POKOK BAHASAN

Pertemuan 8Diferensial Fungsi Sederhana

Matakuliah : J0572 – Matematika EkonomiTahun : Genap 2008/2009

Bina Nusantara University 3

•Kuosien Diferensi dan Derivatif•Kaidah-kaidah Diferensial

Materi

Diferensial Fungsi SederhanaDiferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆x, maka bentuk persamaannya menjadi:

∆y = f(x + ∆x) – f(x)

Bila persamaan tersebut di bagi ∆x di ruas kanan dan kiri maka:

Bentuk disebut hasil bagi perbedaan (difference quotient)

x

xfxxf

y

x

)()(

y

x

Bina Nusantara University

Derivatif• Proses penurunan sebuah fungsi, disebut juga

proses pendiferensian atau diferensial adalah merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol.

• Derivatif atau turunan adalah hasil yang diperoleh dari proses diferensial. Notasi turunan fungsi biasanya dy/dx (baca “deye deeks” dan bukan “deye bagi deeks”}

• Contoh Soal Tentukan kuosien diferensi dan turunannya dari y = f(x) =

3x2-x.Bina Nusantara University

Kaidah-kaidah Diferensiasi

1.Diferensiasi konstantaJika y=k, dimana k adalah konstanta, maka Contoh: y=7, maka

2.Diferensiasi fungsi pangkatJika y=xn, dimana n adalah konstanta, maka Contoh: y= x7, maka

3.Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsiJika y = kv, dimana v = h(x), Contoh: y= 2 x7, maka

Bina Nusantara University

0dx

dy

0dx

dy

dx

dvk

dx

dy

1 nnxdx

dy

617 77 xxdx

dy

617 14)7(2 xxdx

dy

Kaidah-kaidah Diferensiasi4.Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

Jika y=k/v, dimana v = h(x), maka

Contoh:

5.Diferensiasi penjumlahan/pengurangan fungsiJika y= u ± v, di mana u = g(x) dan v = h(x), maka

6.Diferensiasi perkalian fungsiJika y= u.v, di mana u = g(x) dan v = h(x), maka

Bina Nusantara University

2

/v

dxkdv

dx

dy

dx

dv

dx

du

dx

dy

6

2

23

2

3

15

)(

)3(5,

5

x

x

x

x

dx

dymaka

xy

dx

duv

dx

dvu

dx

dy

Kaidah-kaidah Diferensiasi

7.Diferensiasi perkalian fungsiJika y= u/v, di mana u = g(x) dan v = h(x), maka

8.Diferensiasi fungsi berantai (komposit)Jika y=f(u) dan u = g(x), maka

9.Diferensiasi fungsi berpangkatJika y= [f(x) ]n, di mana n adalah konstanta maka

Bina Nusantara University

)()( '1 xfxfndx

dy n

dx

du

du

dy

dx

dy.

2vdxdvu

dxduv

dx

dy

Kaidah-kaidah Diferensiasi

10.Diferensiasi fungsi inversJika y= f(x) dan x = g(y) adalah kebalikannya yang dapat

dideferensiasikan, maka

11.Diferensiasi fungsi logaritma biasaJika y= alog x, maka

12.Diferensiasi fungsi komposit logaritmaJika y= alog u, di mana u = g(x) maka

Bina Nusantara University dx

du

u

e

dx

dy a

.log

axdx

dy

ln

1

dxdydx

dy

/

1

Kaidah-kaidah Diferensiasi13.Diferensiasi fungsi komposit logaritma berpangkat

Jika y= (alog u)n, di mana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka

14.Diferensiasi fungsi logaritma dengan bilangan pokok eJika y= ln x, maka

15.Diferensiasi fungsi komposit logaritma dengan bilangan pokok e

Jika y= ln u, di mana u = g(x) maka

Bina Nusantara University

dx

du

u

e

du

dy

dx

dy a

.log

dx

du

udx

dy.1

xdx

dy 1

Kaidah-kaidah Diferensiasi16.Diferensiasi fungsi komposit logaritma–Napier berpangkat

Jika y= (ln u)n, di mana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka

17.Diferensiasi fungsi eksponsialJika y= ax, maka

18.Diferensiasi fungsi komposit eksponensialJika y= au, di mana u = g(x) maka

Bina Nusantara University

dx

du

udu

dy

dx

dy.1

dx

duaa

dx

dy u ln.

aadx

dy x ln