TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

INCREMEN DAN DIFFERENSIAL

Lia Yuliana, S.Si., MT.

Misal F(x,y)=0 dan f merupakan suatu fungsi yang

dapat diturunkan sehingga y=f(x), sedemikian hingga

F(x, f(x))=0 untuk setiap xDf .

Jika ditulis dalam fungsi komposisi, w=F(u,y) dimanau=x dan y=f(x) adalah

Selama w=F(x, f(x))=0 untuk setiap x, maka dw/dx=0

Turunan Fungsi Implisit Dua Variabel

dx

dy

y

w

dx

du

u

w

dx

dw

Turunan Fungsi Implisit Dua Variabel

Dari u=x dan y=f(x) diperoleh du/dx=1 dan dy/dx=f (x)

Sehingga aturan rantainya menjadi:

Jika , maka selama u=x,

)(')1.(0 xfy

w

u

w

0

u

w

),(

),()('

yxF

yxF

y

wx

w

y

wu

w

xfy

x

Turunan Fungsi Implisit Dua Variabel

Theorema

Jika F(x,y)=0 fungsi implisit, fungsi y differensiablesedemikian hingga y=f(x), untuk setiap x dalamdomain fungsi, maka

Contoh:

Diberikan , tentukan dengan

menggunakan hasil diatas.

0323 xyxdx

dy

),(

),(

yxF

yxF

dx

dy

y

x

Turunan Fungsi Implisit Tiga Variabel

Theorema

Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dany differensiable sedemikian hingga z=f(x,y), untuksetiap x,y dalam domain fungsi, maka

),,(

),,(

zyxF

zyxF

x

z

z

x

),,(

),,(

zyxF

zyxF

y

z

z

y

Turunan Fungsi Implisit Empat Variabel

Theorema

Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y

dan z differensiable sedemikian hingga w=f(x,y,z),untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

x

w

w

x

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

y

w

w

y

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

z

w

w

z

Incremen dan Differensial

Jika f adalah fungsi dua variabel x dan y, maka x dany menyatakan incremen dari x dan y.

Dari definisi sebelumnya,

Incremen dari w=f(x,y) sebagai berikut:

x

yxfyxxfyxf

xx

),(),(lim),(

0

y

yxfyyxfyxf

yy

),(),(lim),(

0

Definisi (Incremen)

Misal w=f(x,y) dan misal x dan y adalah incremen dari x dany. Incremen w dari w=f(x,y) adalah

Catatan: incremen w merupakan perubahan dari nilai fungsi

jika (x,y) berubah menjadi (x+x,y+ y)

Contoh: Misal w=f(x,y)=3x2 –xy

a. Jika x dan y adalah incremen dari x dan y, tentukan w

b. Gunakan w untuk menghitung perubahan w=f(x,y) jika (x,y)

berubah dari (1,2) ke (1.01, 1.98)

Incremen dan Differensial

),(, yxfyyxxfw

Teorema

Misal w=f(x,y) merupakan fungsi f yang didefinisikan

pada persegi panjang R={(x,y)a<x<b, c<y<d}. Andai fx

dan fy terdapat di R dan kontinu pada titik (x0 ,y0) di R. Jika

(x+x0 , y+y0) pada R dan

maka

untuk fungsi 1dan 2 dari x dan y mempunyai limit 0

ketika (x, y) mendekati (0,0)

Incremen dan Differensial

),(, 0000 yxfyyxxfw

yxyyxfxyxfw yx 210000 ),(),(

Contoh:

Jika w=3x2-xy, tentukan dalam 1 dan 2 sehingga memenuhiteorema sebelumnya.

Definisi (Differensial)

Misal w=f(x,y) dan misal x dan y adalah incremen dari x dan y.

a. differensial dx dan dy dari variabel bebas x dan y adalah

dx=x dan dy=y

b. differensial dw dari variabel tak bebas w adalah

Incremen dan Differensial

dyy

wdx

x

wdyyxfdxyxfdw yx

),(,

Catatan:

Berdasarkan teorema, titik (x0 , y0) diganti (x, y)

w=dw+1x+2y

w-dw=1x+2y

1 dan 2 mendekati 0 ketika (x,y) mendekati (0,0). Jika x

dan y kecil maka w-dw0 sehingga wdw

Contoh

Jika w=3x2-xy, tentukan dw dan gunakan untuk menaksir perubahan

pada w jika (x, y) berubah dari (1,2) ke (1.01, 1.98)

Incremen dan Differensial

Definisi

Misal w=f(x,y) dan fungsi f differensiable pada (x0 , y0), w

dinyatakan dalam bentuk

fungsi 1dan 2 dari x dan y mempunyai limit 0 ketika (x, y)

mendekati (0,0)

Incremen dan Differensial

yxyyxfxyxfw yx 210000 ),(),(

Definisi (Differensial fungsi tiga variabel)

Misal w=f(x,y,z) dan misal x, y dan z adalah incremen dari x,

y dan z.

a. differensial dx, dy dan dz dari variabel bebas x, y dan z adalah

dx=x, dy=y dan dz=z

b. differensial dw dari variabel tak bebas w adalah

Catatan: dw dapat digunakan untuk menaksir w jika incremen x, y

dan z kecil

Incremen dan Differensial

dzz

wdy

y

wdx

x

wdw