turunan parsial - · pdf filetentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan...
TRANSCRIPT
![Page 1: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/1.jpg)
TURUNAN
PARSIAL MK. Kalkulus Lanjut
MKMAT3315
©Aswad2016 1
![Page 2: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/2.jpg)
Review
©Aswad2016
2
![Page 3: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/3.jpg)
Turunan (derivatif) tidak sama dengan
diferensial.
Pada fungsi satu variabel, Dxy = dy/dx = f’(x)
adalah notasi untuk turunan
dy atau dx saja menyatakan diferensial
Misalkan f(x) = x2 – 3x + 1.
Turunan dari x2 – 3x + 1 adalah 2x – 3 karena
Dxy = d(x2 – 3x + 1)/dx = 2x – 3
Diferensial dari x2 – 3x + 1 adalah (2x-3)dx
karena dy = d(x2 – 3x + 1) = f’(x) dx = (2x-3) dx
©Aswad2016
3
![Page 4: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/4.jpg)
©Aswad2016
4
![Page 5: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/5.jpg)
©Aswad2016
5
Sehingga jelas bahwa turunan (derivativ)
adalah hasil pembagian antara dua buah
diferensial.
Pencarian turunan disebut diferensiasi
Bagian kalkulus yang berhubungan
dengan turunan disebut kalkulus
diferensial
Differentiable artinya dapat diturunkan
atau turunan fungsi tsb di titik itu ada.
![Page 6: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/6.jpg)
©Aswad2016
6
Perhatikan bahwa turunan pada fungsi
satu variabel didefinisikan sebagai
asalkan limit ini ada, bukan ∞ atau - ∞.
Perhatikan pula bahwa jika f’(c) ada
maka f kontinu di c untuk c sebarang
bilangan, tetapi tidak berlaku sebaliknya.
![Page 7: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/7.jpg)
©Aswad2016
7
Misalkan f(x) = 2x + 1.
Maka
Sehingga, jika f’(2) ada maka f kontinu di 2.
0 0
0 0
0
00
00
22 2
2
2lim lim 2 2
2
2lim 2 lim lim 2
2
lim5 .0
5 2
lim
lim
.lim 0 5
' 2
h h
h h h
h
h
h
h
f x ff x
f
f x
f
x
f x ff x f x
x
f x
f
x
f x ff x
x
x
![Page 8: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/8.jpg)
©Aswad2016
8
Misalkan f(x) = |x|.
Fungsi f(x) jelas kontinu di 0 tetapi f’(0) tidak ada.
Perhatikan bahwa:
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan
maka tidak ada. akibatnya f’(0) tidak ada.
Terbukti bahwa apabila suatu fungsi kontinu di x
maka belum tentu memiliki turunan di x.
0 0
0 0' 0 lim lim
h h
f h f hf
h h
0 0 0 0lim lim 1 lim lim 1h h h h
h hh hdan
h h h h
0limh
h
h
![Page 9: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/9.jpg)
©Aswad2016
9
![Page 10: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/10.jpg)
Definisi dan Tafsiran
Geometris
©Aswad2016
10
![Page 11: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/11.jpg)
©Aswad2016
11
Definisi 3.1.
![Page 12: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/12.jpg)
©Aswad2016
12
Contoh 1
Carilah fx(1, 2) dan fy(1, 2)
Apabila diketahui f(x, y) = x2y + 3y3.
![Page 13: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/13.jpg)
©Aswad2016
13
Cara 1: By Definisi 3.1.
Turunan parsial
terhadap y
ditinggalkan
sebagai
latihan.
![Page 14: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/14.jpg)
©Aswad2016
14
Cara 2: Langsung
E.o.E.1
![Page 15: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/15.jpg)
©Aswad2016
15
Contoh 2
Jika z = x2 sin (xy2). Tentukanlah ∂z/∂x dan
∂z/∂y.
![Page 16: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/16.jpg)
©Aswad2016
16
E.o.E.2
![Page 17: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/17.jpg)
Perhatikan bahwa ada beberapa notasi
yang biasa digunakan berkenaan dengan
turunan parsial dari suatu fungsi. Misalkan z
= f(x, y) maka notasi yang biasa digunakan
untuk turunan-turunan parsial dari f(x, y)
pada (x0, y0) adalah sebagai berikut:
©Aswad2016
17
![Page 18: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/18.jpg)
Tinjau permukaan z = f(x, y).
Bidang y = y0 memotong permukaan ini
pada kurva bidang PQR. Persamaan
bidang PQR = g(x) = f(x, y0). Nilai fx(x0, y0)
adalah kemiringan garis singgung pada
kurva di P(x0, y0, f(x0, y0)). Perhatikan
Gambar 1.(a). Dengan cara yang sama,
bidang x = x0 memotong permukaan pada
kurva bidang LPM. Persamaan bidang LPM
= h(y) = f(x0, y). Nilai fy(x0, y0) adalah
kemiringan garis singgung pada kurva di P.
Perhatikan Gambar 1.(b).
©Aswad2016
18
![Page 19: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/19.jpg)
©Aswad2016
19
Gambar 1.
![Page 20: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/20.jpg)
©Aswad2016
20
Contoh 3
Jika f(x, y) = 4 – x2 – 2y2. Tentukanlah fx(1, 1)
dan fy(1, 1). Kemudian gambarkan bentuk
grafik dari masing-masing turunan parsial
yang dimaksud.
![Page 21: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/21.jpg)
fx = -2x maka fx(1, 1) = -2
fy = -4y maka fy(1, 1) = -4
bentuk grafik dari f(x, y) = 4 – x2 – 2y2 adalah suatu paraboloid.
Bidang y = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 2 – x2. Jadi, kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fx(1, 1) = -2. Perhatikan Gambar 2.(a).
Dengan cara yang sama, bidang x = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 3 – 2y2. Jadi kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fy(1, 1) = -4. Perhatikan Gambar 2.(b).
©Aswad2016
21
![Page 22: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/22.jpg)
©Aswad2016
22
Gambar 2.
E.o.E.3
![Page 23: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/23.jpg)
Turunan Parsial Fungsi
Implisit
©Aswad2016
23
![Page 24: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/24.jpg)
©Aswad2016
24
Misalkan diketahui z = f(x, y) dengan yang
dinyatakan F(x, y, z) = C.
Turunan parsial fungsi f terhadap x dan
terhadap y dapat dihitung sebagai
/ /
/ /
z F x z F ydan
x F z y F z
![Page 25: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/25.jpg)
©Aswad2016
25
Contoh 4
Tentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y.
x2 + y2 + z2 = 1
![Page 26: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/26.jpg)
©Aswad2016
26
2 2 2( , , )
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
F x y z x y z
z F x x x
x F z z z
z F y y y
y F z z z
E.o.E.4
![Page 27: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/27.jpg)
Turunan Parsial Tingkat
Tinggi
©Aswad2016
27
![Page 28: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/28.jpg)
Jika f suatu fungsi dua variabel, maka
turunan parsial fx dan fy adalah juga suatu
fungsi dua variabel. Dengan demikian,
kedua turunan parsial tersebut dapat
diturunkan lagi terhadap variabel x dan y
sehingga menjadi (fx)x, (fx)y, (fy)x, dan (fy)y,
yang tidak lain merupakan turunan parsial
kedua dari f. Selengkapnya perhatikan
Definisi 3.2. berikut
©Aswad2016
28
![Page 29: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/29.jpg)
©Aswad2016
29
Definisi 3.2.
![Page 30: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/30.jpg)
©Aswad2016
30
Contoh 5
Tentukan turunan parsial kedua dari fungsi berikut
f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2.
![Page 31: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/31.jpg)
©Aswad2016
31
E.o.E.5
![Page 32: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/32.jpg)
Latihan
©Aswad2016
32
![Page 33: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/33.jpg)
©Aswad2016
33
![Page 34: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/34.jpg)
©Aswad2016
34
![Page 35: TURUNAN PARSIAL - · PDF fileTentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y. x2 + y2 + z2 = 1 ©Aswad2016 26 ... kedua turunan parsial tersebut dapat](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052121/5a78ee4f7f8b9a77088d482c/html5/thumbnails/35.jpg)
Selesai
©Aswad2016
35