Vektor dalam

Ruang-Tiga

Koordinat Cartesius dalam Ruang Dimensi Tiga

Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menentukan letak titik dalam sistem koordinat Cartesius 2. Menentukan jarak, persamaan bola dan titik tengah pada ruang dimensi tiga 3. Menggambar permukaan pada ruang dimensi tiga Materi Ajar Koordinat Kartesius dalam Ruang Tiga Dimensi

Untuk menyatakan lokasi titik pada ruang, tempatkan tiga garis riil berpotongan

saling tegak lurus dengan titik 0 ( nol ) berimpit di satu titik O. Titik tersebut dinamakan

titik asal dan ketiga garis tersebut masing-masing dinamakan sumbu koordinat

( sumbu- x , sumbu- y dan sumbu- z ).

Biasanya sumbu- x dan sumbu- y ditempatkan horizontal dan sumbu- z vertikal.

Arah sumbu- z biasanya ditentukan dengan aturan tangan kanan, jika jari-jari tangan

kanan mengelilingi sumbu- z dalam arah putaran 090 berlawanan jarum jam dari sumbu-

x positif ke sumbu- y positif maka ibu jari menunjukkan arah positif dari sumbu- z

Ketiga sumbu koordinat menentukan tiga bidang koordinat xy, xz dan yz yang

membagi ruang menjadi delapan oktan.

Setiap titik P di ruang berkaitan dengan triple ),,( zyx yang masing-masing

komponennya mengukur jarak berarah terhadap bidang-bidang koordinat.

Sebagai contoh titik-titik ( 2,-3,4 ) dan ( -3,2,-5 ) di gambarkan pada sistem koordinat

sebagai berikut :

Latihan :

1. Gambarkan titik yang koordinatnya (2,0,3) , (-3,4,5 ), (0,4,0) dan (-2,-6,-1)

2. Apa yang istimewa pada koordinat titik di bidang yz ? Sumbu-z ?

Jarak, persamaan bola dan titik tengah

Tinjau dua titik ),,( 1111 zyxP dan ),,( 2222 zyxP , dengan 212121 ,, zzyyxx .

Pandang kedua titik tersebut sebagai titik sudut – titik sudut dari sebuah balok genjang

yang sisi-sisinya sejajar bidang koordinat, seperti ilustrasi berikut :

Perhatikan ,

Jadi jarak antara dua titik ),,( 1111 zyxP dan ),,( 2222 zyxP dalam ruang dengan (

),, 212121 zzyyxx dapat ditentukan dengan :

Permukaan bola adalah tempat kedudukan titik-titik pada ruang dimensi tiga yang

berjarak sama dari suatu titik tetap.

Jika ),,( zyx adalah titik pada permukaan bola dengan pusat ),,( lkh dan jari-jari r ,

maka :

persamaan dinamakan persamaan standar bola. Jika persamaan diuraikan kita akan

peroleh persamaan dalam bentuk

Tapi perlu diingat bahwa sebaliknya persamaan dalam bentuk tersebut grafiknya tidak

selalu berbentuk bola, bisa jadi berupa titik atau himpunan kosong.

Titik tengah dari dua titik yang diketahui adalah adalah titik yang jaraknya sama

terhadap kedua titik

Selanjutnya titik tengah dari dua titik ),,( 1111 zyxP dan ),,( 2222 zyxP dapat ditentukan

dengan

),,( 2222 zyxP

),,( 1111 zyxP

),,( 321 mmm

Latihan :

1. Cari pusat dan jari-jari dari persamaan bola 0143222 =+−+++ zxzyx

2. Tentukan persamaan bola yang diameternya adalah ruas garis yang menghubungkan

titik (-1,2,3) dan (5,-2,7)

Menggambar grafik permukaan di ruang dimensi tiga

Dalam banyak kasus suatu bidang berpotongan dengan bidang-bidang kordinat .

Jadi pertama kita cari terlebih dahulu kurva perpotongannya dengan bidang-bidang

koordinat yang dinamakan jejak. Dengan sedikit keartistikan , kita dapat menggunakan

jejak tersebut untuk menggambar grafik. Cara yang analog kita terapkan untuk

menggambar grafik dari permukaan-permukaan yang lain. Jika permukaan tidak

berpotongan dengan bidang koordinat, carilah penampang – yakni perpotongan

permukaan dengan bidang yang secara khusus dipilih ( biasanya bidang yang sejajar

dengan bidang koordinat )

a) Bidang

Persamaan dalam bentuk linier

merupakan persamaan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Latihan :

Buat sketsa bidang yang persamaannya diberikan sebagai berikut :

1. 63 =−+ zyx

2. 83 =+ yx

b) Tabung

Mestinya anda sudah sangat mengenal permukaan yang berbentuk tabung tegak.

Sekarang kita akan membicarakan pengertian tabung dalam pengertian yang lebih luas.

Misal C suatu kurva dan l adalah garis yang memotong C tapi tidak sebidang dengan C

. Semua garis yang sejajar dengan l dan memotong C akan membentuk permukaan yang

disebut sebagai tabung. Kurva C dinamakan kurva pembangun.

Dalam ruang dimensi tiga tabung muncul jika kita menggambar persamaan yang

diberikan dalam dua variabel

Latihan :

Buat sketsa grafik permukaan yang persamaannya diberikan sebagai

1. 1522 =+ zy

2. 0162 22 =− zx

c) Permukaan Kuadrik

Gambar permukaan dalam ruang dimensi tiga yang persamaannya berderajat dua

dinamakan permukaan kuadrik. Bentuk umum persamaan berderajat dua dalam ruang

dimensi tiga diberikan sebagai

Dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut melalui rotasi atau translasi sumbu

koordinat dapat direduksi menjadi

atau

Permukaan kuadrik (i) dan (ii) simetri terhadap bidang-bidang koordinat dan titik asal

sehingga disebut sebagai permukaan kuadrik sentral.

Berikut adalah nama dan sketsa dari enam tipe permukaan kuadrik :

Kurva pembangun

tabung

Latihan :

Beri nama dan buat sketsa grafik permukaan yang persamaannya diberikan sebagai :

Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Koordinat Cartesius adalah salah satu cara yang dapat dipakai untuk menunjukkan

posisi titik pada ruang dimensi tiga. Ada dua koordinat lain yang juga digunakan di

kalkulus , yaitu kordinat tabung ),,( zr dan koordianat bola ),,( . Ketiga koordinat

tersebut diilustrasikan seperti pada gambar berikut ,

20 ,0 r 0 ,20 ,0

Jika benda pejal atau permukaan memiliki suatu sumbu simetri, biasanya akan

lebih baik jika kita menempatkan sumbu simetrinya pada sumbu- z dan menggunakan

koordinat tabung. Sebagai contoh tabung dengan alas berbentuk lingkaran dan bidang

yang memuat sumbu- z , seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut

Hubungan koordinat Cartesius dengan koordinat tabung dinyatakan dalam persamaan :

Latihan

1. Cari koordinat Cartesius dari titik yang koordinat tabungnya

5,

3

2,4

2. Tentukan dalam koordinat tabung persamaan permukaan yang persamaannya

dalam koordinat Cartesius xyx 222 =+

3. Tentukan dalam koordinat Cartesius persamaan permukaan yang persamaannya

dalam koordinat tabung 164 22 =+ zr

Jika suatu benda pejal atau permukaan simetris terhadap suatu titik, kita dapat

menempatkannya pada koordinat bola. Sebagai contoh bola dengan pusat titik asal

memiliki persamaan 0 = dan kerucut dengan titik puncak titik asal memiliki

persamaan 0 = , seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut

Hubungan antara koordinat Cartesius dengan koordinat bola dinyatakan dalam

persamaan

Latihan

1. Cari koordinat Cartesius dari titik yang koordinat bolanya

3

2,

3,8

2. Tentukan dalam koordinat Cartesius persamaan permukaan yang persamaannya

dalam koordinat bola cos2=

3. Tentukan dalam koordinat bola persamaan permukaan yang persamaannya dalam

koordinat Cartesius 22 yxz +=

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan representasi vektor secara geometris dan aljabar dalam ruang dimensi

tiga 2. Menentukan syarat dua vektor saling tegak lurus dan sejajar berdasarkan sifat hasil

kali titik dan hasil kali silang 3. Menentukan vektor proyeksi dan proyeksi skalar 4. Menentukan persamaan bidang 5. Menentukan jarak antara titik dan bidang 6. Mencari volume balok genjang yang ditentukan oleh tiga vektor yang diketahui Materi Ajar

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Istilah vektor digunakan untuk menunjukkan besaran yang memiliki besar dan arah.

Vektor biasanya direpresentasikan dengan anak panah atau ruas garis berarah. Panjang

vektor menunjukkan besar vektor dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.

Kita menuliskan vektor dengan huruf yang ditebalkan (u) atau dengan meletakkan

anak panah di atasnya (→

u ) . Jika titik pangkal vektor u adalah A dan titik ujungnya adalah

B, maka ditulis AB=u . Dua vektor u dan v dikatakan sama, ditulis u = v , jika besar dan

arah kedua vektor sama. Vektor 0 adalah vektor yang besarnya 0 dan tidak memiliki arah

yang spesifik. Besar atau panjang vektor dinotasikan dengan u

Operasi pada Vektor

Jumlah dua vektor dapat ditentukan dengan menggunakan aturan segitiga atau jajar

genjang , ilustrasinya dapat dilihat seperti berikut ini

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan vektor memiliki sifat-sifat

berikut :

Vektor uk adalah vektor yang besarnya adalah k kali besar vektor u dan arahnya

sama dengan arah vektor u jika 0k atau berwanan arah dengan arah vektor u jika

0k . Gambar berikut adalah ilustrasi untuk operasi dengan skalar :

Khususnya, vektor v− ( dibaca negatif dari v ) adalah vektor yang besarnya sama

dengan vektor u , tapi berlawanan arah dengan arah vektor u . Selanjutnya operasi

pengurangan didefinisikan sebagai :

dan kita punyai 0uuuu =+−=−+ )()(

Pendekatan Aljabar Vektor

Vektor = 321 ,, uuuu dalam ruang dimensi tiga direpresentasikan dengan anak

panah yang titik pangkalnya berada di titik asal dan titik ujungnya adalah suatu titik yang

koordinatnya ),,( 321 uuu , gambar berikut adalah ilustrasi untuk hal tersebut :

Dua vektor = 321 ,, uuuu dan = 321 ,, vvvv dikatakan sama jika

332211 ,, vuvuvu === . Vektor nol didefinisikan sebagai = 0,0,00 . Selanjutnya jika k

skalar dan = 321 ,, uuuu didefinisikan :

== 321 ,, kukukukk uu

−−−=−=− 321 ,,)1( uuuuu

dan jika = 321 ,, uuuu dan = 321 ,, vvvv , maka :

Vektor-vekor = 0,0,1i , = 0,1,0j dan = 1,0,0k adalah vektor basis di ruang

dimensi tiga. Ketiga vektor tersebut bebas linier dan setiap vektor = 321 ,, uuuu dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dari i , j dan k , yakni :

Besar suatu vektor = 321 ,, uuuu menunjukkan panjang ruas garis titik asal ke titik

yang koordinatnya ),,( 321 uuu dapat ditentukan dengan

Vektor yang panjangnya satu disebut vektor satuan Latihan

1. Misal = 1,0,1u dan −= 0,0,5v . Tentukan vu+ , vu − , u dan v3−

2. Cari vektor satuan yang arahnya sama dengan vektor kjiv 432 ++=

Selanjutnya menggunakan interpretasi aljabar dari vektor , aturan berikut dapat

dibuktikan

Teorema

Untuk sebarang vektor vu, dan w dan konstanta a dan b , berlaku

Hasil Kali Titik

Jika = 321 ,, uuuu dan = 321 ,, vvvv , hasil kali titik atau hasil kali skalar dari u

dan v didefinisikan sebagai 332211 vuvuvu ++= vu . Dari pendefinisian tersebut sifat-

sifat hasil kali titik yang berikut dapat dibuktikan

Teorema

Untuk sebarang vektor vu, dan w dan konstanta c , berlaku

Teorema berikut berkaitan dengan tafsiran geometris dari hasil kali titik

Teorema

Jika adalah sudut vektor vu, maka

Teorema

Dua vektor vu, adalah tegak lurus jika dan hanya jika 0=u.v

Vektor-vektor yang tegak lurus disebut ortogonal

Latihan

1. Misal = 1,1,0u , −= 1,1,2v dan −= 3,3,6w . Hitung :

2. Cari besarnya sudut-sudut pada suatu segitiga ABC , jika )3,4(A , )1,1( −B dan

)4,6( −C

Proyeksi

Misal u dan v vektor dan sudut antara kedua vektor tersebut. Asumsikan dulu

2/0 . Misal w adalah vektor yang arahnya sama dengan v dan cosu=w .

Karena w searah dengan v , kita dapat tuliskan vw c= untuk suatu skalar 0c . Jadi

Jika 2/ , kita mendefinisikan w sebagai vektor yang arahnya berlawanan

dengan v dan cosu−=w .

Karena w berlawanan arah dengan v , kita dapat tuliskan vw c−= untuk suatu skalar

0c . Jadi

Vektor w dinamakan vektor proyeksi dari u pada v , dinotasikan dengan uvpr , jadi

sementara , cosu dinamakan proyeksi skalar dari u pada v .

Latihan :

Tentukan vektor proyeksi dan proyeksi skalar dari u pada v , jika kjiu 35 ++−= dan

kjiv −+−=

Sudut dan Cosinus Arah

Sudut antara vektor a dengan vektor basis ji, dan k dinamakan sudut arah dari a

dan dinotasikan dengan , dan .

Tapi terkadang kita bekerja dengan cosinus arah. Misal = 321 ,, aaaa , maka

cosinus arah dari a didefinisikan dengan :

Perhatikan bahwa :

Jadi vektor cos,cos,cos adalah vektor satuan yang arahnya sama dengan vektor

a

Latihan :

1. Cari sudut arah dari vektor kjia 354 +−=

2. Cari suatu vektor yang panjangnya 5 satuan dngan 32= dan 100= sebagai dua

dari ketiga sudut arahnya.

Bidang

Salah satu cara untuk mendeskripsikan bidang adalah dengan menggunakan

vektor. Misal 0n = CBA ,, vektor tetap dan ),,( 1111 zyxP titik tetap. Himpunan semua

titik ),,( zyxP yang memenuhi 01 =nPP adalah bidang yang tegak lurus terhadap

vektor n dan memuat titik 1P .

Tulis vektor PP1 dalam bentuk komponen

maka 01 =nPP ekivalen dengan

Persamaan tersebut ( dengan A,B,C tidak semuanya nol ) dinamakan bentuk baku dari

persamaan bidang. Jika tanda kurung dibuka, maka akan diperoleh persamaan linier

Ini berarti setiap bidang memiliki persamaan linier.

Misal ),,( 111 zyx suatu titik tetap yang memenuhi persamaan linier, maka

Ambil sebarang tititk ),,( zyx yang memenuhi persamaan linier, maka

Dengan mengurangkan kedua persamaan kita peroleh

Dengan demikian sebaliknya berlaku bahwa setiap persamaan linier merepresentasikan

suatu bidang.

Latihan :

1. Cari persamaan bidang yang melalui titik )2,1,5( − dan tegak lurus vektor 3,4,2=n .

Cari sudut antara bidang ini dengan bidang yang persamaannya diberikan sebagai

5743 =+− zyx

2. Tunjukkan bahwa jarak antara bidang DCzByAx =++ dengan titik ),,( 000 zyx

dapat ditentukan dengan menggunakan rumus

3. Cari jarak antara dua bidang sejajar 9543 =+− zyx dan 4543 =+− zyx

Hasil Kali Silang

Hasil kali silang vu dari 321 ,, uuu=u dan 321 ,, vvv=v didefinisikan sebagai

Untuk lebih memudahkan, hasil kali silang tersebut sering dituliskan dalam bentuk

determinan seperti berikut

Dapat ditunjukkan bahwa pada hasil kali silang berlaku sifat anti komutatif ,

Latihan :

Misal 1,2,1 −−=u dan 1,4,2−=v . Hitung vu dan uv dengan menggunakan

definisi.

Tafsiran geometris dari hasil kali silang , diberikan oleh teorema berikut .

Teorema

Jika vu, adalah vektor dan adalah sudut diantara keduanya , maka :

1. 0= v)(uu dan 0= v)(uu , yakni vu tegak lurus terhadap u dan v

2. vu, dan vu membentuk sistem tangan kanan

3. sinvuvu =

Kita memperoleh teorema berikut sebagai akibat dari teorema di atas.

Teorema

Dua vektor u dan v sejajar jika dan hanya jika 0vu =

Latihan :

1. Cari persamaan bidang yang memuat tiga titik )3,2,1(1 −P , )2,1,4(2 −P dan )0,3,2(3 −−P

2. Tunjukkan bahwa luas jajar genjang dengan vektor a dan b sebagai sisi yang

berdampingan adalah ba

3. Tunjukkan bahwa volume dari balok genjang yang ditentukan vektor-vektor a , b dan

c adalah

Selanjutnya dengan menuliskan vektor dalam komponen, dapat ditunjukkan

teorema berikut berlaku

Teorema

Jika u , v dan w vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan k adalah skalar, maka berlaku

:

Dengan menggunakan sifat di atas dan hasil kali silang vektor-vektor basis berikut

perhitungan hasil kali silang bisa dilakukan tanpa harus menggunakan definisi

Latihan :

Misal k2j3iu +−= dan 3k2j4iv −+= . Hitung vu tanpa menggunakan definisi.

Fungsi Bernilai Vektor

Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan pengertian fungsi bernilai vektor 2. Menentukan limit fungsi bernilai vektor 3. Menentukan turunan fungsi bernilai vektor 4. Menentukan integral fungsi bernilai vektor 5. Menentukan kecepatan dan percepatan gerakan sepanjang kurva lintasan 6. Menentukan persamaan garis pada ruang dimensi tiga 7. Menentukan persamaan garis singgung kurva pada ruang dimensi tiga 8. Menentukan kelengkungan dan komponen percepatan Materi Ajar

Ingat kembali bahwa fungsi adalah aturan yang mengaitkan setiap t anggota suatu

himpunan ( daerah asal ) dengan suatu nilai )(tf yang tunggal pada himpunan yang

kedua. Himpunan dari semua nilai yang diperoleh disebut daerah hasil dari fungsi.

Sejauh ini yang kita bicarakan adalah fungsi bernilai riil dari peubah riil, yakni

daerah asal dan daerah hasilnya adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.

Sebagai contoh 2)( ttf = yang mengaitkan setiap bilangan riil t dengan bilangan riil 2t .

Sekarang kita akan membicarakan suatu fungsi yang daerah asalnya adalah

himpunan bagian dari bilangan riil dan daerah hasilnya adalah himpunan vektor

Fungsi bernilai vektor F dari variabel riil t mengaitkan setiap t anggota suatu himpunan

bagian dari himpunan bilangan riil dengan tepat satu vektor )(tF .

dengan gf , dan h fungsi variabel riil bernilai riil. Sebagai cotoh

Biasanya fungsi bernilai vektor dituliskan dengan huruf tebal untuk membedakan fungsi

bernilai vektor dengan fungsi bernilai riil.

Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor

Secara intuitif LF =→

)(lim tct

berarti bahwa vektor )(tF mendekati L ketika t

mendekati c . Dengan kata lain vektor LF −)(t mendekati 0 ketika ct →

Definisi

Mengatakan bahwa LF =→

)(lim tct

berarti bahwa untuk setiap 0 ( berapapun kecilnya ),

h terdapat suatu 0 sedemikian sehingga −LF )(t jika − ct0 , yakni

−− LtFct )(0

Teorema

Misal kjiF )()()()( thtgtft ++= , maka F memiliki limit di c jika dan hanya jika gf , dan h

memiliki limit di c , dan

Selanjutnya fungsi F dikatakan kontinu pada c jika )()(lim ctct

FF =→

dan akibat dari

teorema di atas, maka F kontinu pada c jika dan hanya jika gf , dan h kontinu di c

Selanjutnya turunan F' adalah fungsi yang nilainya di sebarang t diberikan oleh

dan jika ijiF )()()()( thtgtft ++= , maka

Latihan :

Jika kjiF 2)1()( 2 +++= tett , cari )(' tF , )(tF" dan sudut antara )0('F dan )0(F"

Berikut adalah aturan pencarian turunan pada fungsi peubah riil bernilai vektor

Teorema

Jika F dan G adalah fungsi bernilai vektor dapat diturunkan, p fungsi bernilai riil dapat

diturunkan dan c adalah skalar , maka :

Karena turunan dari fungsi bernilai vektor dapat ditentukan dengan menghitung

turunan dari komponen-komponennya maka suatu yang masuk akal jika kemudian

integralnya juga dapat ditentukan dengan menghitung integral dari komponennya, yakni

jika kjiF )()()()( thtgtft ++= ,

Latihan :

Jika kjiF 2)( 2 −−= −tett , carilah

Gerak Sepanjang Kurva Lintasan

Kita akan menggunakan teori tentang fungsi bernilai vektor yang telah kita

bicarakan sebelumnya untuk mempelajari gerakan titik pada ruang. Misal t mengukur

waktu dan misal koordinat titik P diberikan secara geometri sebagai )(tfx = , )(tgy =

dan )(thz = , maka vektor kjir )()()()( thtgtft ++= diasumsikan memancar dari titik

asal dan disebut sebagi vektor posisi dari titik P . Seraya t bergerak , ujung )(tr

menelusuri lintasan gerakan dari titik P . Lintasan tersebut berbentuk kurva dan kita

menamakan gerakan titik tersebut sebagai gerak sepanjang kurva lintasan.

Analog dengan gerak lurus , kita mendefinisikan kecepatan )(tv sebagai :

yakni )()( tt r'v = dan percepatan )()( tt v'a = . Interpretasi geometrinya, vektor

kecepatan menentukan arah garis singgung dan percepatan secara mengarah ke dalam

lengkungan kurva seperti yang diilustrasikan berikut ini :

Jika )(tr adalah vektor posisi dari suatu titik, maka panjang lintasan dari at = ke

bt = adalah

Akumulasi dari panjang busur dari at = ke sebarang t diberikan oleh

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, kita punyai

Selanjutnya laju dari suatu objek didefinisikan sebagai :

Latihan :

Posisi suatu titik ditentukan secara parametrik oleh persamaan tx cos= , ty sin= , t

z

=

. a. Buat sketsa kurva tersebut

b. Tentukan kecepatan , percepatan dan laju dari gerak sepanjang kurva

Garis dan garis singgung di ruang dimensi tiga

Kurva yang paling sederhana adalah garis. Suatu garis ditentukan oleh suatu titik

0P dan suatu vektor tetap kjiv cba ++= disebut vektor arah dari garis. Garis dilihat

sebagai himpunan semua titik P demikian sehingga PP0 sejajar dengan v , yakni

untuk suatu bilangan riil t .

Jika OP=r dan 00 OP=r adalah vektor posisi dari P dan 0P , sehingga

00 rr −=PP

sehingga persamaan garis dapat ditulis sebagai

Jika ditulis zyx ,,=r dan 0000 ,, zyx=r , dengan menyamakan komponen dari

persamaan di atas, kita peroleh

Persamaan tersebut dinamakan persamaan parametrik garis yang melalui titik

),,( 0000 zyxP dan sejajar cba ,,=v . Vektor cba ,,=v disebut vektor arah dan bilangan

ba, dan c disebut bilangan arah dari garis. Bilangan arah tidak tunggal, karena jika ba,

dan c bilangan arah maka kbka, dan kc juga bilangan arah.

Latihan :

Cari persamaan parametrik garis yang melalui titik-titik )4,2,3( − dan )2,6,5( −

Jika kita menyelesaikan persamaan parametrik untuk t ( asumsikan cba ,, tidak

semuanya nol ) dan dengan menyamakan hasil tersebut kita memperoleh persamaan

simetrik untuk garis yang melalui titik ),,( 000 zyx dengan bilangan arah ba, dan c

Ini adalah irisan dari dua persamaan bidang

dan tentu saja irisan dua bidang adalah garis.

Latihan :

1. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang sejajar dengan vektor 2,3,4 − dan

melalui titik )1,5,2( −

2. Cari persamaan simetrik dari perpotongan dua bidang 1452 −=−− zyx dan bidang

28454 =++ zyx

3. Cari persamaan parametrik dari garis yang melalui titik )3,2,1( − dan tegak lurus pada

sumbu- x dan garis 51

3

2

4 zyx=

−

−=

−

Misal

adalah vektor posisi yang menentukan kurva di ruang dimensi tiga. Garis singgung dari

kurva memiliki vektor arah

Latihan :

1. Cari persamaan parametrik dan persamaan simetrik dari garis singgung kurva

pada titik

3

8,2,2P

2. Cari persamaan bidang yang tegak lurus terhadap kurva

pada titik ( )8,0,2P

Kelengkungan

Kelengkungan secara natural bisa kita lihat sebagai ukuran seberapa tajam kurva

melengkung. Garis lurus tentu saja kelengkungannya sama dengan nol dan semakin tajam

kurva melengkung maka semakin besar kelengkungannya.

Misal kjir )()()()( thtgtft ++= menyatakan posisi suatu objek pada saat t.

Asumsikan )(' tr kontinu dan tidak pernah sama dengan vektor nol. Hal ini menjamin

bahwa )(ts bertambah jika t bertambah. Ukuran kelengkungan akan menunjukkan

seberapa cepat vektor singgung berubah. Tapi nantinya kita akan bekerja dengan vektor

singgung satuan.

Tinjau laju perubahan vektor singgung satuan seperti yang dilustrasikan sebagai

berikut.

Ketika objek bergerak dari titik A ke titik B , perubahan sangat sedikit atau panjang

)()( ttt TT −+ kecil , sedangkan ketika objek bergerak dari C ke D perubahan lebih

banyak atau panjang )()( ttt TT −+ lebih besar. Kelengkungan didefinisikan sebagai

besarnya laju perubahan vektor satuan terhadap panjang lintasan s , yakni

Selanjutnya kita bisa menuliskan ,

Latihan :

Cari kelengkungan helix kji cttbta ++ sincos pada sebarang titik

Komponen percepatan

Misal )(tr vektor posisi dan )(tT adalah vektor singgung satuan dari gerak

sepanjang suatu kurva. Mengingat )(tT vektor satuan, maka kita punyai

untuk semua t . Selanjutnya turunkan kedua ruas terhadap t , diperoleh

Dari kesamaan di atas kita bisa simpulkan bahwa

Ini mengatakan pada kita bahwa )(tT dan )(' tT saling tegak lurus untuk semua t . Secara

umum vektor )(' tT bukan vektor satuan , selanjutnya kita definisikan vektor normal

satuan

Selanjutnya kita akan menyatakan percepatan dalam vektor singgung satuan dan vektor dan

vektor normal satuan. Secara lebih spesifik kita akan mencari komponen tangensial Ta dan

komponen Na sedemikian sehingga

Perhatikan ,

Karena v'a = , NTT ''= dan dt

ds='T

Sehingga komponen tangensial dan komponen normal dapat ditentukan dengan

Selanjutnya kita akan menyatakan komponen tangensial dan komponen normal

menggunakan vektor posisi r . Perhatikan yang berikut ini ,

Selanjutnya,

Dengan demikian kelengkungan juga bisa dinyatakan menggunakan vektor posisi,

Latihan :

Pada titik

3

1,1,1 , cari T , N , Ta , Na dan untuk gerakan sepanjang kurva