jurusan teknik industri - fakultas teknik...
TRANSCRIPT
-
Diktat ini disusun berdasarkan Calculus III oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
DIKTAT KULIAH
KALKULUS PEUBAH BANYAK
(IE-308)
BAB 3 TURUNAN PARSIAL
Diktat ini digunakan bagi mahasiswa
Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik
Universitas Kristen Maranatha
Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc
JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA
BANDUNG
2012
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 44 KALKULUS PEUBAH BANYAK
BAB 3 TURUNAN PARSIAL
3.1. Limit
Dalam fungsi peubah tunggal, dikatakan :
jika,
Dimana,
Adalah limit sebelah kanan dan nilai x ditinjau hanya untuk nilai x yang lebih besar dari a.
Demikian juga,
Adalah limit sebelah kiri dilihat hanya untuk nilai x yang lebih kecil dari a.
Dengan kata lain kita akan mendapatkan bila mendekati L bila x
bergerak menuju (sangat mendekati namun tidak sampai mencapai ) dari kedua
arah (kiri & kanan).
Untuk fungsi peubah ganda, konsepnya sama, hanya proses pengerjaannya agak lebih
panjang dan rumit. Untuk notasi ditetapkan sbb. :
Misal ingin didapat limit dari fungsi dimana x mendekati a dan y mendekati b.
Dapat dituliskan dengan notasi sbb.:
Dalam kuliah dan buku ini akan digunakan notasi yang kedua.
Dengan mencari limit fungsi peubah ganda berarti mencari nilai bila titik
bergerak makin dekat dan lebih dekat lagi ke titik sedemikian sangat mendekati
namun tidak sampai mencapai . Dan seperti konsep limit pada fungsi peubah tunggal,
maka agar suatu limit ada maka fungsi tersebut mencapai suatu nilai yang sama dari segala
arah pendekatan yang ditempuh menuju . Masalahnya bila pada limit fungsi peubah
tunggal hanya ada 2 arah yaitu kiri dan kanan untuk mencapai batas x, maka pada fungsi
peubah ganda/dua ada banyak sekali bahkan tak hingga cara untuk menuju .
Gambar 3.1.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 45 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Dengan kata lain, untuk menunjukkan apakah limit suatu fungsi peubah ganda ada atau tidak
secara teknis perlu di cek melalui cara yang tak berhingga. Tetapi dengan menggunakan
konsep kontinuitas / kesinambungan fungsi hal tersebut tidak perlu dilakukan.
Definisi
Suatu fungsi adalah kontinu/sinambung pada titik jika,
Sehingga apabila diketahui suatu fungsi tidak kontinu dititik maka
adalah salah.
Tafsiran fisis secara geometris suatu fungsi kontinu bila graphik garis atau permukaan fungsi
tersebut tidak lubang atau terpotong pada titik tersebut.
Dalam kalkulus 1, bila kita mengetahui suatu fungsi adalah kontinu maka nilai limit fungsi
tersebut didapatkan dengan memasukkan nilai titik kedalam fungsi.
Semua fungsi standard yang kita ketahui kontinu tetap kontinu walaupun sekarang kita
memasukkan lebih dari satu variabel. Yang perlu diperhatikan adalah pembagian dengan 0,
akar bilangan negatif dan logaritma nol atau negatif.
Contoh 3.1.1. Tentukan apakah limit berikut ada atau tidak. Bila ada berapa nilai limit nya.
(a) (b)
(c) (d)
Jawab
(a) Fungsi diatas adalah kontinu pada titik yang diminta, sehingga kita tinggal memasukkan nilai
titik tersebut kedalam fungsi.
(b)
Dalam kasus ini fungsi tidak kontinyu sepanjang garis karena pada garis tersebut kita
akan mendapatkan nilai penyebut pembagian = 0. Tapi karena titik yang diminta (5,1) tidak
terdapat dalam garis tersebut, maka
(c) Dalam kasus ini fungsi tersebut tidak kontinyu pada titik yang diminta. Jadi tidak ada limit
pada titik tersebut.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 46 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Pendekatan sepanjang garis sumbu x,
Sepanjang garis sumbu y-axis.
Sepanjang garis . Didapat
Menunjukkan tidak ada limit.
(d) Fungsi tidak kontinyu pada titik yang diminta, jadi tidak ada limit.
Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan berbedanya nilai limit dengan pendekatan arah yang
berbeda. Kita coba dekati melalui sepanjang garis menuju (0,0) .
Kita coba dengan jalur . Didapat,
Nilai limit tidak ada, karena melalui pendekatan yang ada nilai limit berbeda.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 47 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.2. Turunan parsial
Prolog:
Diketahui sebuah fungsi peubah ganda dan akan ditentukan laju perubahan
fungsi pada titik . Penentuan laju perubahan dilakukan dua tahap; tahap pertama
dengan menahan y tetap (fixed) dan membolehkan x berubah kemudian pada tahp kedua
menahan x tetap dan membolehkan y berubah.
Tahap pertama kita menahan y=b dan membiarkan x bergerak, sehingga kita mendapatkan
Kita mendapatkan fungsi variabel tunggal dan menentukan laju perubahan g(x) pada x=a
dengan menghitung g(a) yaitu g(a) = 4a3.
adalah turunan parsial / partial derivative terhadap x pada titik dan
dinyatakan sebagai
Tahap kedua kita menahan x = a dan membiarkan y bergerak sehingga mendapatkan
adalah turunan parsial / partial derivative terhadap y pada titik dan we
dinyatakan sebagai
Kedua turunan diatas biasa disebut turunan parsial orde pertama / first order partial
derivatives.
Rumusan Formal :
Bila kita melakukan proses turunan parsial fungsi seperti diatas dengan tidak menggunakan
notasi tetapi dengan tetap menggunakan , kita dapat menuliskannya sebagai:
, = 43 dan , = 6
22, yaitu pertama menahan y tetap dan melakukan turunan terhadap x, setelah itu menahan x tetap dan melakukan turunan terhadap y.
Definisi formal dari kedua turunan parsial tsb adalah sbb.:
Berikut ini beberapa alternatif notasi untuk menyatakan turunan .
Untuk fungsi notasi berikut dapat digunakan sebagai turunan parsial :
Contoh 3.2.1. Dapatkan turunan parsial orde pertama untuk fungsi
(a) (b)
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 48 KALKULUS PEUBAH BANYAK
(c) (d)
Jawab :
(a)
(b)
(c)
Untuk memudahkan penurunan persamaan diatas ditulis ulang sebagai,
Petunjuk untuk turunan fungsi natural logarithms, gunakan .
(d)
Gunakan aturan rantai/chain rule yang pernah dipelajari di kalkulus 1 &2, dalam contoh ini
bagaimana menurunkan fungsi eksponensial.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 49 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Contoh 3.2.2. Dapatkan turunan parsial orde satu fungsi berikut ini:
(a) (b) (c)
Jawab:
(a)
(b)
(c) Dengan menggunakan prinsip aturan rantai/chain rule didapat,
Turunan implisit dalam turunan parsial
Dari contoh-contoh yang diberikan diatas, dengan menguasai turunan fungsi peubah tunggal
dari kalkulus 1 & 2 maka proses turunan parsial fungsi peubah banyak tidak sulit.
Selanjutnya akan dibahas proses turunan implisit dalam turunan parsial fungsi peubah
banyak.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 50 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Contoh 3.2.3. me- review turunan implisit pada fungsi peubah tunggal dan pada contoh
3.2.4. bagaimana penerapannya dalam fungsi peubah banyak.
Contoh 3.2.3. Dapatkan untuk persamaan .
Jawab:
Dengan selalu mengingat bahwa y adalah fungsi dari x, atau dan dengan demikian
setiap kali menurunkan suatu suku/term yang melibatkan y terhadap x maka diperlukan
untuk menggunakan aturan rantai, berarti perlu dituliskan pada suku/term tersebut.
Langkah ke 1: menurunkan suku/term yang ada pada sisi kiri dan kanan tanda( = )terhadap x.
Langkah ke-2: mendapatkan .
Perlakuan untuk proses turunan implisit fungsi peubah banyak, berlaku serupa dengan proses
turunan implisit pada fungsi peubah banyak. Dalam fungsi yang melibatkan variabel
x, y, dan z dan misal z adalah fungsi x dan y, . Maka ketika kita memproses
turunan z / differensiasi z terhadap x maka aturan rantai/chain rule digunakan dan
dituliskan . Demikian juga dalam proses turunan z / differensiasi z terhadap y maka
perlu ditulis.
Contoh 3.2.4. Dapatkan dan untuk fungsi berikut ini:
(a) (b)
Jawab:
(a)
Untuk mendapatkan . Kedua sisi kiri kanan persamaan kita turunkan terhadap x dengan
selalu menuliskan setiap kita menurunkan z.
Ingat karena maka setiap perkalian x dan z merupakan perkalian dua fungsi x
sehinga teorema aturan turunan perkalian fungsi harus dipakai.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 51 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Untuk mendapatkan .
Untuk mendapatkan dilakukan proses yang sama
.
(b)
Untuk mendapatkan .
Untuk mendapatkan .
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 52 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.3. Interpretasi Geometris Turunan Parsial
Dalam Kalkulus Peubah tunggal, adalah kemiringan (slope) dari garis singgung /
tangent line terhadap pada atau dapat juga dikatakan sebagai kemiringan
kuva pada x=a. Demikian juga, dan juga adalah kemiringan (slope)
dari garis singgung/tangent lines . Pada Kalkulus Peubah tunggal tangent line menyinggung
lengkungan kurva, dalam kalkulus peubah ganda kita tahu fungsi berupa bidang permukaan,
sehingga ada banyak garis singgung yang dapat menyinggung bidang permukaan pada suatu
titik. Jadi pertanyaannya turunan parsial fungsi ganda merepresentasi kemiringan sudut garis
singgung yang mana? Dalam hal ini turunan parsial adalah kemiringan garis singgung pada
traces atau dapat dikatakan kemiringan dari irisan/traces. (Untuk trace lihat lagi bab fungsi
multivariable)
Definisi traces: Bila level curve adalah irisan permukaan dengan bidang datar
, maka traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan
penampang irisan dengan bidang datar atau .
Jadi turunan parsial adalah kemiringan trace yaitu irisan dengan bidang
datar pada titik . Demikian juga partial derivative adalah
kemiringan trace yaitu irisan dengan bidang datar pada titik .
Contoh 3.3.1. : Dapatkan kemiringan traces untuk fungsi pada titik
.
Solusi
Gambar sketsa trace untuk irisan bidang dan adalah sbb.:
Gambar 3.2.
Turunan parsial fungsi adalah sbb.:
Dengan memasukkan titik singgung kedalam persamaan kita mendapatkan:
Jadi, garis singgung/ tangent line pada untuk irisan/trace permukaan
dengan bidang datar mempunyai kemiringan/slope sebesar -8. Dan garis singgung/
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 53 KALKULUS PEUBAH BANYAK
tangent line pada untuk irisan/ trace permukaan dengan bidang datar
mempunyai kemiringan sebesar -4.
Menentukan persamaan garis singgung dan bidang singgung fungsi peubah ganda.
Kita telah pelajari bahwa garis, bidang dalam 3 Dimensi dapat dinyatakan dalam tiga bentuk
persamaan:
1. bentuk vektor persamaan garis / vector form of the equation of a line. 2. bentuk parametric persamaan garis / parametric form of the equation of a line. 3. Bentuk simetrik persamaan garis / symmetric equations of the line.
Dalam bab Fungsi Vektor telah dibahas bahwa : Semua Fungsi Multivariabel dapat
dinyatakan dalam Fungsi Vektor !!!!!!!.
Untuk menyatakan persamaan suatu garis dalam bentuk vector, maka kita membutuhkan
suatu titik pada garis tersebut dan vector arah. Untuk menentukan titik dalam 3 D kita
memasukkan kedalam koodinat (a,b, f(a,b)).
Berikut kita menentukan garis singgung pada titik tersebut:
Bila kita mempunyai permukaan / surface yang dinyatakan dengan z= f(x,y), maka kita
dapat menyatakan nya dalam bentuk fungsi vector: , = , , = , , (, ) . Kita akan mendapatkan tangent vector dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap x ,
yang berarti dalam persoalan kita dengan mendifferensiasi fungsi irisan permukaan
, = , , = , , (, ) dengan bidang datar y=b. Irisan yang kita dapat adalah: , = , , = , , (, )
Vektor tangent untuk trace/irisan dengan y constant (y=b) adalah:
(, ) = 1,0, (, ) .
Dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap y , yaitu mendifferensiasi fungsi irisan
permukaan , = , , = , , (, ) dengan bidang datar x=a. Irisan yang kita dapat adalah: , = , , = , , (, ) Vektor tangent untuk trace/irisan dengan x constant (x=a) adalah:
(, ) = 0,1, (, ) .
Kedua tangent vector , = 1,0, , , (, ) = 0,1, (, ) yang didapat adalah vector arah yang dari garis singgung yang ingin dicari.
Persamaan garis singgung dengan irisan fungsi vector dan y=b adalah:
= , , (, ) + 1,0, (, ) Persamaan garis singgung dengan irisan fungsi vector dan x=a adalah:
= , , (, ) + 0,1, (, )
Menentukan bidang singgung:
Dalam bab persamaan bidang, persamaan bidang dinyatakan sebagai dot product:
. 0 = 0, dimana adalah vector normal bidang dan 0 adalah titik pada bidang. = , , , = , , , 0 = 0, 0, 0 , , . , , 0, 0 , 0 = 0 , , . 0 , 0, 0 = 0 0 + 0 + 0 = 0
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 54 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Dalam persoalan kita mencari bidang singgung, perlu dicari titik pada bidang 0 dan vector normal bidang . Titik pada bidang yang merupakan titik singgung dengan permukaan adalah: (a,b, f(a,b))
yang kita tuliskan (0 , 0, 0) . Vektor posisi 0 = 0, 0, 0 . Vektor normal didapat dengan perkalian silang (cross product) dari vector tangent: = x , sehingga didapat
=
1 0 0 1
= - - + 1 = , , 1
. 0 = 0 , , + 1 . 0, 0, 0 = 0
0 0 + 0 =0
Sehingga persamaan bidang singgung adalah : 0 = 0 + 0
Contoh 3.3.2.
Tuliskan persamaan bidang singgung dengan permukaan di titik .
Titik singgung adalah:
Persamaan garis singgung pada irisan/trace permukaan dengan bidang datar .
Persamaan garis singgung pada irisan/trace permukaan dengan bidang datar .
Bidang singgung:
= , , = 8,4,1 , sehingga persamaan bidang singgung : 8 0 + 4 0 + 0 = 0
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 55 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.4.Turunan parsial orde tinggi.
Untuk fungsi variable ganda, dapat diturunkan beberapa kali, misal turunan parsial
orde satu adalah fungsi dari x dan y, maka turunan itu bisa diturunkan lagi. Berikut ini notasi
yang digunakan :
Contoh 3.4.1. Dapatkan turunan orde dua untuk .
Turunan orde satu adalah:
Turunan orde satu diturunkan lagi sehingga didapat turunan orde dua:
Dari contoh diatas kita mendapatkan : . Hal ini bukan kebetulan dan untuk semua
kasus berlaku, dan hal ini dinyatakan dalam Teorema Clairut.
Teorema Clairaut
Bila f didefinisikan pada D dan memiliki titik . Bila fungsi dan adalah
kontinu pada D maka,
Contoh 3.4.2. Verifikasi Teorema Clairaut untuk .
Keduanya sama.
Teorema Clairut dapat diperluas untuk turunan orde ketiga dan seterusnya untuk orde yang
lebih tinggi.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 56 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Sehingga
Teorema ini juga berlaku tidak hanya untuk fungsi variable ganda, tetapi juga untuk fungsi
variable 3 , 4 dan seterusnya (multivariable umumnya).
Sehingga bila memenuhi syarat kontinu berlaku Secara umum bila memenuhi syarat kontinuitas, Teorema Clairut berlaku untuk fungsi
multivariable dan turunan orde tinggi.
Contoh 3.4.3. (a) Dapatkan untuk
(b) Dapatkan untuk
Jawab
(a) , , , ,
(b) , ,
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 57 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.5. Differentials
Diketahui fungsi maka differential dz atau df adalah :
dz = dx + dy atau df = dx + dy
Rumusanl diatas dapat diperluas kefungsi variable 3 atau lebih..
Contoh diketahui fungsi maka differential dw adalah:
Contoh 3.5.1. Hitung differential untuk fungsi berikut ini
(a)
(b)
(a)
(b)
Catatan : Terkadang differential disebut juga total differentials.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 58 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.6. Aturan Rantai Berikut notasi pada single variable, yang menyatakan bila F fungsi x yang dapat dinyatakan
sebagai F fungsi dari g dan g fungsi dari x , maka turunannya dinyatakan sebagai F(x)
dengan rumusan:
Notasi alternatif adalah sbb.:
Bila y = f(x) dan x = g(t) maka
=
Untuk fungsi dua variabel, ada beberapa kemungkinan.
Kasus 1 : , , diminta untuk menghitung .
Aturan rantai untuk kasus ini adalah sbb.:
Contoh 3.6.1. Hitung untuk (a) , ,
(b) , ,
Solution
(a) , ,
Dengan men substitusi x dan y dengan t kita mendapatkan:
Soal diatas lebih mudah dikerjakan dengan mensubstitusi x dan y dengan t dari awal,
pengerjaan diatas adalah untuk menunjukkan penggunaan aturan rantai.
Dengan mensubstitusi x dan y dengan t dari awal, kita mendapatkan:
Hasilnya sama.
(b) , ,
Dalam kasus ini menggunakan aturan rantai akan lebih mudah daripada mensubstitusi x dan
y dari awal.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 59 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Berikut ini variasi dari kasus, dimana
Maka aturan rantai untuk adalah:
Dimana :
Contoh 3.6.2. Hitung untuk ,
Kasus 2 : , , dan diminta dan .
Contoh 3.6.3. Dapatkan dan untuk , , .
Aturan rantai untuk .
Aturan rantai untuk .
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 60 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Berikut ini rumusan umum Aturan Rantai
Jika z adalah fungsi n variabel, , dan variabel tersebut adalah fungsi dari m
variabel, . Maka untuk setiap variabel , maka:
Untuk memudahkan pengerjaan aturan rantai untuk setiap situasi maka diagram pohon
sebaiknya digunakan.
Contoh penggunaan diagram pohon dalam pengerjaan aturan rantai / chain rule untuk
diketahui bahwa , , .
Berikut diagram pohon untuk kasus ini:
=
+
=
+
Contoh 3.6.4. Gunakan tree diagram untuk menuliskan chain rule untuk turunan.
(a) untuk , , , dan
(b) untuk , , ,dan
(a)Diagram pohon untuk dimana , , , dan
Sehingga:
(b) Diagram pohon untuk
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 61 KALKULUS PEUBAH BANYAK
dimana , , dan
Sehingga :
Contoh 3.6.5. Dapatkan untuk bila dan .
Solution Turunan pertama:
Turunan kedua :
Dengan menggunakan aturan perkalian turunan didapat:
Kita perlu menentukan dan .
Kita menulis ulang hasil aturan rantai pertama, sebagai:
(1)
Rumusan persamaan (1) diatas dapat ditafsirkan sebagai rumusan untuk men differensiasi
sembarang fungsi x dan y terhadap yang memenuhi syarat dan .
Dan kita tahu bahwa turunan parsial orde satu, dan , adalah fungsi x dan y dan syarat
dan berlaku, sehingga kita dapat menggunakan persamaan (1) dengan
mensubstitusi f dengan
dan
:
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 62 KALKULUS PEUBAH BANYAK
persamaan (1)
Sehingga kita dapat menghitung .
Dan dapat menghitung .
Dengan memasukkan dan kedalam persamaan yang telah didapat:
Kita mendapatkan:
Turunan Implisit.
Suatu fungsi dituliskan dalam bentuk dimana . Untuk mendapatkan
dengan mendifferensi sehingga didapat :
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 63 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Contoh 3.6.6. Dapatkan untuk .
Persamaan diatas dituliskan dalam bentuk F(x,y) = 0.
Sehingga dengan menggunakan formula
=
diperoleh
Untuk kasus fungsi dituliskan dalam dimana z = f (x,y) ,dicari dan .
Untuk mendapatkan maka dilakukan differensiasi terhadap x dan memperlakukan y
sebagai konstan. Kita melakukan pernurunan dengan menggunakan aturan rantai, sehingga
didapat:
Dengan memasukkan
= 1 dan
= 0 kedalam persamaan didapat:
Contoh 3.6.7. Dapatkan dan untuk .
Persamaan diatas dituliskan dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Maka
sehingga
Dan sehingga
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 64 KALKULUS PEUBAH BANYAK
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 65 KALKULUS PEUBAH BANYAK
3.7. Turunan Berarah
Turunan parsial dan , menyatakan laju perubahan dari f bila kita merubah
x (dengan menahan y tetap) dan merubah y (dengan menahan x tetap). Pada bagian ini kita
akan mempelajari bagaimana perubahan f bila kita membolehkan x dan y berubah bersamaan.
Ada banyak cara untuk membolehkan x dan y berubah bersamaan. Misalnya x berubah lebih
cepat dari y. Misalnya pada suatu titik . Kita merubah x dengan laju positif dua kali
lebih cepat dari laju perubahan positif y.
Dalam turunan parsial kita mendefinisikan bahwa laju perubahan f yang dinyatakan dengan
adalah dalam arah vector 1,0 , sedangkan laju perubahan f yang dinyatakan dengan
adalah dalam arah vector 0,1 . Dan misalnya ingin diketahui laju perubahan f
dalam arah . Ada banyak vektor yang menyatakan arah 2,1 , bisa vektor
,
Maka agar tetap konsisten maka kita nyatakan vektor arah perubahan dinyatakan dalam unit
vektor. Definisi unit vektor adalah vektor yang memiliki panjang =1.
Bila kita mempunyai vektor , maka panjang vektor (magnitude) dinyatakan
sebagai : .
Jadi untuk contoh , unit vektor yang panjang =1 dan arah yang sama adalah 2
5,
1
5 .
Terkadang kita menyatakan arah perubahan x dan y sebagai suatu sudut. Misalnya, berapa
laju perubahan f dalam arah .
Unit vektor yang mewakili arah ini adalah: .
Berikut definisi dari Turunan Berarah:
Definisi
Laju perubahan dalam arah vektor unit disebut turunan berarah dan
ditulis dengan notasi . Definisi dari turunan berarah adalah,
Definisi diatas secara teknis dan praktis akan sangat sulit menghitung limitnya. Perlu dicari
suatu cara agar dapat lebih mudah menghitung turunan berarah.
Berikut ini diuraikan proses penurunan suatu rumusan yang lebih praktis untuk menghitung
directional derivatives.
Suatu fungsi peubah tunggal didefinisikan :
dimana , , a , dan b adalah suatu bilangan tetap.
Maka berdasarkan definisi turunan fungsi perubah tunggal didapat,
dan turunan pada adalah:
Bila kita substitusi didapat,
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 66 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Jadi kita mendapatkan hubungan sbb.:
(1)
Bila ditulis ulang sebagai:
Dari aturan rantai didapat:
(2)
Dengan memasukkan didapat dan sehingga bila kita masukkan
kedalam persamaan (2), kita mendapatkan :
(3)
Persamaan (1) sama dengan persamaan (3), sehingga:
Bila 0 dan 0 disubstitusi dengan x dan y (sebagai variabel) kita mendapatkan rumus / formula sbb. :
Rumusan diatas lebih praktis dan sederhana dari definisi limit turunan berarah.
Rumusan yang sama dapat diperluas untuk fungsi lebih dari 2 variabel.
Misal untuk fungsi , turunan berarah dari dalam arah unit vektor
adalah,
Contoh 3.7.1. Tentukan turunan berarah untuk soal dibawah ini .
(a) dimana dan adalah unit vektor dengan arah .
(b) dimana dengan arah .
Jawab :
(a) . Unit vektor arah adalah:
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 67 KALKULUS PEUBAH BANYAK
Jadi,
Dengan memasukan titik (2,0) kepersamaan didapat:
(b) Perlu dicari unit vektor arah, vektor dicari panjangnya.
Jadi vektor diatas bukan unit vektor. Sehingga perlu vektor arah tersebut
dikonversi menjadi unit vektor arah, yaitu dengan membaginya dengan panjang vektor,
sehingga didapat:
Maka turunan berarah adalah:
Rumusan turunan berarah dapat dituliskan dalam beberapa versi :
Turunan berarah ditulis sebagai dot product antara gradient vektor f dengan unit vektor arah
. Dimana gradient f atau gradient vektor f didefinisikan sebagai,
= , , atau = , Atau bila menggunakan notasi basis vektor dituliskan:
= + + atau = + +
Dengan definisi gradient , maka turunan berarah dapat dituliskan sebagai:
Atau juga dengan notasi sbb.: dimana atau
Contoh 3.7.2. Tentukan turunan berarah.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 68 KALKULUS PEUBAH BANYAK
(a) untuk dalam arah .
(b) untuk at arah
.
Solusi
(a)
Jadi :
(b)
Unit vektor arah:
Jadi, directional derivative pada titik yang dimaksud adalah:
Teorema 1
Nilai maximum dari (atau laji perubahan maximum fungsi ) adalah
dan terjadi dalam arah .
Bukti
Karena adalah unit vector, bentuk perkalian titik adalah
dimana adalah sudut antara gradient dan .,
maka nilai maximum yang mungkin adalah pada nilai = 1 yaitu pada . Jadi nilai
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 69 KALKULUS PEUBAH BANYAK
maximum adalah dan terjadi pada sudut antara gradient dan adalah
nol, dengan kata lain pada kondisi mempunyai arah yang sama dengan gradient, .
Contoh 3.7.3. Misalkan ketinggian bukit diatas permukaan laut dinyatakan dalam fungsi
. Pada titik dalam arah manakah yang paling menanjak
atau menurun ? Berapakah nilai maximum kemiringan pada titik ini?
Jawab Persamaan fungsi diatas menunjuk pada bentuk elliptic paraboloid dengan mulut terbuka
kebawah.
Perubahan maximum laju perubahan kemiringan adalah pada
Nilai kemiringan maximum pada titik ini adalah,
Vektor arah , mempunyai kedua komponen negative artinya arah perubahan
maximum adalah kearah pusat.
Teorema 2
Vektor gradient adalah orthogonal (atau tegak lurus) terhadap level curve
pada titik . Demikian juga, vektor gradient adalah
orthogonal terhadap level surface pada titik .
Bukti
Bila S adalah level surface yang dinyatakan dan bila dimana P
ada di S. Dan bila C adalah suatu kurva pada S dan melewati P , yang dinyatakan dalam
bentuk persamaan vektor . Sehingga pada t = sehingga
, yaitu vektor posisi P . Dan karena C ada pada S sehingga setiap titik
pada C harus memenuhi persamaan S. Yaitu,
Dengan menerapkan Aturan Rantai / Chain Rule didapat kan :
(4)
dan sehingga persamaan (4) menjadi,
At, this is,
Perkalian titik diatas menyatakan, bahwa vektor gradient pada P , , adalah
orthogonal terhadap vektor tangent , , untuk setiap kurva C yang melewati P dan
terletak pada permukaan S dan karena itu harus juga orthogonal terhadap permukaan S.
-
Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 70 KALKULUS PEUBAH BANYAK