persamaan-kuadrat-fungsi-kuadrat-pertidaksamaan-kuadrat.doc
TRANSCRIPT
1
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Persamaan Kuadrat
a. Bentuk Umum Persamaan KuadratMisalkan a,b,c R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.Dalam persamaan kuadrat , a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.
Contoh:
1. x2 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4
2. x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0
3. x2 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2
4. x2 + x 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2
b. Cara Menyelesaikan Persamaan KuadratPersamaan dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat .
Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan cara:
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3. Menggunakan rumus kuadrat
1. Memfaktorkan
Contoh: Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a. x2 9 = 0
b.
c.
Jawab:
a.x2 9 = 0
atau
b.
atau
atau
c.
atau
atau
2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Bentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x 3)2merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk dapat dimanipulasi aljabar sbb.
memuat bentuk kuadrat sempurna
Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurnasemacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.
Contoh:Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a.
b. Jawab :
a.
atau
b.
3. Menggunakan rumus kuadrat
Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc.
Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat .
Prosesnya sbb:
Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.
Misalkan a, b, c bilangan rela dan maka akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh:
Contoh: Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a.
b.
Jawab :
a.
a = 1, b = 3, c = 2
atau
b.
a = 3, b = -6, c =2
atau
c. Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan
Penyelesaian persamaan kuadrat adalah
Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.
Jenis akar-akar persamaan kuadrat , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D =
Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda
Untuk D berupa bilangan kuadrat () akarnya rasional
Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional
Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama
Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)Contoh : Tanpa menyelesaikan persamaan tentukan jenis akar-akarnya !
Jawab :
=
= 25
=
Jadi mempunyai dua akar berlainan dan rasionald. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat adalah
atau
Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
ContohJika dan akar-akar persamaan kuadrat , tentukan nilai dari :
Jawab :
e. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya
Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara
a. Memakai faktorApabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x-x1)(x-x2) = 0 maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus
b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akarPersamaan kuadrat bila kedua ruas dibagi dengan a diperoleh
Jadi persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk:
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 !
Jawab :
a. Cara 1
b. Cara 2
f. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat
Jawab :
a. Cara 1
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah dan maka dan . Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat dimisalkan dan , maka dan . Jadi: didapat jumlah akar dan hasil kali akar
Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus di atas adalah :
b. Cara 2
II. Pertidaksamaan KuadratBentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:
1.
2.
3.
4.
dengan a, b, c bilangan real dan
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:
a. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan . Sketsa grafik parabola diperlihatkan pada gambar berikut:
1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.
Jadi dalam selang x < -1 atau x > 4.
2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.
Jadi untuk nilai x = -1 atau x = 4.3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang 1 < x < 4.
Jadi dalam selang 1 < x < 4.
Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat atau parabola dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.
a. Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:
b. Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:
c. Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:
d. Pertidaksamaan kuadrat . Himpunan penyelesaiannya adalah:
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ; ; ;
Contoh:Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.
a.
b.
c.
d.
Jawab:
Sketsa grafik fungsi kuadrat atau parabola diperlihatkan pada gambar berikut:
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah Himpunan kosong ditulis
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah dapat juga ditulis
b. Dengan garis bilangan
Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
atau
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
maka nilai dari sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0
maka nilai dari sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0
maka nilai dari sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan adalah x < -1 atau x > 4.
Jadi himpunan penyelesainnya adalah atau x > 4}
III. Pertidaksamaan Rasional
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.i.
ii.
iii.
iv.
Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan rasional
dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.
Langkah 1
Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0( x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x 3 = 0 ( x = 3.
Langkah 2
Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan.
Langkah 3Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.Misal x = -2 maka nilai dari sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0.
x = 0, maka nilai dari sehingga tanda dalam interval -1 0.
Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.
Maka penyelesaian dari pertidaksamaan adalah -1 < x < 3 dan himpunan penyelesaiannya adalah
Contoh 1:Tentukan penyelesaian dari !Jawab :
Harga nol pembilang
Harga nol penyebut
Jadi penyelesaiannya adalah -23}
IV. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !Jawab :
A
x+4
x
Bx+2 C
atau (tidak memenuhi)
Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm
Petunjuk : Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !1. Akar-akar persamaan adalah dan . Bila diketahui +3 = 5 maka nilai m adalah .....
A. -28
C. 0
E. 28
NO. 1. AB. -20
D. 202. Diketahui dan merupakan akar-akar persamaan . Persamaan
kuadrat lain yang akarnya (+3) dan (+3) adalah .....
A.
B.
NO. 2. B
C.
D.
E.
3. Nilai maksimum fungsi adalah 9. Persamaan sumbu
simetrinya x =..
A. atau 2
D. atau -2
B. atau -2
E. atau 2
NO. 3. C
C. atau 24. 4) Jika fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum 1 maka
A. -2
C. 3
E. 18
NO. 4. E
B. -1
D. 65. Grafik menyinggung sumbu x maka koordinat titik balik maksimum adalah.....A. (-3,0)
C. (2,0)
E. (5,0)NO. 5. DB. (-2,0)
D. (4,0)6. Jika dan akar-akar persamaan maka mencapai minimum untuk ....
A. -1
C.
E.
NO. 6. DB. 0
D. 17. Akar-akar persamaan adalah sama. Hasil kali kedua akar persamaan tersebut adalah .
A. 1
B. 4
C. 9
D. 16
E. 25 NO. 7. C
8. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar
persamaan adalah .
A.
B.
C.
NO. 8. C
D.
E.
9. Keliling suatu segiempat adalah 40cm dan luasnya 96 cm2 ukuran segiempat tersebut
adalah ..
A. 12cm x 8cm
C. 14cm x 6cm
E. 16cm x 6cm
B. 13cm x 7cm
D. 15cm x 5cmNO.9. A10. Akar-akar persamaan kuadrat adalah m dan n. Jika maka nilai q adalah ......A. -6 dan 2
C. -4 dan 4
E. -2 dan 6
B. -5 dan 3
D. -3 dan 5
NO.10. E11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah
A. atau
B. atau
C. atau
D.
E.
Kunci: D12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah ....
A.
B.
C.
D. atau
E. atau
Kunci: A
13. Himpunan penyelesaian dari persamaan adalah ....A.
B.
C. atau
D. atau
E. atau
Kunci: E
14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah ....A.
B.
C. atau
D. atau
E. atau
Kunci: C
15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah ....
A. atau
B. atau
C. atau
D. atau atau
E. atau
Kunci: B
PAGE 15
_1325079263.unknown
_1325081976.unknown
_1325084460.unknown
_1325085067.unknown
_1325085262.unknown
_1325085444.unknown
_1325085629.unknown
_1325085759.unknown
_1325085762.unknown
_1325085763.unknown
_1325085760.unknown
_1325085643.unknown
_1325085707.unknown
_1325085758.unknown
_1325085684.unknown
_1325085638.unknown
_1325085524.unknown
_1325085564.unknown
_1325085615.unknown
_1325085534.unknown
_1325085494.unknown
_1325085509.unknown
_1325085480.unknown
_1325085362.unknown
_1325085391.unknown
_1325085407.unknown
_1325085379.unknown
_1325085320.unknown
_1325085333.unknown
_1325085348.unknown
_1325085284.unknown
_1325085180.unknown
_1325085202.unknown
_1325085213.unknown
_1325085192.unknown
_1325085137.unknown
_1325085165.unknown
_1325085114.unknown
_1325084881.unknown
_1325084991.unknown
_1325085011.unknown
_1325085037.unknown
_1325084997.unknown
_1325084963.unknown
_1325084981.unknown
_1325084921.unknown
_1325084962.unknown
_1325084573.unknown
_1325084648.unknown
_1325084666.unknown
_1325084596.unknown
_1325084504.unknown
_1325084558.unknown
_1325084477.unknown
_1325083019.unknown
_1325083510.unknown
_1325083901.unknown
_1325084445.unknown
_1325084023.unknown
_1325084374.unknown
_1325083738.unknown
_1325083820.unknown
_1325083336.unknown
_1325083374.unknown
_1325083356.unknown
_1325083210.unknown
_1325083320.unknown
_1325083026.unknown
_1325082504.unknown
_1325082685.unknown
_1325082871.unknown
_1325082989.unknown
_1325082997.unknown
_1325082939.unknown
_1325082699.unknown
_1325082658.unknown
_1325082667.unknown
_1325082595.unknown
_1325082366.unknown
_1325082439.unknown
_1325082449.unknown
_1325082394.unknown
_1325082332.unknown
_1325082345.unknown
_1325082304.unknown
_1325081001.unknown
_1325081837.unknown
_1325081897.unknown
_1325081910.unknown
_1325081920.unknown
_1325081878.unknown
_1325081121.unknown
_1325081736.unknown
_1325081695.unknown
_1325081029.unknown
_1325081039.unknown
_1325081010.unknown
_1325079706.unknown
_1325079967.unknown
_1325080836.unknown
_1325080929.unknown
_1325080804.unknown
_1325079868.unknown
_1325079727.unknown
_1325079797.unknown
_1325079536.unknown
_1325079698.unknown
_1325079480.unknown
_1325079493.unknown
_1325079505.unknown
_1325079459.unknown
_1325079338.unknown
_1325075592.unknown
_1325078348.unknown
_1325078787.unknown
_1325079150.unknown
_1325079223.unknown
_1325079240.unknown
_1325079199.unknown
_1325078839.unknown
_1325078945.unknown
_1325078814.unknown
_1325078613.unknown
_1325078718.unknown
_1325078752.unknown
_1325078681.unknown
_1325078560.unknown
_1325078582.unknown
_1325078390.unknown
_1325077832.unknown
_1325078150.unknown
_1325078246.unknown
_1325078302.unknown
_1325078178.unknown
_1325077955.unknown
_1325078082.unknown
_1325077954.unknown
_1325077665.unknown
_1325077746.unknown
_1325077791.unknown
_1325077680.unknown
_1325075878.unknown
_1325077647.unknown
_1325075841.unknown
_1320424707.unknown
_1325075158.unknown
_1325075494.unknown
_1325075530.unknown
_1325075564.unknown
_1325075523.unknown
_1325075252.unknown
_1325075318.unknown
_1325075344.unknown
_1325075369.unknown
_1325075294.unknown
_1325075199.unknown
_1325075210.unknown
_1325075174.unknown
_1320425841.unknown
_1325074787.unknown
_1325074866.unknown
_1325075140.unknown
_1325074823.unknown
_1320426543.unknown
_1320428222.unknown
_1320428264.unknown
_1320428286.unknown
_1320428311.unknown
_1325074742.unknown
_1320428301.unknown
_1320428275.unknown
_1320428250.unknown
_1320426670.unknown
_1320426684.unknown
_1320426553.unknown
_1320426563.unknown
_1320426066.unknown
_1320426410.unknown
_1320425984.unknown
_1320426036.unknown
_1320425203.unknown
_1320425638.unknown
_1320425691.unknown
_1320425729.unknown
_1320425674.unknown
_1320425429.unknown
_1320425544.unknown
_1320425229.unknown
_1320424954.unknown
_1320425038.unknown
_1320425102.unknown
_1320424993.unknown
_1320424903.unknown
_1320424939.unknown
_1320424798.unknown
_1320256233.unknown
_1320258659.unknown
_1320421409.unknown
_1320422306.unknown
_1320424125.unknown
_1320424600.unknown
_1320424611.unknown
_1320424588.unknown
_1320424062.unknown
_1320424098.unknown
_1320423041.unknown
_1320424048.unknown
_1320423104.unknown
_1320422322.unknown
_1320422105.unknown
_1320422276.unknown
_1320422287.unknown
_1320422265.unknown
_1320421508.unknown
_1320421875.unknown
_1320421482.unknown
_1320420659.unknown
_1320421105.unknown
_1320421364.unknown
_1320420961.unknown
_1320420551.unknown
_1320420571.unknown
_1320420508.unknown
_1320420529.unknown
_1320420448.unknown
_1320257059.unknown
_1320258210.unknown
_1320258328.unknown
_1320258346.unknown
_1320258311.unknown
_1320257858.unknown
_1320258195.unknown
_1320257257.unknown
_1320256872.unknown
_1320256995.unknown
_1320257027.unknown
_1320256949.unknown
_1320256599.unknown
_1320256817.unknown
_1320256320.unknown
_1320254797.unknown
_1320255347.unknown
_1320256077.unknown
_1320256099.unknown
_1320255415.unknown
_1320255536.unknown
_1320255548.unknown
_1320255476.unknown
_1320255386.unknown
_1320255277.unknown
_1320255310.unknown
_1320255243.unknown
_1320254561.unknown
_1320254757.unknown
_1320254783.unknown
_1320254744.unknown
_1320254363.unknown
_1320254424.unknown
_1320253686.unknown