ruang vektor

Ruang Vektor

Ruang VektorKartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf

Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor1. Jika vektor vektor u , v V , maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada 0 V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u V , 0 : vektor nol 5. Untuk setiap u V terdapat u V sehingga u + ( u ) = 0 6. Untuk sembarang skalar k , jika u V maka ku V 7. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar 8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar 9. k( l u ) = ( kl ) u 10. 1 u = u

2

Aljabar Linear dan Matriks

1

Ruang Vektor

Contoh ruang vektor :1.

V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ) Notasi: Rn .

2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standarBentuk umum polinom orde n pn(x) = a0 + a1x + + anxn qn(x) = b0 + b1x + + bnxn Operasi standar pada polinom orde n pn(x) + qn(x) = a0+ b0 + (a1 + b1)x + + (an + bn)xn k pn = ka0 + ka1x + + kanxn Notasi: Pn

3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar ( penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar ) Notasi: Mmn

3

Subruang vektorDiketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V. U dikatakan subruang dari V jika memenuhi dua syarat berikut : 1. Jika u ,v U maka u + v U 2. Jika u U , untuk skalar k berlaku ku U

4


2

Ruang Vektor

Kombinasi linierVektor v dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor vektor v 1, v 2,,v n bila v bisa dinyatakan sebagai : v = k1 v 1 + k2 v 2++ kn v n , k1,k2,,kn adalah skalar

5

ContohDiketahui a = ( 1,2 ) , b = ( 2,3 ) dan c = ( 1,3 ) Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?

6


3

Ruang Vektor

ContohTunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1)

Jawab:Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3 maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga: v = xu1 + yu2 + zu3 (3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1) (3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z)7

(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z)Diperoleh persamaan:

x + 2 y + 2z = 3 2 x + 3 y z = 9 2 z = 4 3 x y + z = 2 8


4

Ruang Vektor

Penyelesaian: x =1, y = 3 dan z = -2 Jadi v = u1 + 3u2 2u3 Jika sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian maka v tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari u1, u2, dan u39

Diketahui V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,, s n } s 1, s 2 ,, s n V S dikatakan membangun/merentang V bila untuk setiap v V, v merupakan kombinasi linier dari S ,yaitu : v = k1 s1 + k2 s2++ knsn k1,k2,,kn adalah skalar10


5

Ruang Vektor

ContohApakah u = ( 1,2,3 ) , v = ( 2,4,6 ) dan w = ( 3,4,7 ) membangun R3

11

Kebebasan LinierVektor vektor di S dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan

0 = k1 s 1 +k2 s 2++ kn snhanya memiliki penyelesaian k1= k2 == kn = 0 jika ada penyelesaian lain untuk nilai k1,k2,,kn selain 0 maka dikatakan vektor vektor di S bergantung linier (linearly dependent)12


6

Ruang Vektor

ContohDiketahui u = ( 1,2 ) , v = ( 2,2 ) , w = ( 1,3 ) a. Apakah u , v dan w membangun R2 ? b. Apakah u , v dan w bebas linier ?

13

Basis dan DimensiMisalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,, s n }. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat , yaitu : 1. S bebas linier 2. S membangun V Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar

14


7

Ruang Vektor

Contoh basis standar :1. S = { e1, e2,, en } , dengan e1, e2,, en Rn e1 = ( 1,0,,0) ,e2 = ( 0,1,0,,0 ),,en = ( 0,0,,1 ) merupakan basis standar dari Rn 2. S = { 1, x, x2,xn } merupakan basis standar untuk Pn ( polinom orde n ) 3. S =

{

1 0

0 0

,

0 0

1 0

,

0 1

0 0

,

0 0

0 1

}

merupakan basis standar untuk M22

15

ContohMisal v1=(1,2,1), v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4). Tunjukkan bahwa himpunan S=(v1,v2,v3) adalah basis untuk R3Syarat: 1. S bebas linier 2. S membangun V Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier b = k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3 Sistem memiliki pemecahan untuk semua pilihan b= (b1 ,b2 ,b3 ) k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3 = 0 Pembuktian bebas linier pembuktian sistem homogen S bebas linier dan membangun R3 matriks koefisien dapat dibalik, karena det A = .

16


8

Ruang Vektor

Basis ruang baris dan basis ruang kolomSuatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m.a11 a21 : am1 a12 a22 : am1 a1n ... a2n : ... amn

Jika A =

Maka A tersusun atas vektor vektor baris r i dengan r i = (ai1,ai2,,ain ) atau bisa juga dikatakan A tersusun atas vektor vektor kolom c j = (c1j,c2j,,cmj } dengan i = 1,2,,m dan j =1,2,,nSubruang Rn yang dibangun oleh vektor vektor baris disebut ruang baris dari A Subruang Rm yang dibangun oleh vektor vektor kolom disebut ruang kolom dari A

17

ContohA=2 3 1 1 0 -4

Vektor baris A adalah Vektor kolom A adalah

18


9

Ruang Vektor

Menentukan basis ruang kolom / barisBasis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, sedangkan basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada At Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris tereduksi. Dimensi ( ruang baris ) = dimensi ( ruang kolom ) =

rank matriks

19


10

ruang vektor

Documents