Regresi Linier Sederhana

dan Korelasi (3 sesi)

Disusun oleh

Sigit Nugroho

Universitas Bengkulu

Sigit Nugroho 160

Pengertian

• Regresi merupakan teknik statistika yang digunakan untuk mempelajari hubungan fungsional dari satu atau beberapa peubah bebas (peubah yang mempengaruhi) terhadap satu peubah tak bebas (peubah yang dipengaruhi)

• Korelasi merupakan ukuran kekuatan hubungan dua peubah (tidak harus memiliki hubungan sebab akibat)

Sigit Nugroho 161

Regresi

• Dari derajat (pangkat) tiap peubah bebas • Linier (bila pangkatnya 1)

• Non-linier (bila pangkatnya bukan 1)

• Dari banyaknya peubah bebas (yang

mempengaruhi) • Sederhana (bila hanya ada satu peubah bebas)

• Berganda (bila lebih dari satu peubah bebas)

Sigit Nugroho 162

Regresi Linier Sederhana

• Model

– Yi = b0 + b1Xi + ei

Yi merupakan nilai pengamatan ke-i.

b0 adalah parameter regresi (intersep)

b1 adalah parameter regresi (slope)

ei kesalahan ke-i.

– Asumsi :

• peubah X terukur tanpa kesalahan; X tidak memiliki distribusi (bukan random variable)

• kesalahan menyebar normal dengan rata-rata nol dengan simpangan baku se.

Sigit Nugroho 163

Teladan Permasalahan

• Dari sebuah survai yang dilakukan di kampung Maju Makmur digunakan untuk mengetahui hubungan fungsional antara luas tanah (hektar) dan harganya (Rp. 00 Juta). Bila data berpasangan tentang luasan dan harga tanah diperoleh, bagaimana hubungan fungsionalnya ?

Luas Harga

0,75 2,45

0,55 2,20

1,00 2,80

1,25 3,60

2,50 5,80

3,00 7,40

4,50 9,00

3,75 8,50

5,00 10,00

3,25 8,00

3,25 7,50

2,75 6,00

2,75 6,25

2,00 4,00

4,00 8,00

Sigit Nugroho 164

Diagram Pencar (Scatter Plot)

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00

Luas (Ha.)

Harg

a (

Rp

. ju

ta)

Sigit Nugroho 165

Mana pendekatan yang baik ? Garis lurus yang sedemikian rupa sehingga melewati seluruh

titik (data ) pada diagram pencar yang mendekati

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00

Luas (Ha.)

Harg

a (

Rp

. ju

ta)

Sigit Nugroho 166

Metode Jumlah Kuadrat Galat Terkecil

(Least Squares Method) merupakan salah satu kriteria yang memenuhi, agar apabila kuadrat dari kesalahan itu

dijumlahkan akan se minimum mungkin.

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0,00 2,00 4,00 6,00

Harga

Regresi

Sigit Nugroho 167

Persamaan Regresi

ii XY 10ˆˆˆ bb

dimana

n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

ii

n

x

x

n

yx

yx

1

2

12

1

11

1b̂

xy 10ˆˆ bb

Sigit Nugroho 168

Teladan Hitungan

Luas X Harga Y XY X2 Y2

0,75 2,45 1,8375 0,5625 6,0025

0,55 2,20 1,2100 0,3025 4,8400

1,00 2,80 2,8000 1,0000 7,8400

1,25 3,60 4,5000 1,5625 12,9600

2,50 5,80 14,5000 6,2500 33,6400

3,00 7,40 22,2000 9,0000 54,7600

4,50 9,00 40,5000 20,2500 81,0000

3,75 8,50 31,8750 14,0625 72,2500

5,00 10,00 50,0000 25,0000 100,0000

3,25 8,00 26,0000 10,5625 64,0000

3,25 7,50 24,3750 10,5625 56,2500

2,75 6,00 16,5000 7,5625 36,0000

2,75 6,25 17,1875 7,5625 39,0625

2,00 4,00 8,0000 4,0000 16,0000

4,00 8,00 32,0000 16,0000 64,0000

40,30 91,50 293,4850 134,2400 648,6050

2,69 6,10

slope 1,835

intersep 1,169

Sigit Nugroho 169

Persamaan Regresi serta penjelasannya

ii XY 835,1169,1ˆ

Slope bernilai 1,835. Artinya : dua luasan tanah yang

berbeda seluas satu hektar, tanah yang lebih luas akan

memiliki perkiraan harga Rp. 1,835 juta lebih tinggi.

JANGAN diartikan sbb: bila luas tanah meningkat satu

hektar, maka harga tanah akan meningkat Rp. 1,835

juta.

Sigit Nugroho 170

Persamaan Regresi serta penjelasannya

ii XY 835,1169,1ˆ

Slope bernilai 1,169. Untuk teladan ini nilai intersep

tidak memiliki arti.

JANGAN diartikan sbb: bila luas tanah (x) = 0

hektar, maka harga tanah adalah Rp. 1,169 juta.

Pengartian seperti ini TIDAK benar. Kenapa ???

Sigit Nugroho 171

Persamaan Regresi serta penjelasannya

840,4)2(835,1169,12 xY

675,6)3(835,1169,13 xY

Tanah yang luasnya 3 ha memiliki perkiraan

harga Rp. 1,835 juta lebih tinggi dari yang 2 ha

Sigit Nugroho 172

Menguji Koeffisien Regresi

1ˆ

101ˆ

b

bb

sthit

H0 : b1 = b10 vs H1 : b1 ≠ b10

Kriteria Penolakan: Tolak hipotesis nol

jika thit < -ta/2;n-2 atau thit > ta/2;n-2

dimana

)(

)(ˆ)(

2

1

ˆ

2

1 1

2

2

1

2

2

ˆ1 XJK

XYJHKYJK

n

nx

x

n

yxyx

n

yy

ns

ii

iiii

ii

bb

b

Statistik Uji

Sigit Nugroho 173

Menguji Koeffisien Regresi

)(

12ˆ1 XJK

ss eb

2

)(ˆ)(

2

ˆ

1

1

2

2

n

XYJHKYJK

n

n

yxyx

n

yy

s

iiii

ii

bb

e

Jika kita misalkan berikut ini adalah simpangan baku

galat, yang dinotasikan dengan

Maka simpangan baku bagi penduga slope b1 dapat

dituliskan sebagai berikut

n

i

n

i

i

in

x

xXJK1

2

12)(

Sigit Nugroho 174

Menguji Koeffisien Regresi

0ˆ

000ˆ

b

bb

sthit

H0 : b0 = b10 vs H1 : b0 ≠ b00

Kriteria Penolakan: Tolak hipotesis nol

jika thit < -ta/2;n-2 atau thit > ta/2;n-2

dimana

Statistik Uji

)(

1 22

ˆ0 XJK

x

nss eb

Sigit Nugroho 175

Nilai Dugaan dan Simpangan

Bakunya

Apabila dilakukan sampling yang berulang

untuk nilai X = x tertentu dari salah satu nilai

x yang kita gunakan, maka nilai dugaan

modelnya adalah

1ˆ ˆˆ

x oy xb b

Dengan simpangan baku

)(

)(1 22

ˆXJK

xx

nss

xy e

Sigit Nugroho 176

Nilai Dugaan dan Simpangan

Bakunya

Apabila kasus baru didapat untuk nilai X = x

yaitu x dari nilai yang ada diluar amatan kita

1ˆ ˆˆ

x oy xb b

Dengan simpangan baku

)(

)~(11

22

ˆ~

XJK

xx

nss

xy e

Sigit Nugroho 177

Penduga Interval bagi

Koeffisien Regresi

11ˆ

2;2

11ˆ2;

2

1ˆˆ

baba bbb ststnn

Selang Kepercayaan 100(1-a)% bagi b1 adalah

00ˆ

2;2

00ˆ2;

2

0ˆˆ

baba bbb ststnn

Selang Kepercayaan 100(1-a)% bagi b0 adalah

Sigit Nugroho 178

Koeffisien Korelasi

• Mengukur keeratan hubungan dua peubah (tidak harus memiliki hubungan sebab akibat). Dinotasikan dengan rxy atau singkatnya r saja.

• Nilainya -1 rxy +1

– Jika rxy -1 kedua peubah berhubungan kuat tapi berlawanan arah

– Jika rxy +1 kedua peubah berhubungan kuat dan searah

– Jika rxy 0 kedua peubah tidak memiliki hubungan

• Koeffisien korelasi contoh (bila tidak seluruh anggota populasi diamati) dinotasikan dengan rxy atau r saja

• Tanda +/- dari koeffisien korelasi sama dengan tanda dari slope

Sigit Nugroho 179

Koeffisien Korelasi

983,0)46,90)(97,25(

66,47xyr

)()(

)(

1

2

12

1

2

12

1

11

YJKXJK

XYJHK

n

y

yn

x

x

n

yx

yx

r

n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

ii

xy

Sigit Nugroho 180

Penjelasan arti koeffisien korelasi

983,0)46,90)(97,25(

66,47xyr

Dari data yang kita miliki terlihat bahwa terdapat

hubungan yang cukup kuat antara luas tanah dan

harganya. Karena tandanya +, maka semakin luas

tanah, semakin tinggi harganya

Sigit Nugroho 181

Menguji Koeffisien Korelasi

H0 : r = r0 vs H1 : r ≠ r0

Statistik uji

0

0

1

1

1

1ln

2

3

r

r

r

rnzhit

Kriteria Penolakan Hipotesis Nol: Tolak Hipotesis

Nol jika zhit < za/2 atau zhit > z1-a/2

Sigit Nugroho 182

Menguji Koeffisien Korelasi

H0 : r = 0 vs H1 : r ≠ 0

Statistik uji (n > 30)

21

2

r

nrzhit

Kriteria Penolakan Hipotesis Nol: Tolak Hipotesis

Nol jika zhit < za/2 atau zhit > z1-a/2

Sigit Nugroho 183

Menguji Koeffisien Korelasi

H0 : r = 0 vs H1 : r ≠ 0

Statistik uji (n ≤ 30)

21

2

r

nrthit

Kriteria Penolakan Hipotesis Nol: Tolak Hipotesis

Nol jika thit < -ta/2;n-2 atau thit > ta/2;n-2