12/04/23 16:18 1

VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG

Pokok Bahasan :

1. Notasi dan Operasi Vektor

2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal

3. Perkalian silang dan Aplikasinya

Beberapa Aplikasi :

• Proses Grafika Komputer

• Kuantisasi pada proses kompresi

• Least Square pada Optimasi

• Dan lain-lain

12/04/23 16:18 2

Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arah Notasi vektor

321321

3

2

1

,,ˆˆˆ ccckcjcic

c

c

c

c

Notasi panjang vektor

3

2

1

c

c

c

c

adalah 2

32

22

1 cccc

Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm

sama dengan satu

12/04/23 16:18 3

Operasi Vektor meliputi :

1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

2. Perkalian vektor

(a) dengan skalar

(b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)

• Hasil kali silang (Cross Product)

12/04/23 16:18 4

Penjumlahan Vektor

u

v vu

u

u v

vu

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor

maka

12/04/23 16:18 5

u

u2

u2

Perkalian vektor dengan skalar

u uk

u

uu

Perkalian vektor dengan skalar k,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali

panjang vektor dengan arah

Jika k > 0 searah dengan Jika k < 0 berlawanan arah dengan

12/04/23 16:18 6

3211 ,aaaa 321 ,, bbbb

332211 ,,.1 babababa

332211 ,,.2 babababa

321 ,,.3 kakakaak

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama

dan

maka

Misalkan

12/04/23 16:18 7

Perkalian antara dua vektor

• Hasil kali titik (dot product)

• Hasil kali silang (cross product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3

yang menghasilkan vektor

Hasil kali silang (Cross product)

12/04/23 16:18 8

Dot Product

Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :

dimana

: panjang

: panjang

: sudut keduanya

cosbaba

,a b

a

b

a

b

12/04/23 16:18 9

Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan

Jawab :

Karena tan = 1 , artinya = 450

= 4

ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2

cosbaba

2

182

12/04/23 16:18 10

Ingat aturan cosinus

Perhatikan

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac

b

a

b

a

b

ab

cos2222

babaab

b

12/04/23 16:18 11

Selanjutnya dapat ditulis

Ingat bahwa :

cosba

222

21 abba

cos1. baba

222

21

2....2 naaaa

222

21

2....3 nbbbb

2222

211

2....4 nn abababab

nnnn

nn

ababab

aaabbb

2...22

......

11

222

21

222

21

nnbabababa ...2211

12/04/23 16:18 12

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya

= 2 (2) + 0 (2)= 4

Beberapa sifat hasilkali titik :

1.

2.

3.

2211 bababa

nnbabababa ...2211

abba

cabacba

Rkbkabakbak dimana,

12/04/23 16:18 13

Proyeksi Ortogonal

Karena

aproyc b

a

b

w

cwa bcwba

bcbw

bk

bbk

bkc

bahwaterlihat

2b

bak

12/04/23 16:18 14

Jadi, rumus proyeksi diperoleh :

Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal

vektor

terhadap vektor

3

4

2

u

4

3

1

v

bb

baaoyb 2Pr

12/04/23 16:18 15

Jawab :

4

3

1

4

3

1

26

26

4

3

1

26

)12()12(2

4

3

1

)4(31

4

3

1

3

4

2

Pr

222

2v

v

vwwoyv

12/04/23 16:18 16

Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

321

321

ˆˆˆ

BBB

AAA

kji

BxAC

kBB

AAj

BB

AAi

BB

AA ˆˆˆ21

21

31

31

32

32

12/04/23 16:18 17

Contoh :Tentukan ,dimana

Jawab :

vuw

321

321

ˆˆˆ

vvv

uuu

kji

w

2,2,1 u )1,0,3(v

103

221

ˆˆˆ

kji

i)2(01.2 j1.1)2(3 k2.30.1

kji ˆ6ˆ7ˆ2

12/04/23 16:18 18

Beberapa sifat Cross Product :

a.

b.

c. 2222vuvuvu

0 vxuu

0 vxuv

12/04/23 16:18 19

Dari sifat ke-3 diperoleh

2222vuvuvu

222cos vuvu

22222cos vuvu

222cos1 vu

222sin vu

sin, vuvxuJadi

12/04/23 16:18 20

Perhatikan ilustrasi berikut :

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah

u

v

sinv

u

sinGenjangJajaran Luas vuvxu

vu2

1segitigaLuas

12/04/23 16:18 21

Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :

A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)

Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !

Jawab :Tulis

= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)

AB

AC

12/04/23 16:18 22

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah

AB AC541

223

ˆˆˆ kji

kji ˆ10ˆ13ˆ2

10016942

1Luas

2732

1

12/04/23 16:18 23

Orientasi pada titik B

BA ba

BC bc

BCBA

322

223

ˆˆˆ

kji

jki ˆ10ˆ13ˆ2

BCxBA2

11001694

2

1

2732

1

= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)

= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :

=

12/04/23 16:18 24

Latihan Bab 4

1. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan

b. dan

1

2a

2

3b

3

1

2

a

2

2

1

b

12/04/23 16:18 25

3. Tentukan proyeksi ortogonal vektor berikut ini

dan

– Tentukan proyeksi ortogonal u terhadap v– Tentukan proyeksi ortogonal v terhadap u– Lakukan cross product u x v

4. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

1

3

7

u

4

0

2

v