print rangkap 3.docx

7/23/2019 print rangkap 3.docx

1/10

STATISTIK FERMI DIRAC

A. Gas elektron dalam logam

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah membahas tentang status-status

energi sebuah titik massa yang bererak bebas dalam ruang tiga dimensi bervolume

V. Hal ini akan kita tinjau kembali, tetapi dengan menggunakan titik tolak yang

lain, yakni urutan tingkat energi. Telah kita ketahui, energi partikel tersebut

telah ditentukan oleh tiga bilangan kuantum n x, ny, n, yang berupa bilangan bulat

dari -! sampai "!, menurut persamaan #

(nx ,ny , nz )=( h2

2 mV2

3) (nx2 , ny2 ,nz2)

$ika ruang dimensi tiga, kita anggap mempunyai koordinat-koordinat #

qx= h

2

2mV

2

3

nx

qx= h

2

2mV

2

3

ny

qx=

h2

2mV

2

3

nz

%etiap status energi, akan di&akili oleh satu titik dengan nilai n x, ny, n,

untuk status energi itu. 'uangan itu akan dipenuhi oleh titik sema(am ini,

sehingga terbentuk kisi-kisi kubus masing-masing dengan volume #


2/10

2 m

=h

3

)ari persamaan diatas, terlihat bah&a tingkatan energi besarnya

ditentukan oleh vektor yang komponen * komponennya adalah + x, +ydan +. $adi

untuk tingkatan energi aktor yang menentukan adalah jarak titik + x, +y, +

tersebut dari titik /,/,/, artinya setiap titik yang terletak pada permukaan bolayang sama akan mempunyai energi yang sama. $ika diperhatikan persamaan

diatas, volume yang dihuni satu status energi, nilainya begitu ke(il, sehingga lebih

baik berbi(ara dengan istilah kerapatan status energi, yaitu jumlah status energi

persatuan interval energi, seakan * akan rentang energi itu berubah se(ara kontinu.

%esuai dengan persamaan tersebut dapat ditulis #

q=(qx2+qy2+qz2 )

=q2

atau sebuah kulit bola dengan jari * jari + dan tebal d+, akan mempunyai

volume yang besarnya #

4 q2

dq

dan akan diisi oleh#

dN=4 q

2dq

status energi. Padahal dari persamaan kita peroleh #

d =2q dq


3/10

0tau

dq=d

2

sehingga #

dN=2

d

besaran g()=dNd , dinamakan kerapatan status energi untuk kumpulan

partikel bebas yang nilainya sama dengan #

g ( )=dN

d=

4 V

h3 (2 m )

3

untuk keperluan perhitungan * perhitungan selanjutnya, kita misalkan #

C=(4 V

h3 )(2 m )

3

sehingga#

g ( )=C

pada suhu / 1, elektron * elektron akan menduduki status * status energi

mulai dari yang paling ba&ah, sampai energi 2ermi /. 3leh sebab itu jumlah

semua elektron menjadi #

N=0

g ( )d


4/10

C0

1

2 d

N=2

3C(0 )

2

3

jadi, besarnya energi 2ermi itu adalah #

0=( h

2

2 m

)(3N

8 V

)

2

3

ini berarti, besarnya energi 2ermi tergantung pada jumlah partikel persatuan

volumeN

V . 0gar diperoleh makna yang lebih mudah dipahami, di deenisikan

suhu 2ermi menurut persamaan #

kTf=0

dengan demikian, akan memudahkan kita untuk membuat perkiraan tentang

peranan suhu ketika menggarap perilaku gas elektron yang aneh ini.

$ika dalam statistik klasik, diperoleh bah&a pada suhu T, energi kinetik rata

* rata 4 molekul adalah

3

2 kT, timbul pertanyaan berapakah besarnya energi

kinetik rata * rata elektron dalam gas elektron pada suhu T5

%esuai dengan deenisi kerapatan status serta ungsi distribusu 2ermi, maka

energi gas elektron dapat diperoleh melalui hubungan #

U=0

g ( ) f( ) d


5/10

Perhitungan untuk integral ini, agak rumit, oleh sebab itu diperlukan (ara

khusus untuk menyelesaikannya. 1arena suhu 2ermi pada umumnya (ukup tinggi,

maka untuk keperluan praktis, kita akan menggunakan suhu T yang jauh lebih

ke(il dari T. $ika kita misalkan #

h ( )= g ( ) , dan h ( )=dH( )

d

6aka dapat dilakukan integrasi parsial untuk energi 7 pada persamaan

diba&ah ini yakni#

U= [H( ) f( )]0

H( )F( )d ( )

7ntuk h 8 g , maka diperoleh #

H( )= 25C

5

2

9ilai batas ba&ah 8/

7ntuk suku pertama pada persamaan diatas adalah /, karena H/8/. 9ilai

batas atas 8!, suku pertama juga /, karena 8/, untuk 8!. $adi yang perlu

di(ari solusinya, hanyalah suku kedua dari persamaan tersebut.

0da suatu siat khusus dari ungsi ermi untuk suhu T yang ke(il dari T.

Pada gambar, dilukiskan bentuk ungsi bila T:/, sebagai kotak yang mula-

mula berharga 4 untuk diba&ah energi ermi, dan tepat pada energi ermi 8

1

2 , dan terus turun menjadi / untuk diatas energi ermi. ;ambar tersebut

melukiskan ungsi turunan dari yakni


6/10

maka ungsi H dalam integral pada persamaan tersebut, dapat dijabarkan dalam

deret Taylor disekitar energi ermi, sehingga#

(0)+1

2(0 )

2H( {} rsub {0} )+

H( )=H( )+(0)H '

=ila kita deenisikan integral-integral diba&ah ini#

L0=

0

f( )d

L1=0

( 0) f( )d

L2=12

0

( 0 )2

f( ) d

0kan diperoleh#

U=L0H(0 )+L1H '( 0 )+L2H( {} rsub {0} )+

)ari siat-siat /84, >48/, karena


7/10

U=2

5C(0 )

2

5+

2

6 C( 0 )

1

2 k T2+

)an bila dikaitkandengan persamaan diatas, diperoleh energi pada suhu

T8/, yakni#

U0=3

5N

0

?ni berarti bah&a pada suhu / 1, energi kinetik rata-rata suhu elektron sama

dengan#

( )=3

5k Tf

$ika untuk gas elektron, nilai T 4/./// 1, maka energi kinetik

elektron sekitar @/ kali energi kinetik molekul gas pada umumnya. )ari

persamaan tersebut, dapat kita hitung kapasitas panas jenis gas elektron, yaitu#

Cv=( UT)v=(2

3)C(0 )2 k2 T

Cv=1

2

2Nk(TTf)

Hasil ini bisa dibandingkan dengan kapasitas panas gas biasa yang besarnya

3

2 9k, karena aktor yang amat menentukan adalah aktor(T

Tf) . $ika Tberharga 4/./// 1, maka pada suhu @// 1, 9 elektron hanya memberikan


8/10

sumbangan1

30 dari kapasitas panas jenis, artinya kehadiran 9 elektron, tidak

terasa pengaruhnya, ketika kita mengukur kapasitas panas jenis logam tersebut.

B. Sifat Paramagnetik Gas Elektron

6eskipun atom-atom pada logam alkali tidak memiliki momen magnetik

yang permanen, namun kumpulan elektron yang dianggap berbentuk gas itu

diperkirakan akan bersiat paramagnetik, karena elektron sendiri mempunyai

momen magnetik sebesar 4 magnet bohr.

Pada pokok bahasan sebelumnya, telah dibahas tentang siat paramagnetik

gas, dengan menggunakan aturan mekanika kuantum. )alam hal ini, interaksi

antara momen-momen magnetik u dengan medan magnet luar =, hanya bisa

memiliki A arah saja, yaitu# status 4, dimana arah u sejajar =, dengan energi

magnetik sebesar -u=, dan status A, dimana u dan = berla&anan arah, dengan

energi kinetik "u=. $ika statistik 6ax&ell-=oltmann, diterapkan disini, maka

besarnya magnetisasi untuk kumpulan 9 momen magnetik seperti ini adalah#

M=uN

exp( ukT)exp(ukT)exp( ukT)+exp (ukT)

M=uN!"nh( ukT)

Pada suhu kamar dengan medan magmet =, biasanya u=BBkT, maka

ketergantungan 6 dengan T menjadi#

M=uN( ukT)=( u2N

kT)


9/10

)engan demikian, besarnya suseptibilitas magnetik (M) berbandingterbalik dengan suhu, yang dikenal dengan hukum Curie.

Hal ini ternyata tidak (o(ok dengan hasil pengukuran. 6eskipun ditemui

siat paramagnetik pada pada gas elektron, yang ditunjukkan dengan adanya

magnetisasi 6 yang sebanding dengan kuat medan magnet =, tetapi ternyata nilai

(M) tidak sebesar yang diramalkan pada persamaan diatas, bahkan hampirtidak berubah jika suhu T berubah, artinya siat paramagnetik gas elektron,

tidak mengikuti hukum Curie. 1enapa demikian5

%ebetulnya, masalah ini dapat dijelaskan dengan menggunakan statistik

2ermi-)ira(. Dlektron-elektron dengan momen magnetik yang searah dengan

medan magnetik =, akan mempunyai tambahan energi magnetidak sebesar -u=,

sedangkan yang tidak searah akan memperoleh tambahan energi magnetik sebesar

"u=. Dlektron-elektron ini harus diatur satu demi satu untuk menduduki status

energi, dari tingkat energi paling ba&ah, sampai men(apai energi 2ermi.

0kibatnya, tingkatan- tingkatan energi yang momen magnetiknya searah =, akan

tergeser keba&ah sebesar u=. %ebaliknya, tingkatan-tingkatan energi yang momen

megnetiknya berla&anan dengan =, akan bergeser keatas sebesar u=. $adi jumlah

elektron yang momen magnetiknya sejajar dengan =, menjadi#

N1=1

2g (+u ) f( ) d

%edangkan jumlah elektron yang momen magnetiknya berla&anan dengan

arah =, menjadi#

N1=1

2g (u ) f( ) d

%ehingga besarnya magnetisasi kumpulan elektron itu adalah#


10/10

M=u1

2{g (+u ) f()g (u )} f( ) d

)engan menggunakan deret Taylor, diperoleh#

g (+u )g ( u )=2u g' ( )+

%ehingga#

M=u2 g

' ( ) f()d

=ila diterapkan integrasi parsial, maka persamaan diatas dapat diubah

menjadi#

M=u2 g ( ) f' ( ) d

7ntuk suhu yang (ukup jauh dari T, integrasi dengan

print rangkap 3.docx

Documents