pertemuan 09 transformasi z lanjutan

PERTEMUAN 09

TRANSFORMASI Z (Lanj.)

9.1 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Terdapat berbagai metode untuk mendapatkan bentuk rumus (closed-form) bagi

transformasi-Z dari suatu barisan yang diketahui. Dalam bagian ini, akan dikembangkan

beberapa sifat penting dari transformasi-Z yang dapat digunakan untuk menentukan X(z)

dari {xk} dan dalam persoalan invers (pembalikan) untuk mendapatkan {xk} dari X(z) yang

diketahui. Penulisan di bawah ini kita

gunakan untuk menunjukkan bahwa "barisan {xk} memiliki transformasi-Z X(z)".

9.1.1 Kelinearan

Transformasi-Z adalah suatu operasi linear, yakni:

(9.1)

Jadi, jika suatu barisan yang diketahui dapat dituliskan sebagai suatu jumlah dari

barisan-barisan sederhana, maka transformasinya dapat dicari dengan menjumlahkan

transformasi-transformasi sederhana yang bersangkutan.

Dengan menggunakan transformasi: , didapati:

, dan ,

Dampak bahwa daerah konvergen mutlak bagi transformasi dari beberapa barisan

adalah barisan daerah konvergen mutlak dari masing-masing barisan.

9.1.2 Pergeseran

Misalkan {xk} ↔ X(z). Disini akan dicari transformasi-Z dari yang berhubungan

dengan suatu versi mundur (sebanyak ko langkah) dari {xk} jika tanda minus digunakan,

atau versi maju dari {xk} jika tanda plus digunakan. Berdasarkan pada definisi:

(9.2)

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Dr. Ir. Hamzah Hillal M.ScSistem Linier

1

Penerapan khas dari teorema ini adalah dalam penentuan suatu keluaran sistem

apabila persamaan beda dan masukannya u diketahui. Sebagai contoh, misalkan sistem

dilukiskan oleh:

(9.3)

Dengan mengambilkan transformasi-Z suku-demi-suku dalam persamaan ini,

maka diperoleh:

atau

yang memberikan hasil:

Selanjutnya, dengan mengetahui U(z), maka Y(z) dapat dicari dan, melalui suatu

transformasi invers, maka barisan yk dapat ditemukan. Sebagai contoh, jika

dalam kasus di atas, maka diperoleh dan

yang mana dapat dituliskan sebagai

Dengan mengambilkan transformasi inversnya suku-demi-suku (yakni,

menerapkan kembali sifat kelinearan dari transformasi-Z), maka diperoleh:

(9.4)

Perhatikan bahwa daerah konvergen mutlak

secara implisit dianggap

berlaku agar yk bersisi-satu ke kanan, sebagaimana ditentukan dari alasan fisisnya.

Suatu kasus khusus dari penerapan ini adalah jika yang menghasilkan


2

. Perhatikan bahwa H(z), yakni transformasi-Z dari hk didapati secara langsung dari

koefisien-koefisien yang mendefinisikan persamaan beda. Bagi sistem yang baru saja

ditinjau, diperoleh:

Dengan menganggap bahwa sistemnya bersifat kausal maka diperoleh bahwa

daerah konvergen mutlak adalah . Selanjutnya dengan menggunakan sifat-sifat

kelinearan dan pergeseran maka diperoleh:

Perhatikan bahwa syarat-syarat awalnya telah diambil sama dengan nol dalam

menemukan yk dan hk di atas melalui penerapan sifat pergeseran. Pemilihan suatu sistem

yang pada awalnya tak terangsang ini adalah perlu jika hubungan masukan-keluaran dari

sistem harus memenuhi aturan superposisi. Ingatlah kembali bahwa h adalah tanggapan

dari suatu sistem yang pada awalnya tak terangsang terhadap suatu masukan impuls.

9.1.3 Pergeseran (Transformasi Satu Pihak)

Definisi transformasi-Z dapat dirubah sedikit sehiligga syarat-syarat awal dapat ditangani

secara langsung dalarn suatu persamaan beda seperti (9.4). Andaikan bahwa batas

terbawah pada penjumlahan (8.1) dirubah menjadi k = 0. Penetapan ini mendefinisikari

suatu transformasi baru, yang akan disebut transformasi-Z satu-sisi, atau satupihak

(unilateral), yang didefinisikan sebagai berikut:

(9.5)

Mari menerapkan transformasi satupihak ini pada suatu barisan tergeser. Dengan

mengambilkan ko taknegatif, pertama barisan mundur ditinjau:

(9.6)


3

Jadi, sebagai contoh, jika = 2 adalah suatu syarat awal pada (9.3) dengan

seperti sebelumnya, maka diperoleh:

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan dan kumpulkan suku-

sukunya maka diperoleh:

yang mana menghasilkan:

Suku pertama di ruas kanan adalah tanggapan yang hanya disebabkan oleh u.

Suku kedua adalah tanggapan yang hanya disebabkan oleh syarat awal. Jadi keluaran

yang diperoleh merupakan jumlah dari dua barisan: tanggapan dari suatu sistem yang

pada awalnya tak terangsang terhadap u ditambah pemecahan homogen bagi syarat-

syarat awal yang diberikan, yakni

dimana

seperti yang didapati pada (9.4), dan

Dengan menjumlahkan, seluruh pemecahannya diperoleh sebagai berikut:


4

Sekarang marilah meninjau transformasi-Z satu pihak dari suatu barisan maju.

Dengan mengambilkan lagi ko, maka diperoleh:

(9.7)

Kembali ke contoh sebelumnya, persamaan yang diberikan dapat dituliskan

kembali dalam bentuk berikut:

dimana

Dengan menggunakan syarat awal yang diberikan y-1 = 2, maka

diperoleh Dengan menerapkan tranformasi satupihak pada persamaan

ini, diperoleh

yang mana menghasilkan:

seperti sebelumnya.


5

9.1.4 Perkalian Dengan k

Misalkan dan andaikan bahwa diingin untuk mencari transformasi dari Dari

definisi transformasi-Z diperoleh:

(9.8)

Penukaran penjumlahan dan diferensiasi dalam (9.8) diperkenankan karena selalu

dapat menurunkan atau mengintegrasikan suku-per-suku suatu deret pangkat dalam

daerah konvergensinya untuk memperoleh turunan atau integral dari deret pangkat itu.

Turunan dan integral dari suatu deret pangkat adalah pula suatu deret pangkat yang lain

dengan daerah konvergensi yang sama.

Hasil di atas dapat diperluas ke perkalian dengan sebarang pangkat positif dari k.

Jadi, dengan penalaran yang sama, pasangan transfromasi diperoleh:

(9.9)

Penulisan berarti

Pasangan transformasi di atas berlaku untuk transformasi satu-sisi maupun dua-

sisi.

Sifat ini dapat digunakan untuk memperluas tabel transformasi-Z. Dengan menulis

kembali bahwa:

maka diperoleh bahwa:

Dengan menerapkan sifat-sifat kelinearan dan pergeseran pada hasil ini, didapati

bahwa:


6

(9.10)

Perhatikan bahwa barisan ini tetap kausal, karena Jadi dapat

pula menggunakan batas terbawah .

Dengan melanjutkan, didapati bahwa:

yang mana darinya diperoleh:

dan (9.11)

dengan penalaran yang sama seperti di atas.

Untuk barisan ukur (geometric sequence) yang satu sisi ke kiri, dimulai dengan

(9.12)

untuk memperoleh

yakni,

(9.13)

Dengan meneruskannya, diperoleh yakni,

(9.14)

Perhatikan bahwa dipilih untuk keseragaman dalam pernyataan-

pernyataannya. Dapat pula menuliskan dalam (9.13) dan atau

dalam (9.14) yang semuanya adalah sah.


7

9.1.5 Pembagian Oleh k+a

Akan didapati bahwa adalah juga bermanfaat untuk memperoleh suatu pasangan

transformasi bagi , di mana a adalah sebarang bilangan riil. Misalkan X(z)

adalah transformasi-Z dari {xk}, maka menurut definisinya:

(9.15)

Perhatikan bahwa dalam pernyataan ini dapat diperlakukan seolah-olah adalah

suatu variabel riil.


8

pertemuan 09 transformasi z lanjutan

Documents