pertemuan 4– analisis post optimal

Pertemuan 4– Analisis Post Optimal

Riset Operasional - dewiyani

1

PENGANTAR Setelah solusi optimal ditemukan, sebaiknya

tidak berhenti untuk menganalisis model yang telah dibuat,agar didapat informasi lain yang lebih berguna.

Analisis yang diperlukan agar didapat informasi lain, dinamakan Analisis Post Optimal

Terdapat 2 macam Analisis Post Optimal, yaitu Analisis Dualitas, Analisis Sensitivitas.

Analisis Dualitas Dilakukan dengan merumuskan dan

menginterpertasikan bentuk dual dari model. Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model LP yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai sumber yang biasanya berfungsi sebagai batasan model.

Setiap model LP mempunyai 2 bentuk, yaitu primal dan dual. Bentuk primal adalah bentuk asli, sedang bentuk dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari bentuk primal.

Bentuk dual berguna untuk melihat alternatif permasalahan dari sisi yang berbeda. Jika dalam suatu permasalahan, bentuk primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba, maka bentuk dualnya akan menghasilkan informasi mengenai nilai dari sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Kegunaan utama dari model dual adalah untuk mendapatkan informasi tentang sumber daya yang terdapat dalam model. Analisis model dual diperlukan karena terkadang pengambil keputusan tidak hanya menaruh perhatian pada laba/rugi, namun juga pada penggunaan sumber daya.

Jika Fungsi tujuan primal adalah model maksimasi, yang mempunyai bentuk pertidaksamaan dengan tanda , maka bentuk dualnya merupakan suatu model minimasasi dengan pertidaksamaan yang mempunyai tanda , dan sebaliknya.

Hubungan antara primal-dual Variabel dual Y1,Y2,Y3 berhubungan dengan

batasan model primal, dimana untuk setiap batasan dalam primal, terdapat satu variabel dual.

Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan dalam model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual.

Koefisien batasan model primal merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidak samaan pada model dual.

Pada bentuk standard, model maksimalisasi primal memiliki batasan , sedangkan model minimasi dual memiliki batasan .

Contoh 1Sebuah perusahaan manufaktur memproduksi produk A dan produk B yang dihitung atas dasar harian. Tiap produk A yang diproduksi menghasilkan keuntungan sebesar $160, sedangkan tiap produk B menghasilkan keuntungan sebesar $200. Produksi produk A dan produk B ini tergantung pada tersedianya sumber yang terbatas, yaitu tenaga kerja, bahan baku, dan luas gudang. Kebutuhan sumber untuk memproduksi produk A dan produk B, serta jumlah total sumber yang tersedia, adalah sbb

Kebutuhan sumber Sumber Produk A Produk B Jml yang tersedia/hari

Tenaga Kerja 2 jam 4 jam 40 jam Bahan Baku 18 kg 18 kg 216 kg Luas Gudang 24 m2 12 m2 240 m2 Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak jumlah produk A dan produk B yang harus diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan.

Bentuk Primal Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2 Fungsi batasan : 2x1 + 4x2 40 18x1 + 18x2 216 24 x1 + 12x2 240 x1,x2 0Bentuk Dual Fungsi tujuan : Meminimalkan W= 40 y1+216 y2+240 y3 Fungsi batasan : 2 y1+18y2+ 24y3 160 4y1 +18y2 + 12y3 200 y1,y2,y3 0

Contoh 2:Bentuk PrimalFungsi tujuan : Meminimalkan Z = 6x1 + 3x2Fungsi batasan : 2x1 +4x2 16 4x1 + 3x2 24 x1,x2 0Bentuk Dual Fungsi tujuan : Memaksimalkan W = 16y1 +24y2Fungsi batasan : 2y1 + 4y2 6 4y1 + 3y2 3 y1,y2 0

Menginterpretasikan model primal

(Lihat Contoh 1)

Solusi optimal dari model primalnya adalah sbb :

Jumlah produk A yang diproduksi adalah x1 = 4 Jumlah produk B yang diproduksi adalah x2 = 8 Sisa luas gudang adalah S3 = 48 m2

160 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8 0 1 0.5 -1/18 0160 x1 4 1 0 -1/2 1/9 00 s3 48 0 0 6 -2 1

zj 2240 160 200 20 20/3 0cj-zj 0 0 -20 -6.66667 0

cj var basis kuantitas

Nilai baris cj-zj di bawah kolom S1 adalah -20. Nilai ini menunjukkan harga bayangan (shadow prizes=nilai marginal) dari batasan ke 1 (tenaga kerja). Ini berarti jika tenaga kerja ditambah 1 jam akan menambah laba sebesar $20

Nilai baris cj-zj di bawah kolom S2 adalah -20/3. Nilai ini menunjukkan harga bayangan (shadow prizes) dari batasan ke 2 (bahan baku)

Laba yang diperoleh adalah sebesar $2240 Untuk batasan ke 3 (luas gudang) pada tabel

optimal terlihat bahwa nilai S3 pada baris cj-zj bernilai nol, artinya bahwa gudang memiliki shadow prizes sebesar nol, yang berarti tidak akan ada pembayaran tambahan untuk 1 m2 luas gudang.

x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8 0 1 0.5 -1/18 0160 x1 4 1 0 -1/2 1/9 00 s3 48 0 0 6 -2 1

zj 2240 160 200 20 20/3 0cj-zj 0 0 -20 -20/3 0


Menginterpretasikan model dual

40 216 240 0 0y1 y2 y3 s1 s2

216 y2 20/3 0 1 2 -1/9 1/1840 y1 20 1 0 -6 1/2 -1/2

zj 2240 40 216 192 -4 -8cj-zj 0 0 -48 -4 -8


Solusi optimal dari model dual adalah:

• Nilai marjinal dari sumber daya ke 2 (bahan baku) adalah 20/3

• Nilai marjinal dari sumber daya ke 1 (tenaga kerja) adalah 20

• Nilai total minimal untuk sumber adalah 2240

Dari batasan dual yang pertama, yaitu 2y1+18y2+24y3 160 laba per produk A. Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk A, paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk A.

Dari batasan dual yang kedua, yaitu 4y1+18y2+12y3 200 laba per produk B. Artinya nilai dari ketiga sumber yang digunakan untuk memproduksi produk B, paling sedikit harus sebesar laba yang diperoleh dari produk B.

Fungsi tujuan untuk model dual adalah meminimalkan Z = 40y1+216y2+240y3, ini berarti nilai total sumber-sumber daya (jam tenaga kerja, bahan baku, gudang) adalah sebesar : 40.20 + 216 .20/3 + 240.0 = 2240. Artinya, nilai total minimal untuk kebutuhan sumber adalah 2240.

Analisis Sensitivitas Pada masalah sebelumnya, selalu diasumsikan

bahwa parameter dari model ( diantaranya, koefisien fungsi tujuan, nilai kuantitas dari pertidaksamaan fungsi batasan, dan koefisien batasan ), selalu dianggap pasti, pdhl dalam kenyataannya tidak selalu demikian, karena kadang bisa berubah, untuk itu biasanya si pembuat keputusan ingin mengetahui dampak yang terjadi pada solusi model, jika parameternya diubah. Analisis terhadap perubahan parameter dan dampaknya terhadap solusi optimal model disebut Analisis Sensitivitas.

Akan dibicarakan analisis dari dampak perubahan pada koefisien fungsi tujuan dan nilai kuantitas dari pertidaksamaan fungsi batasan.

Analisis dari dampak perubahan koefisien fungsi tujuan Perhatikan contoh 1 : Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2

Fungsi batasan :

2x1 + 4x2 40

18x1 + 18x2 216

24 x1 + 12x2 240

x1,x2 0Pertanyaan :

a. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 170, berapa laba yang didapat ?

b. Jika laba untuk produk A (x1) dinaikkan menjadi 220, berapa laba yang didapat ?

c. Berapa range pada perubahan koefisien fungsi tujuan dapat dilakukan, tanpa mempengaruhi solusi optimalnya?

Jawab:

a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada fungsi tujuan, tidak perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat diubah langsung pada tabel optimalnya saja, yaitu dengan cara :

Laba optimal berubah menjadi $2280

170 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8 0 1 0.50 - 1/18 0170 x1 4 1 0 -0.5 1/9 00 s3 48 0 0 6 -2 1

zj 2280 170 200 15 7 7/9 0cj-zj 0 0 -15 -7 7/9 0


b. Jika laba A terus dinaikkan menjadi $220, maka yang akan terjadi adalah :

Dari tabel optimal terlihat jika laba dinaikkan menjadi $220, maka keadaan optimal tidak terpenuhi lagi, karena pada baris cj-zj terdapat nilai positif.

Untuk itu, pada soal c, akan diselidiki seberapa jauh (range) perubahan yang dapat dilakukan agar keadaan tetap optimal

220 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8 0 1 0.50 - 1/18 0220 x1 4 1 0 -0.5 1/9 00 s3 48 0 0 6 -2 1

zj 2480 220 200 -10 13 1/3 0cj-zj 0 0 10 -13 1/3 0


c. Andaikan perubahan (penambahan/pengurangan) sebesar ∆, maka laba untuk produk A menjadi 160 +∆, sehingga tabel optimal menjadi :

Agar solusi tetap optimal, maka nilai dari cj-zj harus tetap negatif, sehingga syarat agar solusi tetap optimal adalah:

i. -20+∆/2 < 0 atau ∆ < 40 ii. -20/3-∆/9< 0, atau ∆ > -60

160+∆ 200 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8 0 1 0.5 -1/18 0160+∆ x1 4 1 0 -1/2 1/9 0

0 s3 48 0 0 6 -2 1zj 2240+4∆ 160+∆ 200 20-∆/2 20/3+∆/9 0

cj-zj 0 0 -20+∆/2 -20/3-∆/9 0


Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, atau ∆ = c1-160. Dengan mensubstitusikan nilai c1-160 pada ∆, akan diperoleh :

i. ∆ < 40 , c1-160 < 40, c1 < 200

ii. ∆ > -60, c1-160 > -60, c1 >100

Sehingga nilai range c1 agar solusi tetap optimal adalah :

100 < c1 < 200

Coba selidiki range untuk laba produk B !!!!

Analisis dari dampak perubahan pada nilai kuantitas batasan Perhatikan contoh 1 : Fungsi tujuan : Memaksimalkan Z = 160 x1 + 200 x2 Fungsi batasan : 2x1 + 4x2 40 jam tenaga kerja 18x1 + 18x2 216 kg bahan baku 24 x1 + 12x2 240 m2 luas gudang x1,x2 0Pertanyaan :a. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 35, berapa

laba yang didapat ?b. Jika jam untuk tenaga kerja diturunkan menjadi 30, berapa

laba yang didapat ?c. Berapa range pada perubahan nilai kanan fungsi batasan

dapat dilakukan, tanpa mempengaruhi solusi optimalnya?

a. Untuk menentukan laba optimal jika terjadi perubahan pada nilai kanan fungsi batasan, tidak perlu diubah dari iterasi 0, tetapi dapat diubah langsung pada tabel optimalnya saja, yaitu dengan cara :

160 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8+(-5).1/2) 0 1 0.5 -1/18 0160 x1 4+(-5).(-1/2) 1 0 -1/2 1/9 00 s3 48+(-5).6 0 0 6 -2 1

zjcj-zj


atau160 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 5 1/2 0 1 0.50 -1/18 0160 x1 6 1/2 1 0 - 1/2 1/9 00 s3 18 0 0 6 -2 1

zj 2140 160 200 20 60/9 0


Dari tabel optimal dapat dilihat, jika jumlah jam tenaga kerja diturunkan menjadi 35, maka laba juga akan turun menjadi $ 2140.

160 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8+(-10).1/2) 0 1 0.5 -1/18 0160 x1 4+(-10).(-1/2) 1 0 -1/2 1/9 00 s3 48+(-10).6 0 0 6 -2 1

zj 2240cj-zj


atau160 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 3 0 1 0.50 -1/18 0160 x1 9 1 0 - 1/2 1/9 00 s3 -12 0 0 6 -2 1

zj 2040 160 200 20 60/9 0cj-zj 0 0 -20 -6 2/3 0


b. Jika jam tenaga kerja diturunkan lagi menjadi 30, maka :

Karena nilai kuantitas menjadi negatif, maka tdk memenuhi syarat sebagai simpleks.

c. Andaikan perubahan (penambahan/pengurangan) pada nilai kanan fungsi batasan menjadi 40 +∆, maka tabel optimal menjadi :

Agar syarat simpleks tetap berlaku, maka harus memenuhi: i. 8 + ∆/2 0, atau ∆ -16 ii. 4 - ∆/2 0, atau ∆ 8 iii. 48 + 6∆ 0, atau ∆ -8

160 200 0 0 0x1 x2 S1 S2 S3

200 x2 8+∆/2 0 1 0.5 -1/18 0160 x1 4-∆/2 1 0 -1/2 1/9 00 s3 48+6∆ 0 0 6 -2 1

zj 2240+20∆ 160 200 20 20/3 0cj-zj 0 0 -20 -6.66667 0


Karena q1 = 40 + ∆, atau ∆ = q1 – 40, maka jika disubstitusikan menjadi :

i. ∆ -16, atau q1 – 40 -16, atau q1 24 ii. ∆ 8, atau q1 – 40 8, atau q1 48 iii. ∆ -8, atau q1 – 40 -8, atau q1 32Sehingga : 32 q1 48

Bagaimana untuk nilai kanan batasan kedua???

Perusahaan pembuat anggur Mountain Laurel, menghasilkan 2 jenis minuman anggur (wine), yaitu Mountain Blanc dan Mountain Red. Perusahaan itu mempunyai stok buah anggur sebanyak 3.600 kg . Untuk membuat sa tu drum Mountain Blanc , dibutuhkan 4 kg buah anggur, satu drum Mountain Red dibutuhkan 8 kg anggur . Gudang penyimpanan yang ada mempunyai kapasitas sebesar 800drum. Perusahaan tersebut mempunyai tenaga kerja yang setara dengan kapasitas kerja sebanyak 3. 000 jam tenaga kerja. Untuk membuat Mountain Blanc diperlukan waktu sebanyak 1 jam kerja dan Mountain Red sebanyak 2 jam kerja. Berdasar data penjualan yang lalu dapat diketahui bahwa permintaan untuk Mountain Blanc tidak lebih banyak dari dua kali tingkat permintaan jenis anggur yang lain. Untuk setiap drum Mountain Blanc yang terjual, didapatkan profit sebesar $ 7.500 dan untuk Mountain Red sebesar $ 8.200

a. Buatlah formulasi model dari permasalahan di atas, agar dapat memaksimalkan laba yang didapat oleh pembuat anggur.

b. Apabila tabel optimalnya diketahui sebagai berikut : 7.500 8.200 0 0 0 0 cj

Var.basis Kuantitas X1 X2 S1 S2 S3 S4 7.500 X2 225 0 1 0,0625 0 0 -0.25

0 S2 125 0 0 -0,1875 1 0 -0.25 0 S3 2.100 0 0 -0,25 0 1 0

8.200 X1 450 1 0 0,125 0 0 0.5 zj 5.220.000 7.500 8.200 1.450 0 0 1.700 cj-zj 0 0 -1.450 0 0 -1.700

i. Tentukan berapa ton masing masing anggur harus diproduksi agar mencapai laba yang maksimal, dan berapa laba maksimalnya ?

ii. Bila perusahaan berencana untuk menurunkan tingkat profit Mountain Red menjadi $ 7.600, adakah akibatnya terhadap Solusi Optimal ? Jelaskan

iii. Bila perusahaan berencana untuk menaikkan stok buah anggur menjadi 4.000 kg, adakah akibatnya terhadap Solusi Optimal ? Jelaskan

iv. Sumber daya manakah yang tersisa, dan berapakah sisanya?

v. Bila perusahaan dapat menambah satu unit dari salah satu sumber daya produksi yang ada, sumber daya mana sajakah yang paling menguntungkan untuk ditambah ? Jelaskan jawaban Anda.

pertemuan 4– analisis post optimal

Documents