MAKALAH

RUANG VEKTOR UMUM

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier

Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

Disusun oleh

Kelompok II:

Mujiati 08411.192

Puji Astuti 08411.226

Siti Nur Aminah 08411.255

Supinaryuti 08411.264

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN

ILMU PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN

2010

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah

memberikan rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah

dengan judul “Ruang Vektor Umum”. Dalam menyelesaikan makalah ini, penulis telah

mendapatkan bantuan dari berbagai pihak.

Penulis menyadari dalam penulisan makalah ini, masih banyak kekurangan atau

bahkan kekeliruan dalam penyusunannya. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat

membangun sangat penulis harapkan. Semoga makalah ini, bermanfaat bagi penulis

khususnya dan pembaca pada umumnya.

Madiun, Oktober 2010

Penulis

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i

KATA PENGANTAR ....................................................................................... ii

DAFTAR ISI ...................................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1

A.Latar Belakang ..................................................................................... 1

B.Rumusan Masalah ............................................................................... 1

C.Tujuan Penulisan .................................................................................. 1

D.Manfaat Penulisan ................................................................................ 1

BAB II PEMBAHASAN ................................................................................... 2

A.Ruang Vektor Dan Aksioma Yang Terdapat Di Dalam Vektor ....... 2

B.Macam-macam Ruang Vektor............................................................. 3

C.Sifat-sifat Vektor .................................................................................. 5

BAB III PENUTUP ........................................................................................... 6

A.Simpulan ............................................................................................... 6

DAFTAR PUSTAKA

HASIL DISKUSI TANYA JAWAB

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada bab ini, kita menggeneralisasikan konsep vektor lebih lanjut lagi.

Kita akan menyusun satu himpunan aksioma yang jika dipenuhi oleh suatu

golongan objek yang disebut sebagai “vektor”. Vektor – vektor yang di

generalisasi inin antara lain berbagai matrik dan fungsi. Dalam bab ini akan

memberikan suatu cara yang sangat berguna untuk mengembangkan visualisasi

geometrik dalam berbagai variasi soal matematika, dimana instuisi geometrik

tidak dapat digunakan. Kita dapat memvisualisasikan vektor – vektor pada dan

sebagai anak panah, sehingga kita dapat menggambar atau menyusun gambar

– gambar untuk membantu menyelesaikan soal karena aksioma – aksioma yang

dapat digunakan untuk mendefinisikan vektor – vektor pada dan , maka

vektor – vektor baru tersebut akan memiliki banyak sifat.

B. Rumusan Masalah

1. Apakah yang dimaksud dengan vektor, dan apa saja aksioma yang terdapat

didalam vektor?

2. Apa saja macam – macam dari ruang vektor ?

3. Bagaimana sifat – sifat dari vektor?

C. Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui pengertian dari ruang vektor dan aksioma yang terdapat

terdapat didalam vektor.

2. Untuk mengetahui macam – macam ruang vektor.

3. Untuk mengetahui sifat – sifat vektor.

D. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui pengertian

dari ruang vektor beserta aksioma-aksioma yang terdapat di dalam suatu vector

dan mengetahui sifat dan macam dan sifat dari ruang vektor.

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. Ruang Vektor dan Aksioma yang terdapat didalam vektor

Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dan objek – objek

sembarang, dimana operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar

didefinisikan.

Operasi penjumlahan (addition) suatu aturan yang mengasosialisasikan

setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek vu yang

disebut jumlah (sum) dari u dan v.

Operasi perkalian sckalar(scalar multiplication); suatu aturan yang

mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu

objek k.u, yang disebut kelipatan scalar (scalar multiple) dari u oleh k .

Jika aksioma – aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek wvu ,, pada

Vdan semua scalar k dan l , maka kita menyebut objek – objek pada V

sebagai ruang vektor (vector space) dan kita menyebut objek – objek

pada V sebagai vektor.

Berikut ini diberikan sepuluh aksioma mengenai ruang vektor umu yang

berguna untuk menjadi pedoman kita dalam melakukan operasi ialjabar

pada vektor.

Operasi aljabar pada vektor :

1. Jika u dan v adalah objek – objek pad V, maka vu berada pada V,

2. vu = uv

3. wvuwuu )()(

4. Terdapat suatu objek 0 di V yang disebut vektor nol (zero vektor) untuk

V, sedemikian rupa sehingga uuu 00 untuk semua u padaV,

5. Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek –u di V, yang disebut sebagai

negative u, sedemikian rupa sehingga 0)()( uuuu

3

6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek di V,

maka uk. berada di V.

7. kvkuvuk )(

8. lukulk )(

9. ))(.().( ulkulk

10. uul .

B. Macam – Macam Ruang vektor

Macam – macam vektor ruang antara lain :

1. Ruang vektor matrik 2x2

Himpunan V dari semua matrik 2x2 dengan entri entri real adalah suatu ruang

vektor yang jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai perkalian scalar

matrik.

Bukti :

Misalkan dan . Untuk membuktikann aksioma

1, maka kita harus menunjukkan bahwa vu adalah objek di V. dengan kata

lain kita, kita harus menunjukkan bahwa vu adalah matrik 2x2. Hal ini

dapat diper oleh dan didefinisi penjumlahan matrik, kerena :

Dengan cara serupa, aksioma 6 juga berlaku, karena untuk bilangan real

sembarang k kita memperoleh :

Sehingga ku adalah matriks 2x2 dan yang berarti merupakan objek di V.

Aksioma 2 sesuai dengan teorema 1 karena :

4

Demikian juga aksioma 3 sesuai dengna bagian dari teorema tersebut, dan

aksioma 7, 8, 9 berturut-turut sesuai dengan bagian untuk membuktikan

aksioma 4, kita harus menentukan suatu objek D di V sedemikian rupa

sehingga o+u = u+o = u untuk semua u di objek V. Ini dapat dilakukan

dengan mendefinisikan o sebagai :

Yakni matriks nol, dengan definisi ini maka :

Dan demikian juga untuk u+o = u

Untuk membuktikan aksioma 5, kita harus menunjukkan bahwa setiap objek

U di V memiliki bentuk negatif –u.

u+(-u)= 0 dan (-u)+u = 0

ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan negatif u sebagai :

dengan definisi tersebut kita peroleh :

= =

dan dengan demikian juga (-u)+u = 0. Akhirnya, aksioma 10 merupakan perhitungan

yang sederhana sebagai berikut :

dengan demikian, matriks berordo 2 merupakan suatu ruang vektor.

2. Ruang vektor dari fungsi bernilai Real

5

Misalkan V adalah himpunan fungsi-fungsi bernilai real yang didefinisikan

sepanjang garis real (- ̴ , ̴ ). Jika F = F(x) dan g = g(x) adalah dua fungsi

sedemikian dan k adalah bilangan real sembarang maka :

(F+g) (x) = F(x) + g(x) dan (kF) (x) = kf(x)

Dengan kata lain:

Nilai dan fungsi f+g pada x diperoleh dengan menjumlahkan nilai-nilai

dari f dan g pada x.

Nilai kf pada x adalah k kali nilai dari f pada x.

3. Ruang vektor nol

Misalnya V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan 0,

definisi: 0+0 = 0 dan k0 = 0

Untuk semua skalar k.

4. Himpunan yang bukan merupakan ruang vektor

Misalkan V=R2 dan didefinisikan operasi-operasi penjumlahn dan

perkalian sebagai berikut:

Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2 ) maka: u+v = (u1 + v1 , u2 +v2 ) dan jika k adalah

bilangan real ssembarang, maka:

ku = (ku,0)

contoh:

Jika u = (2,4), v = (-3,5), dan k=7, maka:

U+v = (2+(-3), 4+5) = (-1,9)

Ku = 7u = (7.2,0) = (14,0)

Operasi penjumlahan merupakan operasi penjumlahan standar pada R2

, tetapi

operasi perkalian scalar bukan merupakan perkalian skalar standar. Terdapat

nilai-nilai u yang menyebabkan aksioma 10 tidak berlaku. Sebagai contoh,

jika u = (u1, u2) sedemikian rupa sehingga u2 ≠0, maka:

1u = 1 (u1, u2) = (1. u1 ,0) ≠ u

Jadi, V bukan merupakan ruang vektor.

C. Sifat – Sifat Vektor

6

Misalkan V adalah suatu ruang vektor, u adalah suatu vektor pada V dan k

adalah suatu skalar, maka didapat sifat vektor, antara lain :

1. 0u = 0

2. k0 = 0

3. (-1)u = -u

4. Jika ku = 0, maka k=0 atau u=0

7

BAB III

PENUTUP

A. Simpulan

Vektor umum mempunyai aksioma yang berguna untuk menjadi pedoman

dalam melakukan operasi aljabar.

Sepuluh aksioma mengenai ruang vektor :

1. Jika u dan v adalah objek – objek pad V, maka vu berada pada V,

2. vu = uv

3. wvuwuu )()(

4. Terdapat suatu objek 0 di V yang disebut vektor nol (zero vektor) untuk

V, sedemikian rupa sehingga uuu 00 untuk semua u padaV,

5. Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek –u di V, yang disebut sebagai

negative u, sedemikian rupa sehingga 0)()( uuuu

6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek di V,

maka uk. berada di V.

7. kvkuvuk )(

8. lukulk )(

9. ))(.().( ulkulk

10. uul .

Macam-macam vektor :

1. Ruang vektor matriks 2x2.

2. Ruang vektor dari fungsi bernilai real.

3. Ruang vektor nol.

4. Himpunan yang bukan merupakan ruang vektor.

Sifat-sifat vektor :

1. 0u = 0

2. k0 = 0

3. (-1)u = -u

4. Jika ku = 0, maka k=0 atau u=0

DAFTAR PUSTAKA

Heri Purwanto, Gina Indriani, Erlina Dayanti. 2005. Aljabar Linier. PT Ercontara

Rajawali; Jakarta

HASIL DISKUSI

TANYA JAWAB

1. Pertanyaan dari ELIN EKAWATI S. (08411.117) Menurut makalah hal. 2 point 6

”Jika k adalah sembarang skalar dan uadalah sembarang objek di V, maka k.u berada di V”.

Bagaimana menurut anda / bagaimana penggambarannya?

Jawab:

ku adalah matriks 2x2 yang merupakan objek di V.

2. Pertanyaan dari ARLITA ROSYIDA (08411.081) Menurut buku modul hal. 144

”Ku = (ku1,0) , 0 (nol)”. Didapat dari mana?

Jawab:

Karena 0 (nol) sebagai devinisi operasi ku = (ku1,0)

3. Pertanyaan dari SUPRIHATIN (08411.265)

Menurut modul hal. 147 latihan 4.2

”Himpunan semua pasangan bilangan real (u,v) dengan operasi (u,v) + (u’,v’) = (u+u’,v+v’)

dan k(u,v) = (2ku,2kv)”. Bagaimana penyelesaiannya?

Jawab:

Dimulai dari pembuktian dari 10 aksioma.

» Aksioma 1

u+v = (u1,u2) + (v1,v2)

= (u1+v1,u2+v2)

= (u1,u2) + (v1,v2)

= u+v

(Terbukti)

» Aksioma 2 v+u = (u1,u2) + (v1,v2)

= (u1+v1,u2+v2)

= (v1+u1,v2+u2)

= (v1,v2) + (u1,u2)

= v+u

(Terbukti)

» Aksioma 3

u+(v+w) = (u+v)+w

= (u1,u2)+((v1,v2)+ (w1,w 2))

= (u1,u2)+ (v1+w1, v2+w 2)

= u1+(v1+ w1) , u2+(v2+w 2)

= (u1+v1)+ w1 , (u2+v2)+w 2

= (u1+v1 , u2+v2)+( w1,w 2)

= (u1,u2)+(v1,v2)+ (w1,w 2)

= (u+v)+w

(Terbukti)

» Aksioma 4

0+u = u+0 = u

0+u = (0,0) + (u1,u2)

= (0+u1 , 0+u2)

= (u1,u2)

= u

u+0 = (u1,u2) + (0,0)

= (u1+0 , u2+0)

= (u1,u2)

= u

(Terbukti)

» Aksioma 5 u+(-u) = (-u)+u+0

ambil uϵv sebarang sehingga v = (v1,v2)

terdapat –u = (-u1,-u2)

u+(-u) = (v1,v2) + (-u1,-u2)

= (u1-v1 , u2-v2)

= (0,0)

= 0

(-u)+u = (-u1,-u2) + (v1,v2)

= (-u1+v1 , -u2+v2)

= (0,0)

= 0

(Terbukti)

» Aksioma 6

Ambil u+v sebarang dan KϵR

Ku = K(u1,u2)

= (2ku1, 2ku2) ϵK

(Terbukti)

» Aksioma 7 k(u+v) = k((u1,u2) + (v1,v2))

= k(u1+v1 , u2+v2)

= (k(u1+v1 , u2+v2))

= (ku1+kv1 , ku2+kv2)

= (ku1,ku2) + (kv1,kv2)

= k(u1,u2) + k(v1,v2)

= ku+kv

(Terbukti)

» Aksioma 8 (k+l)u = (k+l) (u1,u2)

= (2(k+l)u1 , 2(k+l)u2)

= (2ku1 + 2lu1 , 2ku2 + 2lu2)

= (2ku1, 2ku2 + 2lu1,2lu2)

= k(u1,u2) + l(u1,u2)

= ku + lu

(Terbukti)

» Aksioma 9 (kl)u = (kl) (u1,u2)

= (2(kl)u1 , 2(kl)u2)

k(lu) = k(l(u1,u2)

= k(2lu1 , 2lu2)

= (2k2lu1 , 2k2lu2)

= (4klu1 , 4klu2)

(Tidak Terbukti Sama)

» Aksioma 10

1u = 1(u1 ,u2)

= (2u1 , 2u2)

u = (u1 ,u2)

(Tidak Terbukti Sama)