program linear - · pdf filesuatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, termasuk...

1 |Husein Tampomas, Soal-soal Latihan Program Linear, 2016

PROGRAM LINEAR

Intisari Teori

A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV)

Suatu pernyataan yang berbentuk 0 cbyax (tanda ketidaksamaan “ “ dapat diganti dengan

“ “, “ > ”, atau “ < “) dengan a dan b tidak semuanya nol dinamakan pertidaksamaan linear dua

variabel PtLDV)

Grafik PtLDV adalah himpunan semua titik yx, pada sistem koordinat Cartesius yang

memenuhi PtLDV itu. Grafik ini biasanya digambarkan sebagai suatu daerah yang diarsir pada

sistem koordinat Cartesius yang dinamakan daerah himpunan penyelesaian.

1. Menentukan Persamaan Garis

a. Persamaan Segmen Garis

Persamaan garis yang melalui titik-titik 0,a dan b,0

adalah 1b

y

a

xatau abaybx .

b. Persamaan garis yang melalui titik 11 , yx dan gradien m adalah 11 xxmyy .

c. Persamaan garis yang melalui titik 11 , yx dan 22 , yx adalah 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

atau

1

12

121 xx

xx

yyyy

, dengan 21 xx

2. Menentukan Persamaan Garis

Untuk menggambarkan grafik atau daerah himpunan penyelesaian PtLDV berbentuk

abaybx (tanda ketidaksamaan “ “ dapat diganti dengan “ “, “ > ”, atau “ < “)

ditempuh tahapan sebagai berikut.

1. Gambarkanlah garis abaybx dengan dua strategi.

a. Jika koordinat titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat mudah diukur (mudah

digambarkan), maka tentukan koordinat titik potongnya itu.

- Grafik abaybx memotong sumbu-x, jika 0y , maka

ababx 0 ax

Koodinat titik potong grafik itu dengan sumbu-x adalah 0,a .

- Grafik abaybx memotong sumbu-y, jika 0x , maka

abayb 0 by

Koodinat titik potong grafik itu dengan sumbu-y adalah b,0 .

b. Jika koordinat titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat sukar diukur (sukar

digambarkan), maka pilihlah dua titik yang terletak pada garis abaybx

sedemikian, sehingga kedua koordinat titik ini mudah digambarkan pada bidang

koordinat Cartesius.

x

y

O a

b abaybx


Gambarkanlah kedua titik itu pada bidang Cartesius kemudian tariklah garis lurus

yang menghubungkan kedua titik itu, sehingga garis abaybx terlukis.

2. Metode Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian PtLDV

a. Metode Substitusi

Substitusikan titik 11 , yx yang tidak terletak pada garis abaybx ,

1. Jika 011 abaybx , daerah yang memuat titik 11 , yx adalah himpunan

penyelesaiannya.

2. Jika 011 abaybx , daerah yang memuat titik 11 , yx adalah bukan

himpunan penyelesaiannya.

b. Metode Melihat Koefisien y

1. Jika 0a , maka abaybx (perhatikan tanda ketidaksamaan “ “), maka

himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas garis abaybx .


himpunan penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis abaybx .


himpunan penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis abaybx .


himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas garis abaybx .

5. Arsirlah daerah himpunan penyelesaiannya.

Catatan:

Bilamana garis abaybx sebagai garis batas tidak termasuk pada daerah himpunan

penyelesaiannya, maka garis ini digambarkan terputus-putus. Tetapi bilamana garis

abaybx sebagai garis batas termasuk pada daerah himpunan penyelesaiannya, maka

garis ini digambarkan sebagai garis penuh (tidak terputus-putus).

x

y

O a

b

abaybx

x

y

O a

b abaybx

x

y

O a

b

abaybx

x

y

O a

b abaybx


Contoh:

Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 42 yx .

Solusi:

42 yx Persamaan garisnya: 42 yx

0y 402 x 4x 0,4

0x 420 y 2y 2,0

Koordinat titik potong garis 42 yx dengan sumbu-x dan

sumbu-y masing-masing adalah (4,0) dan (0,2).

Karena koefisien y dari 42 yx adalah positif, maka daerah

himpunan penyelesaian dari PtLDV 42 yx adalah daerah

di bawah garis 42 yx .

B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV)

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) adalah suatu sistem yang komponen-

komponennya sejumlah berhingga pertidaksamaan linear dua variabel. Grafik atau daerah

himpunan penyelesaian dari SPtLDV adalah daerah di bidang datar yang merupakan irisan

dari semua komponen-komponennya. Sebagai ilustrasi dari SPtLDV:

0

0

42

4

y

x

yx

yx

C. MODEL MATEMATIKA

Untuk menentukan solusi dari suatu masalah sehari-hari yang memerlukan penerapan

matematika, langkah pertama adalah menyusun model matematika dari masalah itu. Data

yang terdapat dalam soal itu diterjemahkan ke dalam satu atau beberapa persamaan atau

pertidaksamaan. Kemudian solusi dari persamaan atau pertidaksamaan itu digunakan untuk

memecahkan masalah itu. Penerapan sistem pertidaksamaan linear (SPtLDV) kelak sering

Anda gunakan dalam menentukan solusi dari suatu masalah. Sebagai ilustrasi:

“Afifah ingin membuat dua jenis roti, jenis roti I dan jenis roti II. Jenis roti I membutuhkan

150 g tepung dan 50 g mentega. Jenis roti II membutuhkan 75 g tepung dan 75 g mentega.

Persedian tepung hanya sebanyak 2,25 kg dan mentega hanya sebanyak 1,5 kg. Dengan

persediaan tepung dan mentega yang terbatas, Dinda ingin membuat roti sebanyak mungkin

dan memperoleh keuntungan seoptimal mungkin”

Untuk menentukan solusi dari masalah tersebut dengan matematika, pertama kita terjemahkan

soal itu ke dalam bahasa matematika. Hal ini dinamakan merancang atau membuat model

matematika.

Model Matematika:

Data dari soal itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

Bahan Jenis roti I Jenis Roti II Persediaan (g)

Tepung (g) 150 75 2.250

Mentega (g) 50 75 1.500

x

y

O 4

2 42 yx


Misalnya jenis roti I dan II masing-masing dibuat sebanyak x buah dan y buah.

Tersedia 2,25 kg tepung, maka tepung yang dibutuhkan sebanyak yx 75150 g tak dapat

melebihi tepung yang tersedia, yaitu 2,25 kg atau 2.250 g, sehingga diperoleh hubungan

250.275150 yx

302 yx .… (1)

Tersedia mentega 1,5 kg, maka mentega yang dibutuhkan sebanyak yx 7550 g tak dapat

melebihi mentega yang tersedia, yaitu 1,5 kg atau 1.500 g, sehingga diperoleh hubungan

500.17550 yx

6032 yx .... (2)

Karena x dan y bilangan bulat yang tidak negatif, maka

0x …. (3)

0y .… (4)

Mudah dipahami bahwa dalam kasus ini, tujuan Afifah sebenarnya adalah memperoleh laba

atau keuntungan seoptimal mungkin, dengan kondisi bahan tepung dan mentega yang

terbatas. Untuk tujuan ini dibuat suatu fungsi yang dinamakan fungsi tujuan. Dalam kasus ini,

fungsi tujuannya adalah fungsi laba atau keuntunga.

Misalnya jenis roti I dijual dengan keuntungan Rp 500,00 per buah dan jenis roti II dijual

dengan keuntungan Rp 300,00 per buah, maka fungsi keuntungan dapat ditulis sebagai

yxyxf 300500, .

Model matematika yang telah tersusun dapat ditulis sebagai berikut.

Syarat (kendala):

0

0

3032

302

y

x

yx

yx

Memaksimumkan yxyxf 300500, .

Apabila soal ini telah diselesaikan, maka kita akan mendapatkan program untuk membuat

roti, itulah asal nama program linear.

Kesimpulan:

Model matematika dari masalah program linear memuat tiga kumpulan unsur, yaitu variabel

keputusan, syarat batas (kendala atau constraints), dan fungsi tujuan (fungsi objetif atau

fungsi sasaran), yaitu tujuan yang akan dioptimumkan. Jika variabel keputusan yang terlibat

dalam fungsi ini adalah x dan y, maka fungsi tujuannya ditulis yxf , dan dirumuskan

sebagai byaxyxf , , dengan Rba , , 0a , 0b .

D. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DARI FUNGSI TUJUAN

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum atau minimum dari

fungsi linear byaxyxf , yang dinamakan fungsi tujuan (fungsi objetif atau fungsi

sasaran) terhadap suatu piligon (segi banyak) X yang merupakan daerah penyelesaian dari

suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, termasuk persyaratan variabel-variabel yang

tidak negatif 0x dan 0y . Setiap titik dalam polygon dinamakan feasible solution

(penyelesaian yang mungkin) dari masalah, dan suatu titik dalam polygon X di mana f


mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum. Nilai optimum

(nilai maksimum atau nilai minimum) dari fungsi tujuan byaxyxf , dapat ditentukan

dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan metode garis

selidik.

a. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Metode Uji Titik

Pojok

Langkah-langkah yang ditempuh dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan

menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.

1. Memisalkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.

2. Menyusun model matematika yang terdiri dari menentukan syarat batas fungsi tujuan

dan fungsi tujuan.

3. Perlihatkanlah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan (syarat batas

fungsi tujuan) pada bidang Cartesius dan menentukan titik-titik sudutnya.

4. Memilih solusi yang terbaik (optimal) dari penyelesaian-penyelesaian yang mungkin

itu dengan cara membandingkan nilai fungsi tujuan.

5. Menterjemahkan penyelesaian atau hasil yang didapat dari bahasa matematika ke

dalam bahasa sehari-hari sebagai penyelesaian masalah.

Untuk menentukan penyelesaian mana yang terbaik di antara penyelesaian yang mungkin itu

digunakan teorema berikut ini.

Teorema:

Jika Rba , dan byaxyxfz , , dengan yx, berkorespondensi dengan suatu titik di

dalam poligon yang merupakan daerah himpunan penyelesaian syarat batas fungsi tujuan,

maka nilai-nilai x dan y yang membuat maksimum atau minimum dari z atau f tercapai pada

titik-titik pojok poligon itu. Titik-titik optimum untuk Ryx , selalu terletak pada titik-titik

sudut atau pada sisi daerah poligon yang mungkin. Tetapi bila Cyx , hal itu tidak perlu

selalu demikian.

b. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Menggunakan Metode Garis

Selidik

Tahapan yang ditempuh dalam menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan

menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.

1. Memisalkan variabel keputusan atau variabel utama dengan x dan y.

2. Menyusun model matematika yang terdiri dari menentukan syarat batas fungsi tujuan

dan fungsi tujuan.

3. Perlihatkanlah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan (syarat batas

fungsi tujuan) pada bidang Cartesius dan menentukan titik-titik sudutnya.

4. Gambarlah garis cyxf , , c konstanta dengan cara menentukan satu nilai c

sebarang. Garis cyxf , ini dinamakan garis selidik. Tentukan nilai-nilai sebarang

untuk fungsi f, misalnya c1, c2, c3, … , cn. Garis 1, cyxf , 2, cyxf , … ,

ncyxf , saling sejajar. Sebagian garis-garis itu akan melalui daerah himpunan

penyelesaian dan satu di antaranya akan menyentuh salah satu titik sudutnya. Garis


yang menyentuh titik sudut inilah yang akan menghasilkan nilai optimum dari fungsi

tujuan.

Ambillah daerah yang memenuhi syarat batas adalah suatu poligon, maka terdapat

dua nilai c, katakanlah c1 dan c2, sehingga daerah itu tepat terletak di dalam pita

21 , cyxfc . Titik sudut polygon yang dilalui garis 1, cyxf adalah titik

yx, yang memberikan nilai minimum pada fungsi tujuan yxf , dan titik sudut

polygon yang dilalui garis 2, cyxf adalah titik yx, yang memberikan nilai

maksimum pada fungsi tujuan yxf , .

Adakalanya kita menghadapi suatu kasus di mana garis selidik sejajar dengan salah

satu sisi dari daerah himpunan penyelesaian, berarti salah satu sisi dari daerah

himpunan penyelesaian atau garis ),( yxf menyentuh dua titik sudut yang

berdekatan. Dalam kasus ini setiap pasangan titik (x,y) yang terletak pada sisi yang

disentuh memberikan nilai optimum dari fungsi tujuan dengan nilai optimum yang

sama. Jelaslah bahwa nilai optimum dari fungsi tujuan dicapai lebih dari sebuah titik.

O

A

B

C D

x

y

Pita yxf ,

0, yxf

1, cyxf

2, cyxf

3, cyxf 4, cyxf


SOAL-SOAL LATIHAN

1. UN A35 dan E81 2012

Daerah yang diarsir pada gambar merupakan daerah himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan linear. Nilai minimum yxyxf 34, yang memenuhi daerah yang diarsir

adalah ….

A. 36

B. 60

C. 66

D. 90

E. 96

2. UN B47 2012

Nilai minimum dari yxyxf 56, yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar adalah

….

A. 96

B. 72

C. 58

D. 30

E. 24

3. UN C61 2012

Nilai maksimum dari yxyxf 52, yang memenuhi daerah yang diarsir adalah ….

A. 8

B. 16

C. 19

D. 20

E. 30

4. UN D74 2012

Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan penyelesaian system pertidaksamaan.

Nilai maksimum dari bentuk objektif yxyxf 45, adalah ….

A. 16

B. 20

C. 22

D. 23

E. 30

5. UN P12 2011

Nilai maksimum yxyxf 45, yang memenuhi pertidaksamaan 8 yx , 122 yx ,

0x , 0y adalah ….

30

X

Y

O

12

24 15

6

X

Y

O

4

12 16

8

X

Y

O

4

4 6

8

X

Y

O

4

4 6


A. 24 C. 36 E. 40

B. 32 D. 40

6. UN P12 2011

Nilai minimum Fungsi objektif yxyxf 23, dari daerah yang diarsir pada gambar

adalah….

A. 4

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

7. UN P12 2010

Niali minimum fungsi obyektif yxyxf 23, dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ….

A. 4

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

8. UN P12 2009

Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan

linear. Nilai maksimum dari yxyxf 65, adalah ….

A. 18

B. 20

C. 27

D. 28

E. 45

9. UN P12 2009

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 1553 yx , 62 yx , 0x , 0y yang

ditunjukkan gambar berikut adalah ….

A. I

B. II

C. III

D. IV

E. II dan IV

2

4

3

3

X

Y

O

O

4

3

3 X

Y

2

O

5

4

6 X

Y

5

O

6

3

5 X

Y

3

I

II

III IV


10. UN P12 2008

Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ….

A. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .

B. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .

C. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .

D. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .

E. 42 yx , 623 yx , 0x , 0y .

11. EBTANAS R4-D11 2000

Himpunan penyelsaian sistem pertidaksamaan

𝑥 + 2𝑦 ≤ 6

𝑥 + 𝑦 ≥ 4

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 1

pada daerah ….

A. I

B. II

C. III

D. IV

E. V

12. EBTANAS 2000

Nilai minimum dari bentuk 3𝑥 + 12𝑦 pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

2𝑥 + 𝑦 ≥ 4

2𝑥 + 3𝑦 ≥ 8

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

adalah….

A. 48 B. 27 C. 12 D. 6 E. 0

13. EBTANAS P2-D11 999

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

2𝑥 + 𝑦 ≤ 6

𝑥 + 3𝑦 ≥ 6

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Pada gambar terletak didaerah …

A. I

B. III

C. IV

D. I dan II

E. I dan IV

14. EBTANAS P2-D11 1999

IV

6

II

2

I

III

O 3 6 X

Y

O

3

2

4 X

Y

2 5 1

1

IV

4

II

V 3

1

I

III

O 4 6 X

Y


Nilai maksimum dari 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 yang memenuhi system pertidaksamaan

𝑥 + 2𝑦 ≤ 8

𝑥 + 𝑦 ≤ 6

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

adalah…

A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 E. 16

15. EBTANAS 1998

Daerah yang diasir pada gambar diatas merupakan grafik himpunan penyelesaian s istem

pertidaksamaan .…

A. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12,𝑥 − 3𝑦 ≥ 6,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0

B. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12,𝑥 − 3𝑦 ≤ 6,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0

C. 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12,𝑥 − 3𝑦 ≤ 6,𝑥 ≥ 0,𝑦 ≥ 0

D. 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12,3𝑥 − 𝑦 ≥ 6, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

E. 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12,3𝑥 − 𝑦 ≤ 6, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

16. EBTANAS 1998

Titik – titik pada gambar berikut merupakan grafik himpunan penyelesaian suatu sistem

pertidaksamaan. Nilai maksimum 3𝑥 + 4𝑦 pada himpunan penyelesaian itu adalah.…

A. 12

B. 21

C. 26

D. 30

E. 35


Pada gambar di samping, yang merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

0

0

4

84

63

y

x

yx

yx

yx

adalah daerah ....

A. I B. II C. III D. IV E. V

X

Y

O 1

2

1

2 2

2

2

2

3

2

3

2

4

2

4

2

5

2

5

2

6

2

6

2

7

2

8

2

IV

I

II

II

I 2

6

O 8

2

4

4

63 yx

4 yx

84 yx

X

Y

V

(0,4)

O (2,0) (6,0)

(0,6)

X

Y


18. EBTANAS 1994

Daerah OABCD (diarsir) pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian suatu sistem

pertidaksamaan. Nilai maksimum dari yx 52 pada daerah himpunan penyelesaian tersebut

adalah ....

A. 29

B. 25

C. 15

D. 12

E. 9

19. EBTANAS 1993

Nilai maksimum dari yx 3 pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 82 yx ,

93 yx , 0x , 0y untuk Cyx , adalah ....

A. 5 B. 9 C. 14 D.19 E. 24

20. EBTANAS 1992

Nilai maksimum dari yx 65 pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 82 yx ,

93 yx , 0x , 0y , untuk Cyx , adalah ....

21. EBTANAS 1990

Nilai optimum dari yx 43 untuk daerah yang diarsir pada grafik berikut ini ....

A. 12

B. 16

C. 17

D. 18

E. 20

22. EBTANAS 1988

Daerah dalam segilima ABCDE adalah merupakan himpunan suatu program linear. Nilai

maksimum dan minimum fungsi objektif yx 23 untuk yx,

bilangan asli adalah ....

A. 10 dan 1

B. 10 dan 6

C. 15 dan 6

D. 15 dan 1

E. 15 dan 10

5,2C

3,0D

X

0,6A

3,5B

Y

O

(0,8)

(0,4)

(4,0) (6,0) X

Y

O

A(0,3)

B(3,5)

C(6,4)

D(5,0) E(1,0) X

Y

O


23. EBTANAS 1987

Daerah yang diarsir dalam diagram di bawah adalah daerah himpunan penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan ....

A.

1222

82

0

0

yx

yx

y

x

D.

1223

82

0

0

yx

yx

y

x

B.

1223

82

0

0

yx

yx

y

x

E.

C.

1223

82

0

0

yx

yx

y

x

24. UN A35, B47, C61, D74, dan E81 2012

Tempat Parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil

membutuhkan tempat seluas 6 m2 dan bus 24 m

2. Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus

Rp3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh?

A. Rp87.500,00 C. Rp137.000,00 E. Rp203.000,00

B. Rp116.000,00 D. Rp163.000,00

25. UN B47 2012

Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 g dan

30 g. Sebuah kapsul mengandung 5 g kalsium dan 2 g zat besi, sedangkan sebuah tablet

mengandung 2 g kalsium dan 2 g zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah

tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak

balita tersebut adalah ….

A. Rp12.000,00 C. Rp18.000,00 E. Rp36.000,00

B. Rp14.000,00 D. Rp24.000,00

26. UN P12 2011

Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap

kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor.

Jumlah ikan yang direancanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam

berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika

untuk masalah ini adalah ....

A. 0,0,5023,20 yxyxyx

B. 0,0,5032,20 yxyxyx

C. 0,0,5032,20 yxyxyx

D. 0,0,5032,20 yxyxyx

E. 0,0,5023,20 yxyxyx

1223

82

0

0

yx

yx

y

x

6

4

4 8 X

Y

O


27. UN P12 2011

Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap

kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp.10.000,00 sedangkan keripik rasa keju

membutuhkan modal Rp.15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut

Rp.500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan

tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp.2.500,00 dan keripik rasa keju Rp.3.000,00

perkilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah....

A. Rp.110.000,00 D. Rp.89.000,00

B. Rp.100.000,00 E. Rp.85.000,00

C. Rp.99.000,00

28. UN P12 2010

Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70 m kain batik. Penjahit tersebut

akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4 m kain polos dan 2 m

kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 3 m kain polos dan 5 meter kain batik. Jika

pakaian I dijual dengan laba Rp40.000,00 dan pakaian jenis II dijual dengan laba Rp60.000,00 per

potong. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah ….

A.Rp1.180.000,00 D. Rp840.000,00

B. Rp1.080.000,00 E. Rp800.000,00

C. Rp960.000,00

29. UN P12 2009

Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I

dibeli dengan harga Rp 60.000,00 setiap pasang dan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp

80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal Rp 3.000.000,00 untuk

membeli sepatu jenis I dan jenis II. Maka model matematika dari masalah tersebut adalah ….

A. 15043 yx , 40 yx , 0x , 0y .

B. 15043 yx , 40 yx , 0x , 0y .

C. 15043 yx , 40 yx , 0x , 0y .

D. 30086 yx , 40 yx , 0x , 0y .

E. 30046 yx , 40 yx , 0x , 0y .

30. UN P12 2009

Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk dijual, pakaian jenis I memerlukan 2 m kain

katun dan 4 m kain sutera, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 meter

kain sutera Bahan katun yang tersedia 70 m dan sutera 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba

Rp 25.000,00/buah dan pakaian jenis II mendapat laba Rp 50.000,00/buah. Agar ia memperoleh

laba yang sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II berturut-turut adalah ….

A. 15 dan 8 D. 13 dan 10

B. 8 dan 15 E. 10 dan 13

C. 20 dan 3

31. UN P12 2008

Sebuah pesawat terbang memiliki tempat duduk tidak lebih dari 60 buah. Setiap penumpang

bagasinya dibatasi, untuk penumpang kelas utama 30 kg dan untuk penumpang kelas ekonomi 20

kg. Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi 1500 kg. Jika tiket setiap penumpang kelas


utama Rp600.000,00 dan untuk kelas ekonomi Rp450.000,00, maka penerimaan maksimum dari

penjualan tiket adalah ….

A. Rp13.500.000,00 D. Rp31.500.000,00

B. Rp18.000.000,00 E. Rp41.500.000,00

C. Rp21.500.000,00

32. EBTANAS P2-D11 1999

Harga 1 kg beras Rp2.500,00 dan 1 kg gula Rp4.000,00. Seorang pedagang memiliki modal

Rp300.000,00 dan tempat yang tersedia hanya memuat 1 kuintal. Jika pedagang tersebut membeli

x kg beras dan y kg gula, maka sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah ....

A. ;60085 yx ;100 yx ;0x 0y

B. ;60085 yx ;100 yx ;0x 0y

C. ;60085 yx ;100 yx ;0x 0y

D. 1085 yx 1 yx ;0x 0y

E. 1085 yx 1 yx ;0x 0y

33. EBTANAS 1998

Seorang pedagang roti ingin membuat dua jenis roti. Roti jenis A memerlukan 200 gram tepung

dan 150 gram mentega. Roti jenis B memerlukan 400 gram tepung dan 50 gram mentega.

Tersedia 8 kg tepung dan 2,25 kg mentega. Roti jenis A dijual dengan harga Rp7.500,00 per buat

dan roti jenis B dengan harga Rp6.000,00 per buah. Misalkan banyak roti A = x buah dan roti B =

y buah.

a. Tentukan sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi oleh x dan y

b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan hasil (a).

c. Tentukan bentuk objektif yang menyatakan harga penjualan seluruhnya.

d. Tentukan pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pedagang roti tersebut.

34. EBTANAS D11-P1 1997

Suatu perusahaan perumahan merencanakan pembangunan rumah tipe A dan tipe B. Tiap unit

rumah A memerlukan lahan 150 m2 dan tipe B memerlukan lahan 200 m

2. tersedia lahan 30.000

m2. Perusahaan hanya mampu membangun paling banyak 180 unit rumah untuk kedua tipe

tersebut. keuntungan yang diharapkan dari tiap unit rumah tipe A Rp3.000.000,00 dan tiap unit

rumah tipe B Rp3.500.000,00.

a. Misalkan dibangun rumah tipe A sebanyak x unit dan rumah tipe B sebanyak y unit, tulislah

sistem pertidaksaman dalam x dan y untuk keterangan di atas.

b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan itu

c. Tentukan bentku objektif yang menyatakan keuntungan dari penjualan rumah.

d. Berapakah banyaknya masing-masing tipe rumah harus dibangun, agar diperoleh keuntungan

sebesar-besarnya? Hitunglah keuntungan itu.\


Untuk menghasilkan barang jenis A seharga Rp20.000,00 diperlukan bahan baku 20 kg dan waktu

kerja mesin 2 jam. Untkuk barang jenis B seharga Rp30.000,00 diperlukan bahan baku 30 kg dan

waktu kerja mesin 1 jam. Bahan baku yang tersedia adalah 270 kg, waktu kerja mesin 17 jam.

a. Misalkan banyaknya barang A = x dan banyaknya barang B = y, tulislah sistem pertidaksamaan

dalam x dan y untuk keterangan di atas.


b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya pada satu sistem koordinat cartesius.

c. Tentukan bentuk objektif hasil penjualan barang.

d. Tentukan banyaknya masing-masing jenis barang yang harus dihasilkan, agar diperoleh hasil

penjualan maksimum? Hitunglah hasil penjualan maksimum itu.

36. EBTANAS 1991

Seorang pembuat kue satu hari paling banyak membuat 80 kue. Biaya kue jenis pertama Rp250,00

sebuah dan kue jenis kedua Rp150,00 sebuah. Keuntungan kue jenis pertama Rp50,00 sebuah dan

jenis kedua Rp40,00 sebuah. Jika modal pembuat kue Rp17.000,00 maka keuntungan maksimum

adalah ....

A. Rp3.200,00 D. Rp4.000,00

B. Rp3.400,00 E. Rp4.530,00

C. Rp3.700,00

37. EBTANAS 1989

Luas tanah 10.000 m2

akan dibangun perumahan dengan tipe D.36 dan tipe D.21 masing-masing

luas tanah per unit 100 m2 dan 75 m

2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 125 unit.

Harga jual tiap-tiap tipe D.36 adalah Rp6.000.000,00 dan tipe D.21 adalah Rp4.000.000,00 maka

harga jual maksimum adalah ....

A. Rp425.000.000,00 D. Rp575.000.000,00

B. Rp525.000.000,00 E. Rp600.000.000,00

C. Rp550.000.000,00

program linear - · pdf filesuatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, termasuk...

Documents