•RUANG VEKTOR BAGIANKOMBINASI LINEAR

Alvano Yulian, MSiUniversitas Pamulang

v Ruang vektor

W M

W VM V

Jika W memenuhi 9 aksioma ruang vektor, maka W disebut Ruang Bagian (Subspace) V

Maka V disebut ruang vektor lewat k (dan elemen V disebut vektor) bila memenuhi aksionma berikut:

(i) Untuk vektor u,v,wV (u+v)+w = u+(v+w)(ii) Vektor 0 u + 0 = 0 + u = u unt u V(iii) Untuk vektor vV terdapat vektor –v V sehingga berlaku

v + (-v) = (-v) + v = 0(iv) Untuk setiap vektor u,v V maka u + v = v + u(v) Untuk setiap skalar k K dan u,v V maka k(u + v) = ku

+ kv(vi) Untuk setiap suatu skalar k,1 K dan v V maka (k1) v =

k(u + v) = ku + kv(vii) Untuk setiap suatu skalar k,1 K dan v V maka (k+1) v

= (kv+v)(viii) Untuk suatu skalar k,1 K da v V maka (k1)v = k(1v)(ix) Untuk unit skalar 1 K dan 1/v = v untk vektor v V

Teorema :

Andaikan U dan W adalah subspace dari V, maka U W juga subspace dari V

W M v Ruang vektor

Kombinasi Linear (linear combination)

Andaikan ruang vektor V melalui field F, dengan vektor-vektor u1, u2, …, un V. Sembarang vektor di dalam V (misalnya v V) yang dapat dinyatakan dlm bentuk :v = a1 u1 + a2 u2 + … + an un; dng ai F

dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor u1, u2, …, un.

Contoh :Andaikan s, u, v, w V; dengan

u = , v = , w = , dan s = .

Jika mungkin nyatakan s sbg kombinasi linear dari u, v, dan w !

2

1

1

1

0

1

11

2

6

3

1

Solusi :

s = xu + yv + zw

6

3

1

= x + y + z

2

1

1

1

0

1

11

2

Diperoleh persamaan: x – y + 2z = -1-x + z = -32x + y – z = 6

Diperoleh nilai-nilaix = 2, y = 1, dan z = -1

Jadi s kombinasi linear dari u, v, dan w dengan s = 2u + v - w