reduksi orde model pada sistem linier waktu …repository.unair.ac.id/29891/1/1. halaman depan.pdf9....

REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINUDENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG

SKRIPSI

ADILAH RISYA RAHMI

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKADEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGIUNIVERSITAS AIRLANGGA

2015

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG

ADILAH RISYA RAHMI

REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINUDENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk MemperolehGelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Pada Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Airlangga

Disetujui oleh:

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Fatmawati, M.Si. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.NIP. 19730704 199802 2 001 NIP. 19640103 198810 1 001

ii



ADILAH RISYA RAHMI

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul : Reduksi Orde Model pada Sistem Linier Waktu Kontinudengan Metode Pemotongan Setimbang

Penyusun : Adilah Risya RahmiNIM : 081112013Pembimbing I : Dr. Fatmawati, M.Si.Pembimbing II : Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.Tanggal Ujian : 11 November 2015

Disetujui oleh:

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Fatmawati, M.Si. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.NIP. 19730704 199802 2 001 NIP. 19640103 198810 1 001

Mengetahui:Ketua Departemen MatematikaFakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si.NIP. 19680204 199303 1 002

iii



ADILAH RISYA RAHMI

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini sudah dipublikasikan, namun juga tersedia di perpustakaan dalamlingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensikepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkansumbernya sesuai kebiasaan ilmiah.

Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga

iv



ADILAH RISYA RAHMI

KATA PENGANTAR

Õæ��k�QË@ áÒ��k�QË@ é��

�ÊË @ Õæ��K.

Alhamdulillah, puji syukur penulis ucapkan kepada Allah S.W.T atas segala

nikmat dan hidayah-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi yang

berjudul ”Reduksi Orde Model pada Sistem Linier Waktu kontinu dengan Metode

Pemotongan Setimbang”. Semoga Allah senantiasa memberikan karunia, nikmat,

taufik, serta hidayah-Nya kepada kita semua sehingga setiap langkah dan perjalanan

selalu mendapat ridho dan kemudahan dariNya. Sholawat dan salam semoga

selalu tercurahkan kepada nabi Muhammad SAW yang telah menunjukkan jalan

kebenaran kepada kita semua.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada

semua pihak yang telah mendukung sehingga terselesaikannya skripsi ini. Ucapan

terima kasih penulis ucapkan kepada:

1. Dr. Miswanto, M.Si. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains

dan Teknologi Universitas Airlangga.

2. Dr. Fatmawati, M.Si. selaku pembimbing I dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.

selaku dosen pembimbing II skripsi yang senantiasa nmencurahkan segenap

ilmu, waktu, dan tenaga untuk memberikan bimbingan, arahan, masukan

yang sangat berharga dan bermanfaat kepada penulis.

3. Dr. Herry Suprajitno, M.Si. selaku dosen wali yang selalu memberikan

motivasi dan arahan selama penulis belajar di program studi S1-Matematika

Departemen Matematika.

4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. selaku dosen penguji III dan Drs. Edi

Winarko, M.Cs. selaku dosen penguji IV yang telah memberikan masukan

yang bermanfaat kepada penulis.

v



ADILAH RISYA RAHMI

5. Umi, Buya, Mbak Zafi yang di Jogja, Rahma yang di Padang, dan si kembar

(Armi dan Amri) serta keluarga besar yang telah memberikan doa, dukungan,

motivasi dan semangat kepada penulis selama ini.

6. Saudari-saudariku seperjuangan di jalan Allah SWT. Mbak Dhyna, Niken,

Hima, Mimin, Mbak Risa, Mbak Naning, Mbak Lail, Indah, Mbak Indah,

Elima, Iin, Erlin, Laila, Dewi, Devi, Ari, Salis, Ratna, Mbak Arista, Mbak

Nunung, dan masih banyak lagi yang belum tercantumkan.

7. Teman-teman ”RP” mulai dari Mbak Ninggar, Mbak Kunti, Ayundut, Nandut,

Zaimah, Empang, dan Nance yang membuat rame grup line. Sesama pejuang

Aljabar: Mawa, Nandut, dan Lina. Teman jalan-jalan dan menemani konsul:

Meiyn.

8. Teman-teman kos yang selalu memberikan semangat, Feri, Mbak Ira, Ratih,

Elma, dik Indah, Mbak Risa, Niken, dan Putri.

9. Teman-teman KKN-BM 51 Desa Gondang Wetan Kab. Nganjuk: Sudrajat,

Irfan, Deni, Agus, Kiki, Bella, Sari, Ade, Nining, dan Lucky yang secara

tidak langsung memberikan semangat bagi penulis.

10. Keluarga besar Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UNAIR angkatan

2011 yang telah memberikan warna, pengalaman dan cerita selama menjalani

perkuliahan, semoga ilmu yang kita peroleh barokah dan mampu menjadi

amal jariyah kita di surga kelak.

Penulis menyadari bahwa dalam skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh

karena itu, kritik dan saran yang bersifat konstruktif dari semua pihak sangat

dibutuhkan untuk perbaikan penulis dimasa mendatang. Semoga skripsi ini dapat

memberi manfaat kepada kita semua.

Penulis,

Adilah Risya Rahmi

vi



ADILAH RISYA RAHMI

Adilah Risya Rahmi, 2015, Reduksi Orde Model pada Sistem Linier Waktu Kontinudengan Metode Pemotongan Setimbang. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr.Fatmawati, M.Si. dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., Departemen Matematika,Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga.

ABSTRAK

Pada skripsi ini terdapat dua pokok permasalahan, yaitu mengkonstruksi reduksiorde model pada sistem linier waktu kontinu dengan metode pemotongan setimbangdan mengimplementasikan hasil reduksi orde model pada permasalahan konduksipanas. Pada pembahasan ini, sistem linier waktu kontinu berorde n bersifattidak stabil asimtotis tetapi terstabilkan dan terdeteksi. Reduksi orde modelpada sistem linier waktu kontinu yang tidak stabil asimtotis dapat direduksimelalui dekomposisi sistem yang mempartisi sistem menjadi subsistem yang stabilasimtotis dan subsistem yang tidak stabil asimtotis. Metode pemotongan setimbangdilakukan pada subsistem yang stabil asimtotis sehingga diperoleh sistem tereduksiyang bersifat setimbang, stabil asimtotis, terkendali dan terobservasi. Subsistemstabil asimtotis yang telah tereduksi dijumlahkan pada subsistem yang tidak stabilasimtotis sehingga menghasilkan sistem tereduksi secara keseluruhan. Sistemtereduksi secara keseluruhan bersifat terstabilkan dan terdeteksi. Selanjutnya,sebagai studi kasus, sistem tereduksi dari sistem semula yang tidak stabil asimtotistetapi terstabilkan dan terdeteksi akan diterapkan pada permasalahan konduksipanas.

Kata kunci: dekomposisi sistem, pemotongan setimbang, reduksi orde model, sistemlinier, waktu kontinu.

vii



ADILAH RISYA RAHMI

Adilah Risya Rahmi, 2015, Model Order Reduction for Continuous Time LinearSystems by Using Balanced Truncation. This undergraduate thesis was supervisedby Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., Department ofMathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University.

ABSTRACT

In this thesis there are two principal problems, namely constructing modelorder reduction in continuous time linear systems with balanced truncation andimplement the results of the model order reduction of heat conduction problem.In this thesis, we assume that continuous time linear systems of n-order isunstable assymtotes but stabilized and detectized. Model order reduction incontinuous time linear systems unstable asymptotically can be reduced throughthe decomposition of the system that partitioning system into stable subsystemand unstable subsystem. Balanced truncation methods performed on stablesubsystems to obtain irreducible system with equilibrium feature, asymptoticallystable, controlled and observed. Asymptotically stable subsystems that have beenreduced accrued to the asymptotically unstable subsystem until producing wholereduced system. The characteristic of reduced systems have stabilized and detectedcharacteristic. Futhermore, the case study for asymptotically unstable subsystembut stabilized and detectized with balanced truncation applied in heat conductionproblems.

Keywords: balanced truncation, continuous time, decomposition systems, linearsystems, reduction of order model.

viii



ADILAH RISYA RAHMI

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

LEMBAR PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

LEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

DAFTAR LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

BAB I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Ruang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Sistem Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

ix



ADILAH RISYA RAHMI

2.4. Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Sifat Dasar Pada Sistem Linier Waktu Kontinu . . . . . . . . . 12

2.6. Persamaan Lyapunov Sistem Linier Waktu Kontinu . . . . . . 15

BAB III METODE PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1. Dekomposisi Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2. Reduksi Orde Model dengan Metode Pemotongan Setimbang . 18

4.2.1. Realisasi Setimbang dari Subsistem Stabil . . . . . . . . 18

4.2.2. Metode Pemotongan Sistem Setimbang pada SubsistemStabil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2.3. Sifat Sistem Tereduksi dari Subsistem Stabil Asimtotis . 22

4.3. Sifat Sistem Tereduksi secara Keseluruhan. . . . . . . . . . . . 24

4.4. Studi Kasus pada Konduksi Panas. . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4.1. Hasil Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

x



ADILAH RISYA RAHMI

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

4.1 Nilai eigen matriks Ars1 dari subsistem tereduksi orde 8 . . . . . . . . 34

xi



ADILAH RISYA RAHMI

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

4.1 Proses pendiskritan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Sumber panas pada setiap partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Respon frekuensi pada sistem stabil asimtotis . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Respon frekuensi pada sistem tidak stabil asimtotis. . . . . . . . . . . 36

xii



ADILAH RISYA RAHMI

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul

xiii



ADILAH RISYA RAHMI

reduksi orde model pada sistem linier waktu …repository.unair.ac.id/29891/1/1. halaman depan.pdf9....

Documents