f (t){ } = F(s)
maka L f '(t){ } = s.F(s)− f (0)
Jika f (t) = cos3t, L cos3t{ } = ss2 + 9
maka L f '(t){ } = s. ss2 + 9
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− f (0)
= s2
s2 + 9⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− cos0
= s2
s2 + 9−1= −9
s2 + 9
SOAL.
TENTUKANTRANSFORMASI LAPLACE DARI FUNGSI BERIKUT!
L 2{ } =L −3t{ } =L e2t{ } =L 2e3t{ } =L 2− 3t{ } =
f (t) = t2 − 4t +1f (t) = e2t cos3t − t