Medan Listrik DanHukumGauss.

2-1. Medan Listrik

Medan listrikseringjuga di pakai istilah kuat medan listrik atau intensitas medan listrik. Kuatmedan listrik di suatu titik adalah gaya yang di derita oleh suatu muatan percobaan yang diletakkan di titik itu dibagi oleh besar muatan percobaan. Gaya yang di derita oleh muatan-muatanpositif percobaanq di berbagai titik akibatmuatanQ dapat dilihat dalam Gambar 2-1.

r+Q

b>.

Fb+Q

,c

GamlJar 2-1

23

Kuat medan listrik tersebut adalah :- FE=-

q

=~~!r41tEor q

=~ ~r (2-1)41tEor

Persamaan(2-1) adalahpersamaanmedan listrikyang di timbulkanoleh satu muatan titik. Jikadi dalam ruang terdapat n muatan titik. maka medan listrikdi suatu titik di dalam ruang ituadalah :

n

E= El +E2+ + En= LEi;=1

(2-2)

di sini

adalah medan listrik yang di timbulkan olch muaLankc i.Jika muatannya terbagi sccara kontinyu. maka mcdan listrik yang ditimbulkan olch elemen

muatan dQ adalah :

dE=~ dQ"41tE -r ro r

(2-3)

d - 1 JdQ "an E=- -rr

41tEo radalah besar medan listrik di titik itu.

(2- 4)

2-2. Gerak Partikel Bermuatan Dalam Medan Listrik.

Partikelbermuatanq dalam medan listrik E mengalamigaya F scperti dinyatakanda-lam persamaan (2-1).

F=qE (2-1)

Arah gaya F di sini di tentukan oleh muatan q. Jika muaLan q positi C,gaya F sejajar dengan medanlistrik E dan sebaliknya jika negatiC. arah gaya F akan bcrlawanan.

24

Menurut hukum Newton, partikel bermuatan dalam medan listrik tersebut akan memperolehpercepatan sebesar :

F qEa=-=-m m(2-5)

2-3. Hukum Gauss.

Sebelum membicarakan hukum Gauss ini, lebih dahulu kita masukkan pengertian FluksIistrik. Dalam Gambar 2-2, Q menyatakanjumlah aljabar muatan-muatan (positif dan negatif)yang terdistribusi ke seluruh ruang. Garis putus-putus menunjukkan suatu pcrmukaan S dalamruang yang melingkupi seluruh muatan Q. Auks listrik yang menembus elemen luas ds di defini-

sikan sebagai: dcp=E.ds(N.m2/C)

Auks listrik total yang menembus permukaan S keluar adalah :

(2-6)

disini d s =~ds adalah clemen vektor luas di P dan simbol rfJ. menyatakan integral padaseluruh permukaan tertutup S. Auks listrik yang menembussuatu bidang tepat sarna denganjumlah garis gaya yang melalui permukaanbidang itu, makajumlah garis gaya N adalah :

N=<I> (2-7)

E

A-n

Gambar 2-2

Hubungan antara Auks listrik yang menembus suatu pcrmukaan tertutup dcngan muatan Qdi dalarnnya, di nyatakan olch hukum Gauss sebagai :

(2-8)

25

Dengan demikian, Auks lisu-ik total yang kcluar suatu permukaan tertutup dalam ruangsebandingdenganmuatanlistrik ncuodi dalamnya.

Contoh Penyelesaian 80al2-1. Hitunglahrnedan lisu-ikdi titik A dan B dalam Gambar 2-3

x

Gambar 2-3

Jawab :

(a) Medan lisu-ikdi A akibat muatanQ. dan Q2adalatlEA1dan EA2'bcsarnya sarnadengan :9 2 ) Thl0-6c 6

EAt =10.,10Nm IC ___HO = I 2Sxl0 N/C\7" to.rom)2'

-69 2 2. Thl0 C 6

EA2 =(9x10Nm IC) 'tA.__'" = 5.0x1O N/C

Medan lisu-ik total di A bcsarnya :EA={(EAJ2~+1EA7

o 6EAx = EAt COO30 = I,IxlO r«:

EAy = EA2 - EAt !om300 = 4.4x]({'N/C

Maka6 6

EA = v'(1, I)Z + {4,4)T x 10 N,C = 4,5 x 10 NIC

44 0

Arah E Atcrhadap,surnbux adalah: Q=arc.tg.fr =76.

26

(b) Medan listrik di B akibat Qt dan Q2bcsarnya sarna

9 2 2. 50x10-6c 6 NEDt =ED2 =~1O Nm!:.} HI A{\~\2 =2,8x 10 C

Dari gambar 2-3, sudut antara EDdan sumbu x adalah e, maka :6N

ED=EDtCa;9+ED2Ca;9 =(5,6x 10 C.)Q1\8

= (5,6x 106~) ~:~ = 3,6x 106~

Arah EDdengan sumbu x adalah scarah karcna EIIIdan EII2Simclri.

2-2. Scbuahdndn lipismempanyaijari-jari a dan mualanQ, lcrdislribusisccarahomogen.Tentukan medan listrik di lilik P pada sumbunya, pada jarak x dari pusal Gambar 2-4.

x

9 ----------rdEx = dE Cas e

Gambar 2-4

Jawab:Akibat clemcn dl yang mualannya dQ, bcsar mcdan lislrik di Padalatl :

disini

1 dQdE = 41tEo7

QdldQ =21ta '

maka

karcna simClri, maka dalam arah sumbu y mcdan lislriknya nol, maka :

27

disini, X 2 2.ilia =r,dlnr =(x +a )lfJ.,

maka di pcrolch

Untuk x » a, maka : E=~Q41t£ -,:oX

2-3. Tentukan besar medan liSLrikdi lilik P pada jarak Xdari kawal bcrmuatan yang sangatpanjang. Disini dianggap jarak x jauh Ichih kecil dibandingkan dengan panjang kawat dan A.adalah mualan per saluan panjang (Gambar 2-5).

dEy

z

Gambar 2-5

Jawab :Elcmen kawat sepanjang dy, mcmpunyaimuatan dQ=A.dy, mcnimbulkan mcdan liSLrikdi Psebesar :

_ 1 Ady

- 41t£()(x2+ /)J/l

Komponcn-komponcn vcklor dE adalah dE. = dE ens a dan dEy = dE sin a.Komponen vcklor mcdan lisLrikEpada sumbu y bcsarnya: Ey = f dE sin e = 0Komponen vcktor mcdan lisLrik E pada sumbu x bcsarnya : E. = f dEcos e = 0

maka: E ~f co;8dy41tEo ,"(2+ /)

disini y =Xlg e alau dy =X sin 2 e da= x2 da/cos 2 a

28

dan X 2 2 2 2 .2r=-alaur =x +y =x /ca; e.ca;e

f"'2

E =~ cel> e de =-~ (<;ine)41t£o x 41tEo

"'2

E=~2m: x. 0

2-4. Suatu bidangbcrmuatanlistriksecarauniform,berbemukbujursangkardengan sisi L,mempunyaimuatanpersatuanluas s. Hilunglahmedanlislrikdi lilik P padajarak Z di ataspusatbidang, di sini Z « L (Gambar2-6).

11/2maka

atau-11/2

x

Gambar 2-6

Jawab:Kita ambil clemen luas dA= Ldy, mempunyaimuatandQ, maka (J=dQ/Ldy alaudQ= (J L dy.Setiap clemen luas dA dapat juga dianggap scbagai mualan garis dcngan muawn per satuanpanjang

29

z"I

+ +

+

+

Seperti dalam contoh 2 -3, karena Z < < L maka,

dE - 1 A. _ 1 0 dy- 21tEori2 + /)1/2.- 2m:o (1.2+ y)I/2.

Karena simetri komponen mendatar medan lislrik saling menghilangkan, maka hanya komponenkearah sumbu Z yang ada,

ZdEz=dE~e =dE .~

(I. + y)I/2.Medan listrik total E besamya

f1./2 y =L/2

E-JdE__oZ dy _ oZ It-1y- Z- 21tEo (22+ /)1/2.- 21tE" (z g T) Iy =-L/2w

Untuk Z < < L, dapat di anggap balas-balas y adalah y =:t LI2 -> :t -di bandingkan dengan Z,maka

E - 0 (1t + 1t)_ 0

-~ 1t~' 2 L-2£~n 0

2- 5. Tentukan medan listrik di amara dua pclal paralel yang luas dan bermuatan listrik.Muatan listrikdalam pclatdi anggapuniformdcngankcrapalanmuatanmasing-masing+ 0 dan- 0, terpisahpad;ljarakd. Jarakd di anggapjauh lebih kedl di bandingkanukuranpclat (Gambar2-7).

30

+

E EI: E; 1= 1 E+(

E+( . ) . )

+ E

E = E++ E_= 0 I: 1

E=E +E ,- IE = E++ E = 0+0

=2(-)

:12Eo

0--

+12Eo

Gambar 2-7

Jawab :

Dalam comoh 2-4. di perolchmcdan lislrikdari bidang bermualanadalah E = i: crf2 EoDi amara dua pelal. bcsar mcdan lislriknya :

CJ CJ CJE=E++E.=-+-=-

2E" 2fn En

Besar mcdan listrik di luar pial bcrmualan :

CJ CJE=E++E_=---=U2E" 2E"

Perlu di ingal bahwa pcrhilungan ini hanya herlakllllnlllkjarak djallh \chih keeil dari pada ukuranpelal. dan lClaknya lidak lcrlalu dekal dcngan pcnnukaan pela!.

2-6. Scbuah clcklron (m =9.] x ]() -31kg) di pcn:cpal dalam mcdan lislrik uniform E (E =2.0 X 104 NfC) di amara dua pelal bcrmllatan scjajar. Jarak antara dua pelal 1,5 em. Elcklron dipercepat dari kcadaan diam dckal pelal bcnnllalan ncgalif dan mcncmbus Icwallobang kccil dipclal posilif. (Gambar 2-8).(a). Bcrapa kcecpalan clcklron .saal mcninggalkan lobang (b).Tunjukkan bahwa gaya gravilasi dapal diabaikan.

e --~I+ I v+++++ Gambar 2-8.

Jawab:

(a). Gaya yang bckcrja pada clcklron bcsarnya :arahnya bcrlawanan dcngan arah EPercepatan yang dipcrolch clcklron besarnya :

F =qE=cE

_ F _ cE _ (1,6x 1O-I'JC)(2,OxlO~NGa------m m 9, I x )(f3Ikg

IS ;= 3,5x 10 m/s

Kecepatan clcktron saal meninggalkan lobang

3]

++

E1+++

2-7. Misal elektron dari eontoh soal n0!!lor 2-6 bergerak dengan keeepatan v0=1,0 X107em/s masuk dalam medan listrik E dalam arah tegak lurns seperti terlihat dalamgambar 2-9. Jelaskan gerak elektron dalam medan listrik tersebut

y

-----

E

Vo

+ + + +1+ + + + + + + + +

Gambar 2-9

Jawab: - ~

Jika elektron masuk medan listrik E pada x=y=O,dengan kecepatan voidalam arahsumbu x. Disini elektron bergcrak dengan lintasan parabola. Pereepatan elektrondalam arab sumbu y :

FeEa =-=--

Y m m

Posisi elektron dalam arah vertikal dinyatakan dengan

1 eEy=-ayt2=--t2

2 2m

Posisi horizontalnya dinyatakan dengan

Karena ax= O. Dengan mengeliminasi t ke dalam kedua persamaan diperolehhubungan

eE 2XY =- 2

2mvo

Persamaan ini menunjukkan lintasan parabola.

2-8. Pada sudut berapa, elektron dalam soal 2-7 akan meninggalkan medan listrik uniformdi ujung pelat sejajar PAnggap panjang pelat 6,0 em dan E= 5,0 x 103N/e

32

Jawab :Di' P, komponen kecepatan elektron dalarn arab sumbu Y :

\ ~ \ I 2eE eE x2 e EXvy =V 2ayY =V ( - ) ( ) =01 2m v 2 01 Vo 0

sedangkan

v" = vo= konstan

maka arab elektronmeninggalkanmedan listrik di P adalah

v e Extga=~=-

v mv2" 0

= (1,6 x 1O-19C)(5,0 x 103N/C) (6,0 x 10"201)

(9,1 x 10-31kg) (1,0 X 101mJs>2= 0,53

atau

a = 280 di bawah horizontal

2-9. Sebuab bola tipis berjari-jari ro' mempunyai muatan total Q terdistribusi keseluruhpennulaan secara uniform. Tentukan medan listrik di titik (a) diluar bola dan (b)di dalarn bola

Gambar 2-10

33

2-10.

Jawab :

Distribusi muatan simetri maka medan listrik juga simetriArah medan listrik radial keluar untuk muatan positif dan ke dalam untuk muatannegatif. Mcdan listrik disini besamya sarna di semua titik dalam pennulaan gauss.Disini pennulaan gauss digambarkan dengan garis patak-patak berjari-jari rArah E tegak lurns dengan pennukaan, maka dengan menggunakan hukum Gauss

- - Qo E, d A = E (41tr2) =-

Eo

atau

1E=-

41tEo

Q(r > rJ

Di dalam bola arah E juga simetri, dan muatan dalam nol, maka hukum Gaussmenjadi

-o E. dA = E (4m2)= 0

atau

E = 0 (r < ro)

Muatan listrik Q, terdistribusi sccara unifonn ke selurnh bagian bola pejal yangmempunyai jari-jari rooTentukan besar medan listrik di (a) dalam bola (r < rJ, dan(b) luar bola(r > rJ. Gambar 2-11.

Gambar 2-11

Jawab :(a). Dibuat bidang Gauss AJ~berupa bidang bola khayal yang jari-jarinya r > ro'

kemudian digunakan H1\..Gauss.

Q

atau

34

E= Q. (r > rJ-.......r

(b) Dibuat bidang Gauss A2 dengan jari-jari r < ro' maka

o E. dA = E (4m2)

dan muatan yang dilingkupi bidang bola A2 adalah :

(3/4 nr3)

(4/3 n03). Q = Q

sehingga HK. Gauss menjadi :

r3E (4nr) =-

r 3o

Q

atau

1 Q-r

r 3o

(r < rJE=.4nrE 0

Dcngan demikian, dalam bola pejal bermuatan, medan listrik bertambah secaralinier dengan r hingga r = ro' Kemudian menurnn dengan 1/[2sepeni digambarkandalam Gambar 2-12.

r

Gambar 2-11

2-11. Suatu kawat lurns sangat panjang, mempunyai muatan per satuan panjang A..

Hitunglah medan listrik di sekitar kawat jauh dari ujung-ujungnya (Gambar 2-13).

Gambar 2-13.

35

Jawab : _Di sini arah medanlistrik E simetri radialke luar. Untuk ini dibual bidan; Ga.U&&~mnQtI oenganjaIi.jari r d:mpmjm~ 1,l{6n~~ntristerhadapkawat.

Dengan menggunakan HK Gauss diperoleh

_ _ Q A.Io E, dA = E(2xrl) = - =-

Eo Eo

atau1 A.

E=-21tE0 r

Bandingkan dengan contoh soal nomor 2-3; dengan HK Gauss persoalan dapatdiselesaikan lebih sederhana.

2-12. Suatu muatan terdistribusi secara uniform dalam permukaan bidang dengan kecepatanmuatan o. Jika permukaan bidang di anggap sangat luas, hitunglah medan listrikdi titik-titik dekat permukaan (Gambar 2-14)

Gambar 2-14.

Jawab:

Kita buat permukaan Gauss, bernpa permukaan sHindertenutup .!ecil, sumbu sHindertegak lurns bidang. Karena simetri, maka arah medan listrik E tegak lurns keduapermukaan bidang HK Gauss menjadi :

Q oAo E. dA =2 EA = -=-Eo Eo

atau

E=~2Eo

36

2-13. Hitunglah bcsar medan listrik, tepat diluar suatu permukaan konduktor yang baik

Gambar 2-15

Jawab :Sepeni dalam soal 2-12, kita buat bidang Gauss. Disini diambil tinggi sHindersedemikian keeilnya sehingga permukaan atasnya tepat diatas konduktor danpermukaan lainnya berada dibawah konduktor (Gamabr 2-15)Karena medan listrik di dalam konduktor adalah nol, maka HK Gauss menjadi

_ _ Q crA0E.dA=EA=-=-

Eo Eo

atau

E=~

Ini berlaku pada setiap permukaankonduktor.

2-14. Dalam susunan salib sumbu sepeni ditunjukan Gambar 2-16, g::60J,tedan x=50em, y=60 em,z=80 em. Tentukan besar dan arah medan listrik E di titik P

Jawab :Besar medan listrik E adalah :

1 q 1 qE=--=-

47tEo r2 47tEo x2 + y2 + Z2

(60 x 1O-6C)

= (9 x 109 N.m2/C) (O,5m)2 + (0,6m)2 + (0,8)2= 4,32 x IOs N/C

37

zE

y/

/I /

I / XI /

I //

- - y

x

Gambar 2-16

Arah medan listrik E terhadap sumbu x,y dan z dinyatakan dengan:

x 0,50Cos a =- = =0,4472

r VI,25

y 0,60 =0,5367Cos ~=~ = VTJ3

0 80z , _ = 0,7155

Cos a = ---;- = \f1I5

2-15. Mengulangi soal 2-14, hitunglah medan listrik E di titik yang di tempatirnuatan q, jika gaya total yang bekerja pada muatan q = 8 X 1O-6C adalah: F =3,36 i + 8,46 J + 0,66'k N

Jawab :_ F

Medan listrik E = - =q

,. I' ~3,36 i + 8,46 j + 0,66 k N

A ,.., ""= 0,42 i + 1,06 j + 0,082 k MN/C

38

2-16. Di titik P(x,y,z) Gambar 2-17, bekerja medan listrik:

" ,.. "E) =-7i - 6j + 8k

- " ,.. "E2 = 6i + 3j +' 7k

- ,..A"E3= 3i - 4j - 6k

diakibatkan oleh muatan listrik yang tidak dig~barkan.(a) Hitung besar dan arah medan listrik total E di P(b) Hitung gaya pada muatan q = 5 X 1O-9C,yang ditempatkan di titik P:

z

P(x,y,z)

y

Gambar 2-17

Jawab :

(a) Dalam gambar terlihat:- - - -Elota.= E) + E2+ E3" ,... ,...

= 2i - 7j + 9k N/CBesar medan listrik E 1

=loLaE = V (2)2 + (_7)2+ (9)2lotal

= 11,576

Arah medan listrik total ElOla1terhadapsumbu x,y dan z :Cos a = x = 2 =0,1728 Cos ~= y =0,6047 Cos a =0,7775

r 11,576 r(b). Gaya pada muatan q di P adalah:- - ,... "" '"

F = E .= (5 x 1O-9C)(2i - 7J' + 9k N/C)lola

= (Hfi - 35j + 45k) x 1O-9N

39

2-17. Sebuah taU beban konduktor yang sangat panjang ab, dimuati secara uniformdengan muatan + A.C/m. Tali ab membentang sepanjang sumbu x (Gambar2-18)Hitung besar dan arah medan listrik pada muatan q, pada posisi sepeni dalamgambar 2-18

<IF IY

+ +1~ + + +dq= dx

a------_ + +b

x xo

Gambar 2-18

Jawab :Karena simetri, maka resultangaya F hanya pada arah sumbu y saja. dinyatakandengan

q (Adx)dF =

yCose =

qA.=

Medan listrik di q besamya :

FE= =

q 21tEoYo

40

maka

q A.Yo - dx qA. xF = Fy = J = ( )

41tE0 rz - - (x2 + Yo2)3!l 41t EoYo (x2 + Yo2)lfl--

2-18. Dua buah tali bukan konduktor yang sangat panjang, membentang sepanjang sumbux dan y seperti ditunjukan gambar 2-19. Kedua buah tali di muati dengan muatan

masing-masing Ax dan Ay. Hitung besar dan arah medan listrik di titik P, jikax = 3m, y = 4m, Ax= 5J.LC/mdan Ay= 8J.LC/m

Jawab :

Dengan menggunakan hasil soal no 2-17 di perolehA 2A 1 2 (8 X 10-6C)y Y

=-(-)=X 41tE 0 3m

E=x

= 4,8 x 1()4N/C = 48 kV/m

2A 1 2 (5 x lQ-6C)E = x ( ) = ( 9 X 109N.m2/C)

y y 41tEo 4m

= 2,25 x 1()4N/C =22,5 kV/m

Sehingga medan listrik di P :E = (E 2 + E 2) 112 = 5 30 x 1()4NC

x y ,Arahnya

Sin e =E

y = 0,4245E

ataue = 25,120

41

y -

r:y r - - - - J; EIIIII

- - -- 1/ ,PI Ex

III

+ + + +1 -+ + + + + +

°1x

Gambar 2-19

2-19. Dua buah bola keeil, mempunyai muatan +q dan -q, terdistribusi seeara uniform.Ke dua bola di hubungkan dengan batang tipis bukan konduktor mempunyaipanjangI, sehingga membentuk dipole listrik. Dipole listrik ini berada dalam medan listrikuniform E, searah sumbu x dan dipole berada dalam bidang xy (Gambar 2-19).Jika diberikan q=4J.lC,E=5xIOSN/C dan 1=20 em, hitunglah medan dipole listrikp dan momen gaya (torsi) 't

y

p =ql

F=qE .

x

..

Gambar 2-19

Jawab :

Medan yang menimbulkan suatu torsi pada dipole listrik. dinyatakan dengan:

I _ 1- _t = - x qE + (- - ) x ( -qE ) = ql x E =P x E

2 2

Vektor dipole p adalah- '"

p =ql = (4 x lOo6C)(20 x 1O-2m)(i Cos 8 + j Sin 8)""'\ /'

= (0.80 x 10-6) (i Cos 8 + j Sin 8) Cm

maka momen gaya atau torsi:- A ......

t =P x E = (0.80 X 10-6)G Cos 8 + j Sin 8) x (5 x 1()5N/C)i"

= (0,40 Sin 8) (-k) N-m

42

2-20. Dua buah bola keeil dihubungkan satu sama lain dengan batang tipis bukankonduktor, dimuati dengan muatan masing-masing +q2dan -q). Muatan ketiga +q,ditempatkan pada pusat sumbu (Gambar 2-20).Hitunglah gaya netto pada sistem tersebut.Diketahui:

q)=40j.LCq2=50j.LCq =60j.LCx)=2mx2=3,5m

y

/'-" -q I- I

FI II YII

Y2

+q x

Gambar 2-20

Jawab:Disini hanya medan listrik akibat +q saja yang perlu diperhitungkan. Besar medanlistrik di (x),y) dan (x2,y2):

/' r-x) i + y) j " "

= (3,291 i + 4,114 j) x 1()4N/C(X)2 + y 12)312

r.- /:-.q x2 1 + Y2J " /'

E) = - = (1,259 i + 1,438 j) x 1()4N/C41tEo (x/ + y/)312

Gaya-gaya yang bekeIja:

F) = -q)E) = -1,316i - 1,6461 N

F2 = +q2E2 = 0,6921 + 0,719] N

Gaya total:

qE=-

) 41tE 0

- - A;"o.

F = F) + F2 = -0,687 i - 0,927j

43

2-21. Dalarn gambar 2-21, sebuah bola keeil bermuatan +Q ditempatkan pada pusat bolametal berongga yang besar. Hitunglah dengan HK Gauss medan listrik E di titikPI dalarn rongga, di titik Pzdalarn bola metal dan di titik P3 di luar bola.

Gambar 2-21Jawab :

Permukaan rongga bagian dalarn bola bermuatan -Q dan permukaan luar bolabermuatan +Q.

Permukaan Gauss yang berjari-jari rlmelingkupi muatan +Q, maka:

- Q

0EI, ds = 41trlz EI =-Eo

atau

QE =

I

Dengan eara yang sarna,

Q

44

2-22. Dalam garnbar 2-22 adalah pandangan atas dari dua buah sHinder panjang yangkonsentris dan masing-masing berjari-jari a dan b. SHinder dalam berrnuatan -A

dan sHinder luar berrnuatan +A persatuan panjang suatu partikel berrnuatan q danmassanya m berputar pada lingkaran dengan jari-jari r pada ruang di antara duabuah sHinder. Hitung kecepatan partikel dinyatakan dengan besaran-besaran yangada.

Gambar 2-22

Jawab:Buat perrnukaan Gauss berupa sHinder dengan jari-jari r,

21t E 0 r

Tanda minus artinya arah medan E, radial ke dalam. Gaya yang diterima partilel:

y2F = qE =m -

r

atau

A y2q. = m -

21t Eo r r

Sehingga kecepatan partikel

V qAy=

21t Eo r

45

-Alo E.dS = =E (2ml )Eo

.atau

I AE=

2-23. Sebuah cakram tipis yang berjari-jari a dimuati merata dan mempunyai muatanpersatuan luas 0. Carilah kuatmedanlistrik padasumbucakramdanberjarakrdari pusat cakram tersebut.

<Ix

Gambar 2-23

Jawab:

p2 = r2 + x2dA =21tx dx

dq = crdA

1 dqdE=--cos e

41tEo p2

cos e = rip = r I (fl + .X2)l12

maka

1 cr 21t XdxdE=-

41tE0 (r2 + x2)

cr r x dxdE=-

2E 0 (fl + X2)312

r

t xdxx=O (fl + X2)312

46

crr=--{

2EO

crr 1 1 crE=--{-- }=-{1-

2E ° r (r2 + a2)11l 2E °

2-24. Sebuah dipol listrik yang terdiri-dari dua muatan berlawanan yang besamyaq = 2,0 xlO-6Cterpisah oleh jarak d=I,Scm. Dipollistrik tersebut ditaruh dalamsuatu medan listrik luar yang besamya adalah 3,Sx106N/C. Ditanyakan :a) Berapa torsi terbesar yang dilakukan oleh medan listrik pada dipol tersebut?b) Bila referensi orientasinya Go=a>,maka berapa usaha yang harus dilakukan olehmedan terhadap dipol agar dipol berputar 4So.

Jawab:

a) A. =p x E

Besamya torsi A. =p E sin GA. =P E sin 90° = q d E

max

= (2,0 X 10-6C) (1,S x 1O-2m)(3,S x 1()6N/C)

A. = 1,5 X 10-1N . mmax

b) W = U450 - Uoo

= -(pE cos 4S0) - (-pE cos 0°)

mempunyai arah yang sarna, maka tak dapat saling meniadakan. Apabila dile-takkan di sebelah kanan titik C, gaya tarik oleh muatan -SJ.lCakan selalu lebihbesar dari pada gaya tolak oleh muatan +3J.lC.Karena itu mustahil-lah gaya resul-tan q akan nol, bila diletakkan di daerah ini. Hanya apabila diletakkan daerah disebelah kiri titik B akan terjadi bahwa kedua gaya itu saling meniadakan. DapatkahAnda tunjukkan bahwa ini benar juga pada q bertanda negatif?

Dengan q diletakkan seperti pada gambar dimana gaya resultan adalah nol,berlahi F3=F5'maka (dengan jarak diukur dalam meter) kita peroleh

47

crr t d(rl + X2)--4EO X=o (r2 + X2)31l

crr 1 1 a--- I

4Eo (-112) (r2 + X2)11lx=O

q (3 x to-6C) q (5 'x to-6C)k =k

(0,4 + d)2

k, q dan faktor 1Q-6C dapat dieoret di kedua ruas. Kita peroleh

5d 2 = 3(0,4 +d )2 or d 2 - 1,2d - 0,24

seterusnya: + V'fi'2_ 4ac-b _1,2:t V 1,44 + 0,96 = 0,6 :t 0,775 m

- 2d=

2a

Diperoleh d1= 1,375 m; dan d2= -0,175 m. Yang tepat adalah d1; sedangkand2 tidak memenuhi syarat, karena menghasilkan titik dalam selang BC, dimanakedua gaya itu memang sarna besar narnun tidak saling meniadakan karena searah.

2.25 Hitung(a) intensitas medan listrik E di suatu titik pada,jarak 30 em dari muatantitik ql = 5 X 10-9C dalam udara (b) gaya pada muatan q2= 4 X 10-10C yangdiletakan pada jarak 30 em dari ql; dan (c) gaya pada muatan q3 = -4 X lO-lOC

terlctak pada jarak 30 em dari ql. (tetapi q2 sudah ditiadakan)

Jawab :

ql 5 X to-9 C(a) E = k - = (9 x to 9 N.m2/C) = 500 N/C

r 2 (0,3 m)2menjauhi muatan ql

(b) F = Eq2= (500 N/C)(4 x to-lOC)= 2 x 10-7N

menjauhi muatan ql

(e) F = E q3 = (500 N/C)(-4 x to-IOC) = -2 X 10-7 N

menuju muatan ql

2-26. Perhatikan gambar 2-24 dan tentukanlah (a) intensitas medan E di titik P; (b) gayapada muatan -4 x 10-8 C di titik P;(e) di mana intensitas medan adalah nol?

San P. )C.

+20x IOJICScm .

-s' X 10-1C

Gambar 2-24

48

Jawab:(a) Muatan uji positif di titik P akan dtiolak ke arah lanan oleh muatan positif itu

dan ditarik juga ke kanan oleh muatan yang negatif. 'Karena E, dan E2searah,maka akan dijumlahkan seeara aljabar untuk mendapatkan kuat medan resultan:

Iq,1 Iq21 k

E = E, + E2 = k - + k - = - (lq,1 + Iq21)r2 r2 r2, 2'

denganr, = r2 = 0,05 m dan q, serta q2 adalah harga mutlak q, dan q2'Maka

9 X 109

E = (25 X 10-8) =9 x lOSN/C(0,05)2

arah ke kanan

(b) Muatan qdi titik P menderita gaya Eq, hingga

F =Eq =(9 xlOSN/C)(-4 x 10-8C) = -0,036 N

Tanda minus berarti bahwa arah F adalah ke kiri , Ini tepat, karena medanlistrik adalah gaya pada muatan positif. Gaya pada muatan negatif arahnyaberlawanan dengan arab E .

(e) Dengan penalaran seperti pada soal 24-8 dapat disimpulkan bahwa medanadalah nol di suatu titikdi sebelah kanan muatan -5 x l0-8C, Kalau jarak darimuatan -5 x 10-8C ke titik tersebut adalah d v maka di titik itu E,- E2 = °karena medan yang ditimbulkan muatan positif berarah ke kanan, sedangakanmedan disebabkan muatan yang negatif berarah ke kiri. Hingga

Iq,1 Iq21 20 x 10-8k ( - - - ) = (9 x 109) [

r/ r/ (d + 0,1)2

5 X 10-5

] = °

atau3d 2 - 0,2 d - 0.01 = °

yang menghasilkand, = 0,10 m dan d2= 0,03 m

yang terpakai adalah yang memiliki tanda positif, maka d =0,10 m; titik yangterletak 10 em sebelahkanan muatan yang negatif.

49

2-27. Gambar 2-25 menunjukan dua keping logam dalain vakum yang diberi muatan.Jarakantaraduakeping15 em,danmedanlistrik antarakeduakepingbersifathomogen sebesar E =3000 N/C. Sebuah elektron (q =-e, m =9, I x 1O-31kg)dilepastanpa kecepatan awal di titik P tepat di luar keping yang bermuatan negatif. (a)Berapa waktu elektron mencapai keping yang bermuatan positif! (b) Berakah lajuelektron sesaat sebelum mencapai keping itu?

+

+

+

+

+

+.1_ 15cm -I

Gambar 2-25

Jawab :

Garis gaya listrik menggambarkan arah gaya pada muatan positif (muatan positifakan ditolak keping positif sedangkan ditarik keping negatif). Elektron, sebagaipartikel bermuatan negatif, mengalami gaya dalam arah berlawanan, hingga berarahkekiri. Besar gaya itu ialah:

E = Iq I E = (1,6 x 1O-19C)(3000N/C) =4,8 x 1O-16N

Karena gaya ini, elektronmengalamipercepatanke kiri sebesar:

F 4,8 x 10-16 Na=-=

m 9,1 X 10-31kg = 5,3 X 1014m/s2

Pada gerak elektron ini berlaku ketentuan :

x = 0,15 m a =5,3 x 1014m/s2

(a) Maka x =vol + 1/2 at2menghasilkan

t=~= a

(2)(0,15 m)= a = 2,4 x 10-8S

5,3 X 1014m/s2

(b) v = Vo + at = 0 + (5,3 x 1014m/s2)(2,4 x 1O-8s)= 1,30 x 107 m/'

50

E =3000 N/C_._--

.

---------A P

.

.

Dalam bab 43 nanti akan kita lihat bahwa efek-efek relativitas mulai terasa

pada keeepatan di atas keeepatan 1,30 x 107m/s ini. Karena itu, eara menghitungkeeepatan partikel harns dimodifikasi bila diterapkan pada partikel yangberkecepatan sangat tinggi.

Misalkan dalam situasi seperti tampak gambar 24-5, elektron ditembakanvertikal ke atas dari titik P dengan keeepatan 5 x 1O6m/s. Pada jarak berapaterhitung dari titik A, elektron akan mengenai keping positif?

Persoalan ini ialah persoalan gerak peluru, dan karena gaya gravitasi jauhlebih keeil daripada gaya listrik, kita akan mengabaikan. Satu-satunya gay yangbekeIja pada elektron setelah ditembakan ialah gaya listrik, yang berarah horizontal.Pada soal 24-11 telah ditemukan bahwa waktu yang diperlukan elektron agarmeneapai keping positif (dinamai'time of flight') ialah 2,4 x 10 -8S.Dalam waktuini jarak vertikal yang ditempuh elektron ialah (5 x 10 6 m/s)(2,4 x lO-8s)=0,12 m.Jadi elektron mengenai keping positif pada titik 12 em di atas. titik A.

SOAL-SOAL TAM BAHAN

2-28. Tentukan besar dan arah gaya pada muatan 6J.lCdalam gambar 2-2

z

0--~'I I

I

:52 emI

I ~ I 'I , JOan I '

- -45';;'- - ..Y I /55 emI /

- - - - - - 65~- - - - - - ~/

y

II185cmII

Gambar 2-26 Gambar 2-27

51

2-29. Suatu dipol listrik, dengan muatan momen dipol p: dalarn medan listrik serbasarna. Arab momen dipol Ii terhadap sumbu x, y dan z sebagai

cos <X=0,462 cos B = -0,580 cos a =0,671

dan komponen-komponen medan listrik E adalah:

Ex = 40 kV/m E = 45 kV/my

Dengan menggunakan hubungan vektor, hitunglah (a) torsi pada dipol, (b) energipotensial dipol relatif terhadap simetri tegak lurns pad a E. (Gambar 2-27)

y

Q

x

..........

d

Gamba, 2-28

2-30. ~ua buah cincin bermuatan C) dan Cz, sejajar dan coaxial dalam sumbu x (garnbar2-28). Titik P berada diantara kedua cincin dalarn sumbu x, (a) tentukan medanlistrik di cr akibat muatan C) ;(b) dengan earn-yang sarna, hitunglah medan listrikakibat Cz;(c) hitung medan listrik resultannyao (d) Jika q) =8J.lC,,) = 0,5 m, qz =4J.lC"z= 0.3 m, dan d= 1,5 mm, buktikan bahwa resultan medan listrik pada x =0,85 m dalarn sumbu x adalah no1.

2-31. Sebuah sHinder pejal dan panjang, mempunyai muatan yang uniform dengankerapatan T = 5J.lCfm3.Jika jari-jari silinder,R = 200 mm, titik p) di dalarn sHinderpada posisi ,) =150 mm dan Pz di luar sHinder pada 'z = 300 mm, hitunglahmedan listrik di titik p) dan Pzo

52

2-30. Sebatang tongkat isolator yang panjangnya I dimuati seeara merata oleh muatansebesar Q. Carilah kuat medan listrik di titik P yang beIjarak y terhadap tongkatitu dan terletak pada garis bisektor, yaitu garis yang melalui titik tengah tongkatitu dan tegak lurns padanya. Untuk 1 yang panjang sekali berapa besar kuat medan

2-33. Sebatang tongkat isolator yang panjangnya semi tak terhingga mempunyai muatanpersatuan panjang A.yang konstan. Tunjukkan bahwa kuat medan listrik di ti.tikPseperti yang ditunjukan pada gambar dibawah ini membuat sudut 45° terhadapbatang tadi (Gambar 2-29)

I I- .Idx I_x_ CD.

------------

r

x

E I y

Gambar 2-29

2-34. Muatan +61tC di suatu tempat mengalami gaya 2 x 10-3N dalam arah sumbu xpositif. (a) Berapakah kuat medan listrik di tempat itu, sebelum muatan +/= Cdiletakan ditempat tersebut? (b) Bagaimana kalau muatan sebesar -21lC yangdipakai?

2-35. Muatan titik sebesar -3 x 10-5C diletakkan pada x = O. Tentukan E di titikx=5m

2-36. Pada keempat sudut bujur sangkar (sisi 20 em) diletakkan empat buah muatanyang sarna (4IlC). Tentukan kuat medan listrik di pusat bujur sangkar: (a) jikakeempat muatan itu positif, (b) jika tanda muatan berselang-seling (positif dannegatit) apabila kita berkeliling bujur sangkar itu. (e) jika tanda muatan adalahsebagai berikut: plus - plus - minus - minus.

53

2-37. Hitung pereepatan yang dialami sebuah poton (q =+e;m = 1,67 x 10-27kg) dalamruang di mana kuat medannya 500 N/C. Tentukan perbandingan pereepatan inidengan percepatan gravitasi.

2-38. Bola keeil, 0,60 g diberi muatan 81lC,dan menggantung diujung benang. Muatanini ditempatkan dalam medan listrik yang arahnya ke bawah sebesar 300 N/C.Berapakah tegangan dalam tali, kalau (a) muatan bola itu positif? (b) negatif?

2-39. Bola yang dimaksud pada soal 2-38 sekarang dimasukan dalam ruang di manaterdapat medan listrik dengan arah horisontal sebesar 700 N/C. Bola berada dalamkeadaan seimbang pada posisi yang ditunjukan gamoar 2-30. Berapa besar dantanda muatan bola?

E = 700 N/C..

..

..

..

Gambar 2-30

2-40. Sebuah elektron (q = e ;m =9,1 x 10-31kg) ditembakkan sejajar medan listrik yangberarah dalam arah sumbu x. Keeepatan awal elektron 3 x 106m/s dan temyatasetelah menempuh jarak 45 em dalam medan, elektron berhenti. Tentukan besarmedan hstrik itu.

2-41. Dalam ruang di mana terdapat medan listrik E berarah ke bawah, ditembakanpartikel (massa m1muatan -e) dalam arah horisontal dengan keeepatan v. Tentukan:(a) komponen pereepatan ax (horisontal) dan ay (vertikal); (b) komponenperpindahan x (horisontal) dan y (vertikal) setelah t. (c) persamaan lintasannya.

2-42. Suatu benda keeil yang membawa suatu muatan -5 x 10-9eoul mengalami suatugaya ke bawah sebesar 20 x 10-9n apabila ditaruh dalam suatu titik tertentu dalamsuatu medan listrik. (a) Berapakah intensitas listrik pada titik itu? (b) Berapakahbesar dan arah gaya yang bekerja pada partikel a yang ditempatkan pada titik itu?

2-43. Berapakah seharusnya muatan pada suatu partikel yang massanya 2 gm untukmembmit dia stationer di ruangan apabila di tempatkan dalam suatu medan listrikyang mengarah ke bawah yang intensitasnya 500 r/eoul?

54

fO

~~_ _ __~_ ~~m__ __ _5_4 em-.I 12 em

Gambar 2-31

2-44. Dalam gambar25-18, sebuahelektrondiproyeksikansepanjangsumbudi tengah-tengah antara papan-papan suatu tabung sinar katoda dengan suatu kecepatan awal2 x107m/det.Medanlistrikyangseragamantarapapan-papanmempunyaiintensitas20,000 n/coul dan arahnya keatas. (a) Berapakah jauh dibawah sumbu elektron itubergerak apabila dia mencapai ujung papan-papan? (b) Dengan sudut berapakahdengan sumbu dia bergerak ketika dia meninggalkan papan-papan? (c) Berapakahjauh dibawah sumbu dia akan mencapai lajar flouresen S ?

2-45. Dalam sistem koordinat tegak lurns sebuah muatan 25 x 10-9coul ditempatkanpada pusat koordinat,dan sebuahmuatan-25 xlO-9cow ditempatkanpada titik x=6 m, y = O. Berapakah intensitas listrik pada (a) x = 3 m, y = 4 m? 25-5. Suatumuatan 16 x 1O-9coultetap pada pusat koordinat, suatu muatan kedua yang besamyatak diketahuipada x =3 m, y = 0, dan sebuahmuatanketigabesamya 12 x 1O-9coulpada x = 6 m, y = O. Berapakah besarnya muatan yang tak diketahui itu jikaperpaduan muatan pada x = 8 m, y = 0 ialah 20.25 n/coul kearah kanan.

2-46. Berapakah banyaknya kelebihan elektron hams ditambahkan pada s\!atu penghantarberbentuk bola yang diisolasikan yang garis tengahnya 10 em untuk menghasilkansuatu medan tepat diluar permukaan yang intensitasnya ialah 1,3 x 10-3 n/coul?

2-47. Papan-papan dalam tabung sinar katoda dari soal3 mempunyai lebar 3 cm.Berapakahjumlahgaris-garis gaya antara ke dua papan itu. Abaikanlah efek-efek ujung.

2-48. Sebuah penghantar yang berbentuk bola yang bermuatan merata garis tengahnya0,4 m mempunyaikepadatanmuatan permukaan8 ~coul/m2.Berapakahjumlah.garis-garis gaya yang meninggalkan permukaan bola itu?

Gambar 2-32

55

2-49. Kepadatan muatan pada pennukaan suatu bola penghantar ialah 8.85 x 10-7coullmZ,dan intensitas listrik 2 m dari pennukaan bola ialah 3,6 x 1()4n/coul. Tentukanlahjari-jari bola itu?

-2-50. Sebuah kawat lurns yang panjang tak.terhingga mempunyai muatan positif yang

merata A. per satuan panjang (a) Berapakah medan dq pada elemen yang panjangnyadx dalarn gambar 2-32? (b) Berapakah intensitas listrik dE yang ditimbulkan padatitik P oleh muatan ini? (c) Buktikan dengan integrasi bahwa besamya perpaduanintensitas listrik pada titik P ialah

E = 'A/l:1teor.

(d) Turunkan hasil bagian (c) dengan menggunakan hukum Gauss. Ambilahsebagai pennukaan Gauss suatu sHinder yang koaxial dengan kawat, panjang I danjari-jari r.

2-51. Buktikanlah bahwa medan listrik diluar penghantar berbentuk sHinder yangpanjangnya tak terhingga dengan muatan pennukaan yang merata adalah sarna,seolah-olah semua muatan ada pada sumbu. Misalkan R menyatakan jari-jari sHinderdan ambilah sebagai pennukaan Gauss suatu silinder koaxial dengan jari-jari rdimana r >R

2-52. Suatu kabel koaxial terdiri atas penghantar sebelah dalarn berbentuk silinderdengan jari-jari Rl dan sHinder koaxial sebelah luar dengan jari-jari dalam sarnadengan Rz. SHinder sebelah dalarn mempunyai muatan positif yang merata A. persatuan panjang dan silinder sebelah luar mempunyai muatan negatif yang sarna.Dengan memakai hukum Gauss, hitunglah intensitas listrik (a) pada setiap titikantara dua sHinder itu dan (b) pada setiap titik sebelah luar. Umparnakan kabel itupanjang tak terhingga.

2-53. Suatubintikminyakdenganmassa3 x 10-11gm danjari-jari 2 x 10-4em membawa10 kelebihan elektron. Berapakah kecepatan akhir (a) apabila jatuh dalarn suatu

.daerah dimana tak ada medan listrik yang intensitasnya 3 x 105n/coul yangmengarah ke bawah? Viskositas udara ialah 180. x 10-7n.detikjmz. Abaikanlahgaya keatas (bouyancy) dari udara.

2-54.SebuahbolakecHyangmassanya0.1 gmmembawasuatumuatan3 x lO-lOcouldanmenempel pada satu ujung benang sutera yang panjangnya 5 em. Ujung lain daribenang itu menyangkut pada papan penghantar venikal yang luas yang mempunyaimuatan pennukaan 25 x 1O-6couVm3.Carilah sudut yang dibuat oleh benang dengangaris vertikal.

56

2-55. Sebuah cincin jari-jarinya 10 cm mempunyai muatan positif q sarna dengan5 x 10-9coui. (a) Hitunglah intensitas listrik pada titik-titik pada sumbu cindn,pada jarak-jarak dari pusatnya 0,5, 8, 10 dan 15 cm. Tunjukanlah hasilnya dalarngrafik. (b) Dengan menggunakan jari-jari R dari dncin,. pada jarak axial berapadari pusa! cincin yang bermuatan itu intensitasnya maksimum? Bandingkanlahdengan grafik dalam bagian (a).

y

d

-q I-HI b

'-1-1- r -I

x

Gambar 2-33

2-56. Suatu "electric doublet" atau "electric dipole" terdiri atas sepasang muatan listrikyang sarna besamya dan berlawanan tandanya, seperti dalarn garnbar 2-33. (a)Buktikanlah bahwa intensitas listrik yang ditimbulkan oleh doublet pada titik aparalel dengan sumbu x dan

1 qlE=-

41tEo r 3

kira-kira, apabila r »l. (b) Buktikanlah bahwa intensitas listrik pada b jugaparalel dengan sumbu x dan kira-kira

I 2qlE=-

41tEo r 3

apabila r >> = l.

2-57. Misalkan bahwa muatan positif dibagikan merata pada suatu volume berbentukbola dengan jari-jari R,muatan per satuan volume ialah p .(a) Gunakanlah hukumGauss untuk membuktikan bahwa intensitas listrik di dalarn bola itu, pada jarak rdari pusat ialah

prE=-

3Eo

(b) Berapakah intensitas listrik pada titik diluar bola pada jarak rdari pusat? (c)Bandingkanlah jawaban-jawaban (a) dan (b) apabila r = R.

57