rangkuman kalkulus ii

8/15/2019 Rangkuman Kalkulus II

1/8

RANGKUMAN KALKULUS

I. VEKTOR PADA BIDANG

1. Kurva Pada Bidang

Suatu kurva pada bidang ditentukan oleh sepasang parameter, misaly = = ⇒ (, ) Jika parameter t bergerak dari a sampai b maka akan terjadi perpindahan dari(, ) ke (, ) Jika a ≠ b → bentuk kurva terbuka

Jika a = b → bentuk kurva terbuka

2. Kalkulus Fungsi Parameter

Jika

= dan y

=

= ∙ Misal:∫ dengan x = 2t - 5

y = t2 + t

maka:∫ y = t2 + tx = 2t – 5 ⇒ = 2

dx = 2 dt

t = + ⇒ x = 2 → t = 3 x = 5 → t = 5 ∫ 2 ⇒ Cara I

Atau∫

∫ +

+

⇒ Cara I

A. Operasi Terhadap Vektor

1. Penjumlahan / Pengurangan

2. Perkalian

Dot Product → menghasilkan bilangan scalar · = |||| cos · = ·


2/8

Y

X

B. Tinjauan Vektor secara Aljabar

Vektor pada kartesius dapat dinyatakan dalam 2 komponen

Penyajian vektor dapat dinyatakan juga dalam vektor satuan

i = arah sumbu x u = |ux|i + |uy|j

j = arah sumbu y = uxi + uyj

Operasi Vektor


2. Perkalian → dot product · = xiyj · xiyj = x · x y·y = |||| cos Misal:

A(1,2); B(2,1); C(3,5). Tentukan ABC!

BA = -i + j

BC = i + 4j

c o s = −+√ +√ = √ = √

=59,04ᵒ

= ⇒ =


3/8

II. GEOMETRI DALAM RUANG (3D)

Koordinat Kartesius ↪ Koordinat kartesius dalam 3D terdiri dari 3 garis saling ┴ . Penentuan dapatdinyatakan dengan kaidah tangan kanan.

Ibu jari (sb. x)

Telunjuk (sb. y)

Tengah (sb. z)↪ Jarak antara 2 titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) dapat dinyatakan dengan dalil pitagoras. = ↪ Pada 3D dapat membuat bola dengan pusat P(a,b,c) dengan jari-jari r

Contoh:

1.

Cari persamaan bola yang kulitnya melalui titik P(1,2,3) dan Q(7,6,5)2. Cari jari-jari dan pusat bola dari pers. 2 4 6 2 = 0 1.

Pusat ⇒ + ; + ; + = 4,4,4 Jari-jari ⇒ = 7 1 6 2 5 3 = 3 6 1 6 4 = 56

= √ 14

∴ Persamaan: 4 4 4 = 14 2. 1 1 2 4 3 9 2 = 0 1 2 3 = 4 → pusat P(1,2,3)r = 4↪ Persamaan bidang ⇒ =

Misal 2 3 = 4

(0,0,) (4,0,0)

(0,2,0)


4/8

↪ Vektor dalam 3DA. Operasi Vektor


2. Perkalian

Dot Product → skalar

· = |||| cos = Cross Product → vektor↪ arah vektor hasil cross product adalah ┴ terhadap kedua vektor yang

dioperasikan, sedangkan besarnya:| × | = |||| sin i × j = k (u × v) · u

j × k = i (u × v) · v

k × i = j (v × u) · u

(v × u) · v × = ( ) × = ( ) ( ) × =

Persamaan bidang dapat dibuat dengan 3 titik pada bidang; serta

menggunakan operasi cross product dan dot product.Jika n adalah vektor normal n = ax + by + z dan P, , adalah

titik pada bidang tersebut jika dioperasikan dot product dengan

vektor normal hasilnya = 0. Vektor yang bisa dibentuk melalui titikP adalah:P P̅ = Sehingga diperoleh persamaanP P̅ = 0 ⇒ = 0

= 0


5/8

Contoh:

1. Cari persamaan bidang melalui titik P(1,5,2), Q(2,3,1), R(3,2,1)

× =

= 1 0 1 0 (3 2) = P P̅ = 3 2 1

P P̅ · = 0 3 2 1 = 0 x y z = 4 → persamaan bidangB. Luas jajaran genjang yang dibentuk dari 2 vektor

= |||| sin = | × | = | × | Jarak antara titik dengan bidang, ,

L = || cos = || |||| = |·| || Contoh:

1. Cari jarak terdekat antara titik s dengan bidang dimana m = -3j – k ,n = i + j + k

L = |−+||√ | = √

|v| sin θ

θ

v

u

θ

m

L L

, ,

L = jarak terdekat titik ke bidang


6/8


7/8

III. TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-N

Turunan Parsial↪ Jika f adalah fungsi dan variable x,y maka- Turunan terhadap x dan ,

, = l i m∆→ , ∆ - Turunan terhadap y , = l i m∆→ , ∆, ∆

Jika = , , maka = = ,

= = , = = , = = ,

Contoh: = , = 2 = 2 2 = 3 0 = 2 3 = 2 3

Aturan Berantai

→ Fungsi 1 Variabel = ( ) =

.

→ Fungsi 2 Variabel = (, ) = . + .


8/8

= (, , , ) (i)

= . + . (ii)

= . + . Fungsi Implisit

→ f (x,y) = 0

(i) . . = 0 ⇒ = ⁄ ⁄

(ii) .

.

= 0

⇒ = ⁄ ⁄ → f (x,y,z) = 0

(i) . . . = 0

(ii) .

.

.

= 0

(iii) . . . = 0

x = f (y)

y = f (x)

x = f (y,z)

y = f (x,z)

z = f (x,y)

rangkuman kalkulus ii

Documents