PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pada bagian sebelumnya, kalian telah mempelajari persamaan dan pertidaksamaan linier. Pada

bagian ini, kalian akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. Persamaan dan

pertidaksamaan kuadrat ditandai dengan variabelnya berpangkat tertinggi dua.

a. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama

dengan (=) dan pangkat tertinggi dari peubahnya (variabelnya) adalah dua. Bentuk umum

persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan riil dan a 0.

1) Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Sama seperti pada sistem persamaan linier, nilai – nilai yang memenuhi persamaan kuadrat

disebut penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut yang dikenal juga dengan istilah akar –

akar persamaan kuadrat. Agar kalian lebih memahami penentuan himpunan penyelesaian dari

persamaan kuadrat, perhatikan dengan baik contoh – contoh berikut ini :

Contoh 3.3

Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut :

1. x2 – 9 = 0

2. 2x2 – 5x – 3 = 0

3. x2 – 5x + 6 = 0

4. x2 – 6x + 9 = 0

Jawab :

1. x2 – 9 = 0

(x + 3)(x – 3) = 0

x + 3 = 0 atau x – 3 = 0

x = –3 atau x = 3

Sehingga penyelesaiannya adalah = {–3, 3}

2. 2x2 – 5x – 3 = 0

(2x + 1)(x – 3) = 0

2x + 1 = 0 atau x – 3 = 0

2x = –1 atau x = 3

x = – ½ atau x = 3

Sehingga penyelesaiannya adalah = {– ½, 3}

3. x2 – 5x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = 2 atau x = 3

Sehingga penyelesaiannya adalah = {2, 3}

4. x2 – 6x + 9 = 0

(x – 3)(x – 3) = 0

x – 3 = 0 atau x – 3 = 0

x = 3 atau x = 3

Sehingga penyelesaiannya adalah = {3}

2) Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – Akar dari Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka pada persamaan

kuadrat tersebut akan berlaku sifat seperti berikut :

dan

Agar kalian lebih dapat memahami kedua sifat dari akar – akar persamaan kuadrat ini, perhatikan

dengan baik contoh di bawah ini.

Contoh 3.4

Jika x1 & x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 3 = 0 maka tentukan nilai dari :

Jawab :

2x2 – 4x + 3 = 0 ; a = 2, b = –4, c = 3

3) Menyusun Persamaan Kuadrat

Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari suatu persamaan kuadrat dan sifat – sifat dari

persamaan kuadrat. Pada bagian ini akan kalian pelajari cara menyusun persamaan kuadrat. Agar

kalian lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut dengan baik.

Jika x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat, maka dapat disusun persamaan

kuadrat dengan rumus :

(x – x1)(x – x2) = 0 atau x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Contoh 3.5

Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya 3 dan –2.

Jawab :

x1 = 3 dan x2 = –2 maka

(x – x1).(x – x2) = 0

(x – 3).(x + 2) = 0

x2 + 2x – 3x – 6 = 0

x2 – x – 6 = 0

Contoh 3.4

Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui jumlah akar – akarnya 2 dan hasil kali akar – akarnya

–15.

Jawab :

x1 + x2 = 2 dan x1.x2 = –15 maka :

x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

x2 – (2)x + (–15) = 0

x2 – 2x – 15 = 0

Jika dan merupakan akar – akar persamaan x2 + 3x – 4 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang

akar – akarnya :

a) ( – 2) dan ( – 2)

b) dan

Jawab :

a) x2 + 3x – 4 = 0 maka didapat a = 1, b = 3, c = –4

Misalkan x1 = – 2 dan x2 = – 2 maka :

x1 + x2 = ( – 2) + ( – 2) = ( ) – 4 = –3 – 4 = –7

x1.x2 = ( – 2)( – 2) = – – + 4

= – 2 + 4 = –4 – 2(–3) + 4 = –4 + 6 + 4 = 6

b) x2 + 3x – 4 = 0 maka didapat a = 1, b = 3, c = –4

Misalkan x1 = dan x2 =

x1 + x2 = +

= ( + )

= (–3) = –1

x1 . x2 =

= ( . )

= (–4) =

b) Pertidaksamaan Kuadrat

Pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari persamaan kuadrat, pada bagian ini akan

kalian pelajari pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat yang akan

kita bahas dalam bahasan ini adalah sebagai berikut :

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c 0

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c 0

Nilai – nilai yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat disebut penyelesaian dari pertidaksamaan

kuadrat. Agar kalian memahami dalam menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat,

perhatikan dengan baik contoh berikut :

Contoh 3.7

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan kuadrat berikut :

1) x2 – 6x + 5 < 0

2) x2 – 6x + 5 0

3) x2 – 6x + 5 0

4) x2 – 6x + 5 > 0

Jawab :

1) x2 – 6x + 5 < 0

x2 – 6x + 5 = 0

(x – 1)(x – 5) = 0

x – 1 = 0 atau x – 5 = 0

x = 1 atau x = 5

+++ +——–++++

1 5

Jadi HP = { x│1 < x < 5, x R }

2) x2 – 6x + 5 0

x2 – 6x + 5 0

(x – 1)(x – 5) = 0

x – 1 = 0 atau x – 5 = 0

x = 1 atau x = 5

+++ +——–++++

1 5

Jadi HP = { x│1 x 5, x R }

3) x2 – 6x + 5 0

x2 – 6x + 5 = 0

(x – 1)(x – 5) = 0

x – 1 = 0 atau x – 5 = 0

x = 1 atau x = 5

+++ +——–++++

1 5

Jadi HP = { x│x 1 atau x 5, x R }