persamaan dan fungsi kuadrat

BAB VIII PERSAMAAN dan FUNGSI KUADRAT8. 1 Persamaan kuadrat 8.1. 1. Akar dan sifat akar. Bentuk umum persamaan dibawah ini disebut persamaan kuadrat.a x2 + bx + c = 0 dengan a, b, c real dan a 0

Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus adalah x1,2 = b D 2a x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2 4ac D disebut diskriminan

Sebagai akibat rumus diatas, kita peroleh sifat jumlah dan kali akar-akar x1 dan x2 dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0Sifat jumlah x1 + x2 = ba

Sifat kali akar x1 x2 = ca

Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas 1. Jumlah kuadrat akar-akar x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1 x2 2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1 x2 (x1 + x2) 3. kuadrat selisih akar-akar (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1 x2 (x1 x2)2 = D 2 4. selisih kuadrat akar-akar x12 x22 = (x1 + x2) (x1 x2) x +x 1 1 5. Jumlah kebalikan akar-akar x + x = x1 x 2 1 2 1 2 Contoh 1. Himpunan penyelesaian dari (2x2 + x) (2x2 + x 4) + 3 = 0 adalah (A) {1, 3} (B) { 3 , 1, 3} (C) {1, 1 } (D) { 3 , 1} (E) { 3 , 1, 1 , 1} 2 2 2 2 2 Jawab: E Misalkan p = 2x2 + x p (p 4) + 3 = 0 p2 4p + 3 = 0 (p 3)(p 1 ) = 0 (2x2 + x 3) (2x2 + x 1) = 0 (2x + 3)(x 1) (2x 1)(x + 1) = 0 x = 3 atau x = 1 atau x = 1 atau x = 1 2 2a

106

107 2. Persamaan kuadrat 6x2 (k + 4) x + k + 3 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika 6 x1 + 5 x2 = 1 maka k = (A) 14 (B) 8 (C) 3 (D) 1 (E) 5 Jawab : C k+ 4 6 x1 + 5 x2 = 1 6 (x1 + x2) x2 = 1 6 6 x2 = 1 x2 = k + 3 Karena x2 = k + 3 akar persamaan, maka 6(k+3)2 (k + 4)(k+3) + k + 3 = 0 (k+3) [ 6 (k + 3) (k + 4) + 1 ] = 0 (k +3) (5k + 15) = 0 Kedua bentuk faktor ini menghasilkan k = 3 3. Selisih kuadrat akar-akar x2 + 3x + p = 0 adalah 6. maka p = (A) 1 (B) 1 (C) 5 atau 15 (D) 5 4 2 4 Jawab: D x12 x22 = 6 (x1 + x2) (x1 x2) = 6 3 (x1 x2) = 6 x1 x2 = 2 5 (x1 x2)2 = 4 (x1 + x2)2 4 x1 x2 = 4 (3)2 4p = 4 p = 4 4. Kuadrat selisih dan jumlah kuadrat akar-akar x2 + ax + b = 0 berturut-turut adalah 3 dan 11, maka b = . (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 1 (E) 2 Jawab: A (x1 x2)2 = 3 (x1 + x2)2 4x1 x2 = 3 a2 4b = 3 x12 + x22 = 11 (x1 + x2)2 2x1 x2 = 11 a2 2b = 11 2b = 8 b = 4 5. x2 + x + 1 = 0 akar p dan q, maka p33 + q33 = (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 1 (E) 2 Jawab: E Dari x2 + x + 1 = 0 kali x x3 + x2 + x = 0 x3 + (x2 + x + 1) 1 = 0 x3 + 0 1 = 0 x3 = 1 x33 = (x3)11 = 1 Karena p & q akar (jawaban x) p33 = 1 & q33 = 1 p33 + q33 = 2

8.1.2. Jenis akar 1. Jenis akar dibawah ini mudah sekali kita hafalkan dengan memperhatikan rumus dari akar itu sendiri.D0 Kedua akar real D=0 Akar kembar D>0 Kedua akar real berbeda

b D x1,2 = 2aD 0 3. x1 x2 > 0 3. Kedua akarnya real negatif, jika 1. D 0 2. x1 + x2 < 0 3. x1 x2 > 0 4. Kedua akar berbeda tanda, jika 1. D > 0 2. x1 x2 < 0 5. Akar berlawanan tanda ( baca x1 = x2) x1 + x2 = 0 x1 + x2 b = 01

6. Akar berkebalikan ( baca x1 = x ) x1 x2 = 1 c = 1 2 7. Kedua akar rasional D = k2 dimana a, b, c dan k bilangan rasional. Contoh: 1. Supaya kedua akar persamaan x2 (m 1) x + 4 m = 0 tidak real, maka (A) 3 < m < 5 (C) m > 3 atau m < 5 (E) m > 5 atau m < 3 (B) 5 < m < 3 (D) m > 5 atau m < 3 Jawab : C Syarat akar tidak real D < 0+ 5 3 +

(m 1)2 4 (4 m) < 0 m2 + 2m 15 < 0 (m + 5) (m 3) < 0 m < 5 atau m > 3

2. Persamaan kuadrat x2 mx + 2m 3 = 0 mempunyai akar-akar riel berlainan tanda, jika (A) m < 2 atau m > 6 (C) 3 < m < 2 atau m > 6 (E) 2 < m < 62

(B) m 6

Jawab B Syarat agar akar-akar berlainan tanda

1. D > 0 2. x1 x2 < 0 1. D > 0 m2 4 (2m 3) > 0 m2 8m + 12 > 0 + + (m 2) (m6) > 0 2 6 m < 2 atau m > 6 3 2. x1 x2 < 0 2m 3 < 0 m < 2 Dari (1) dan (2), maka diperoleh m < 2

3

3/2

2

6

3. Supaya kedua akar persaman x2 + mx + m = 0 negatif dan berbeda, maka haruslah (A) m < 0 atau m > 4 (C) 0 < m < 4 (E) m < 4 (B) m > 0 (D) m > 4

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

109

1. D > 0 2. x1 + x2 < 0 3. x1 x2 > 0 1. D > 0 m2 4m > 0 m (m 4) > 0 m < 0 atau m > 4 2. x1 + x2 < 0 m < 0 m > 0 3. x1 x2 > 0 m > 0 0 4 Dari (1), (2) dan (3) diperoleh m > 4

Jawab: Syarat agar kedua akar negatif dan berbeda

8.1.3 Menyusun persamaan kuadrat baruPersamaan kuadrat dengan akar-akar dan adalah

x2 ( + ) x + = 0

Contoh : 1. Persamaan kuadrat x2 + x + 2 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x12 + x2 dan x1 + x22 adalah (A) x2 2x 61 = 0 (C) x2 + 4x + 11 = 0 (E) x2 8x 20 = 0 (B) x2 10x 61 = 0 (D) x2 10x 20 = 0

Jawab C Misalkan p = x12 + x2 dan q = x1 + x22, maka p + q = x12 + x2 + x1 + x22 = x12 + x22 + x1 + x2 = (x1 + x2)2 2x1 x2 + x1 + x2 = (1)2 2 (2) + (1) = 4 p . q = (x12 + x2) (x1 + x22) = x13 +x23 + x12 x22 + x1 x2 = (x1 + x2)3 3(x1 x2) (x1 + x2) + (x1 x2)2 + x1 x2 = (1)3 3 (2) (1) + 22 + 2 = 11 Persamaan kuadrat yang dicari adalah persamaan kuadrat dengan akar p dan q, yaitu: x2 (p + q) x + pq =0 x2 + 4x + 11 = 02. Persamaan kuadrat 5x2 + 7x 3 = 0 mempunyai akar dan , maka persamaan kuadrat dengan akar-akar 52 + 7 dan 52 3 adalah (A) 5x2 36x + 63 = 0 (C) 5x2 + 12x 72 = 0 (E) 5x2 64x + 147 = 0 2 2 (B) x 122x + 67 = 0 (D) x + 132x 17 = 0

Jawab: AMisalkan p = 52 + 7 dan q = 52 3 Perhatikan,

akar 5x2 + 7x 3 = 0 52 + 7 3 = 0 52 + 7 = 3.


110 Perhatikan, 52 3 = (52 3) =7 akar 5x2 + 7x 3 = 0 52 + 7 3 = 0 52 3 = 7

3 = 7 5 = 21 521 63 36 Jadi p = 3 dan q = 5 p + q = 5 dan p q = 5

Persamaan kuadrat yang dicari adalah persamaan kuadrat akar-akar p dan q, yaitu: 63 36 x2 5 x + 5 = 0 5x2 36x + 63 = 0

8.2. Fungsi kuadratBentuk umumF(x) = ax2 + bx + c; a, b,c R dan a 0

8.2.1. Grafik Berikut ini beberapa ciri khas grafik fungsi kuadratParabola membuka keatas, untuk a > 0

1. Grafik berbentuk Parabola membuka ke bawah, untuk a < 0 2. Grafik memotong sumbu-y bila x = 0. Untuk x =0, y = a (0)2 + b(0) + c = c. Jadi grafik memotong sumbu-y pada titik (0, c) 3. Grafik memotong sumbu-x bila y = 0. akibatnya, a x2 + b x + c = 0. Dengan memperhatikan absis sebagai penyelesaian persamaan kuadrat, kemungkinankemungikan grafik dapat dirinci sebagai berikut D > 0 ada dua D = 0 ada satu titik D < 0 tidak ada titik potong dengan potong dengan sumbu x titik potong dengan sumbu x (menyinggung sumbu x) sumbu x

4. Perhatikan lagi no 1 dan no 3; berarti ada 6 kemungkinan gambar, yaitua>0 D>0 x a>0 D=0 x a>0 D 5 (E) a < 12 5 2 2 5

Jawab D (2a 1) x2 4(a + 1)x + 2a + 6 > 0 untuk setiap x real Syarat 1. 2a 1 > 0 ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x 1 1. a > 0 a>2

2. D < 0 16 ( a + 1 )2 4 (2a 1) (2a + 6) < 0 4 ( a2 + 2a + 1 ) (4a2 + 10 a 6 ) < 0 2 a + 10 < 0 2a < 10 a > 5 Dari (1) dan (2) diperoleh a > 5

2. D < 0

( Bagi 4 )

2. Untuk setiap x real, grafik fungsi y = px2 4x + p 3 memotong sumbu x di dua titik berbeda, jika (A) p > 4 atau p < 1 (C) 1 < p < 4 (E) 3 < p < 4 (B) p > 3 atau p < 0 (D) 1 < p < 0Jawab : C Syarat D > 0 16 4p (p 3) > 0 4p2 + 12 p + 16 > 0 | bagi 4 | p2 3p 4 < 0 + + (p 4) (p + 1) < 0 4 1 1 < p < 4 8.2.2. Titik Ekstrim dan Sumbu Simetri

Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak.(xp,yp) titik puncak 1. xp = b 2a 2. yp = a xp2 + b xp + c 3. yp = D 4a


112

( b ,2a

) Perhatikan gambar, nilai y akan maksimum pada titik puncak. Nilai maksimum dinotasikan dengan ymaks. a < 0 ymaks = D untuk x = b a 0 ymin = D untuk x = b 4a 2a

D 4a

a>0 ( b ,2aD 4a

)

Sumbu simetri adalah garis yang membagi dua gambar grafik, dimana gambar yang satu cermin gambar yang lain. Pada parabola sumbu simetri adalah garis melalui puncak parabola dan sejajar sumbu y. Contoh

g

Garis g : sumbu g y=b 2a

y = a x2 + bx + c

1. Fungsi y = x2 ax + 3a 4 mempunyai harga minimal 2p untuk x = p, maka (A) a = 1; p = 3 (C) a = 8; p = 4 (E) a = 2; p = 4 (B) a = 4, p = 2 (D) a = 1; p =1 Jawab B harga minimal 2p untuk x = p Titik puncak minimum (p,2p) y = ax2 + bx + c Perhatikan xp = p a = p a = 2p2

y = x 2px + 6p 4 Fungsi melalui (p ,2p) 2p = p2 2p p + 6p 42

maka xp = b

2a

p2 4p + 4 = 0 p = 2

Jadi a = 4 dan p = 2 2. Kurva f(x) = x2 (m + 5)x + 3m + 3 memotong sumbu x di titik A dan B. Jarak A dan B sekecil-kecilnya jika m sama dengan (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 3 (E) 22 2

Jawab C Misalkan A (x1,0) dan B(x2,0)

Ordinat = 0, karena sumbu x

Notasi d(A,B) = jarak A ke B = | x2 x1 | Perhatikan d2(A,B) = | x2 x1 |2 = (x2 x1)2 = (x1 + x2)2 4 x1 x2 d2(A,B) = (m + 5)2 4 (3m + 3) d2(A ,B) = m2 2m + 13 2 Nilai d (A,B) akan paling kecil untuk m = b = 2 = 12a 2 .1

Pada saat nilai d2(A,B) paling kecil, berakibat nilai d(A ,B) juga paling kecil. Dengan demikian d(A,B) sekecil-kecilnya untuk m = 1


113 3. Akar-akar persamaan x2 + (m+ 2)x (m + 3) = 0 adalah dan . Harga ekstrim dari 2 + 2 + adalah (A) 24 (B) 8 (C) 2 (D) 12 (E) 21 Jawab : A 2 + 2 + = [ ( + )2 2 ] + = ( + )2 2 + 2 + =(m + 2)2 + 4 ( m + 3) 2 + 2 + =m2 + 8 m 8 Tulis Z = 2 + 2 + Z = m2 + 8 m 8 Harga ekstrim 2 + 2 + = Zmin= D = 244a

4. Persamaan kurva disamping adalah y = c x2 bx + a. Maka y (A) a c < 0 (D) b c > 0 (B) b2 > 4 a c (E) b2 < 4 a c x (C) a b < 0 Jawab : D Memotong sumbu x di dua titik D = (b)2 4 (c) (a) > 0 b2 > 4 a c .. (1) Membuka kebawah c < 0 c > 0 ... (2) Memotong sumbu-y pada (0,a) diatas sumbu x a > 0 (3) Puncak dikanan sumbu y xp < 0 b < 0 b > 02 ( c) 2c

Karena 2 c > 0 , maka b > 0 .. (4) Dari (1), (2), (3) dan (4) diperoleh jawaban yang benar (D) b c > 0

8.2.3. Menentukan Fungsi kuadratFungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai 1. f(x) = a ( x x1 ) (x x2 ) dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x 2. f(x) = a (x xp)2 + yp dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola

Contoh : 1. Disamping ini adalah grafik parabola f(x). Nilai f(4) = Jawab 9 Puncak (2,3) f(x) = a(x 2)2 3 Melalui (0,9) 9 = 4a 3 a = 3 Dengan demikian f(x) = 3 (x 2)2 3 f(4) = 9 2. Disamping ini adalah grafik parabola f(x). Titik potong dengan sumbu y adalah Jawab Memotong sumbu x di (1,0) dan (4,0) f(x) = a (x 1) (x 4) Melalui (5,2) 2 = a (4) (1) a = 11 4

(2,3)

(5,2

2


114 3. Diketahui f dan g dengan f(x) = 2x2 + x 5. Apabila g melalui titik (1,10), maka g akan memotong sumbu-y pada ordinat (A) 25 (B) 10 (C) 3 (D) 10 (E) 25 Jawab Misalkan x = x1 dan x = x2 titik potong f(x) dan g(x) dengan sumbu x.

a a (x x1 ) ( x x 2 ) = a 1 = k g(x) = k f(x) .. (1) Maka g ( x ) = 1 f (x) a 2 ( x x1 ) ( x x 2 ) 2

g(1) = k f(1) 10 = k ( 2) k = 5 . (2) Dari (1) dan (2) g (x) = 10 x2 5x + 25 g memotong sumbu y pada (0,25) ordinatnya 25

8.2.4. Parabola dan Garis Lurus

Beberapa masalah mengenai hubungan parabola dan garis lurus dapat kita rumuskan Sebagai berikut 1. Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c Garis f : y = mx + n Dari kedua persamaan ax2 + bx + c = mx + n ax2 + (b m)x + c n = 0 Tulis Ds = (b m)2 4 a (c n ) [ Ds adalah diskriminan ax2 + (b m)x + c n = 0, dengan kata lain Ds adalah diskriminan dari hasil subtitusi g dan f ] Memperhatikan jenis akar (penyelesaian) ax2 + (b m)x + c n = 0, mudah bagi kita untuk membuat kesimpulan 1.1 Ds > 0 g dan f berpotongan di dua titik berbeda 1.2 Ds = 0 g dan f berpotongan di satu titik (baca: bersinggungan) 1.3 Ds < 0 g dan f tidak berpotongan. 2. Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c Garis f : y = mx + n g f : y = ax2 + (b m) x + c nParabola g diatas garis f seluruhnya g(x) f(x) > 0 untuk setiap x ax2 + (b m) x + c n > 0 untuk setiap x2 a > 0 dan Dgf = (b m) 4a (c n) < 0

g f

Parabola g dibawah garis f seluruhnya g(x) f(x) < 0 untuk setiap x ax2 + (b m) x + c n < 0 f untuk setiap x 2 a < 0 dan Dgf = (b m) 4a (c n) < 0

g


115 Contoh 1. Garis 8x y 6 = 0 terletak diatas parabola y = mx2 + m untuk (A) 0 < m < 2 (C) m > 2 (E) m < 2 (B) 8 < m < 0 (D) m < 8 Jawab : D Garis y = 8x 6 diatas y = mx2 + m 8x 6 (mx2 + m ) > 0 Syarat : 1. m > 0 m < 0 mx2 + 8x 6 m > 0

2. D < 0 64 + 4m(6 m) < 0 4m2 24m + 64 < 0 (Bagi 4) 2 m + 6 m 16 > 0+

+

(m + 8) (m 2) > 0 m < 8 atau m > 2

7

9

Dari (1) dan (2) diperoleh m < 8 2. Garis y = mx + 3 dan parabola y = x2 (m 1)x + 4 sedikitnya mempunyai satu titik persekutuan, maka(A) m (B) m 2 31 2

atau m 2 atau m 3 2

(C) m (D) 1 2

3 2

atau m 3 2

1 2

(E) 3 m 2

1 2

m

Jawab: C

Subtitusi mx + 3 = x2 (m 1)x + 4 x2 (2m 1)x + 1 = 0 D subtitusi = Ds = (2m 1)2 4 Ds = 4m2 4m 3 Perhatikan, garis dan parabola paling sedikit mempunyai satu titik persekutuan. + + Ini berarti Ds 0 4m2 4m 3 0 (2m + 1) (2m 3) 0 m1 2

1 2

3 2

atau m

1 2

3. Nilai k agar garis y = kx + 2 dan parabola y = kx2 + 2x + k + 2 bersinggungan (A) 2 atau 2 (C) 3 atau 2 (E) 2 atau 2(B) 3 1 2 2 3 3

atau 3

(D) 3 atau

1 2


116 Jawab E Subtitusi kx2 + 2x + k + 2 = kx + 2 kx2 + (2 k)x + k = 0 Garis dan parabola bersinggungan Ds = 0 (2 k)2 4k2 = 0

3k2 4k + 4 = 0 3k2 + 4k 4 = 0 (3k 2) ( k + 2) = 0 k=2 3

atau k = 2


117

PEMBAHASAN MATEMATIKA IPA 1. Garis y = x 10 akan memotong parabola y = x2 (a 2)x + 6 jika hanya jika c. a 7 atau a 9 e. 6 a 9 a. a 7 atau a 8 d. 7 a 9 b. a 6 atau a 8 (Matematika 89 Rayon A) Jawab : C x2 (a 2)x + 6 = x 10 x2 (a 1)x + 16 = 0 (a 1)2 4 . 1 . 16 0 (a 1)2 64 0 (a 1 8) (a 1+ 8) 0+7

syarat memotong D 0

+ 9

Jadi a 7 atau a 9

2. Garis 4x + y + 5 = 0 tidak memotong parabola y = k(x2 1) untuk semua nilai k yang memenuhi a. k < 1 b. k > 4 c. 1 < k < 4 d. 0 < k < 4 e. o < k < 1 (Matematika 89 Rayon B) Jawab : C Garis : 4x + y + 5 = 0 y = 4x 5 .(1) Parabola : y = k(x2 1) y = kx2 k .(2) Dari (1) dan (2) kx2 k = 4x 5 kx2 4x + 5 k = 0 syarat tidak memotong D < 0 16 4k(5 k) < 0 16 20k + 4k2 < 0 k2 5k + 4 < 0 + + (k 4)(k 1) < 0 1 4 Jadi 1 < k < 42 3. Persamaan x x 3x2+ 3 = k mempunyai akar-akar nyata. Nilai k adalah c. 3 k 1 e. 1< k < 3 a. k 3 atau k 1 d. 1 k 3 b. k 1 atau k 3 (Matematika 89 Rayon C) Jawab : B x2 3x + 3 = kx 2k persamaan kuadrat x2 (3 + k) + 3 + 2k = 0 2 mempunyai akar-akar (3 + k) 4(3 + 2k) 0 2 9 + 6k + k 12 8k 0 k2 2k 3 0 + + k 1 atau k 3 (k 3)(k + 1) 0 3 1


118

4. Diketahui persamaan kuadrat x2 + px + q = 0 dengan p dan q bilangan real konstan. Jika x1 dan x2 akar persamaan ini dan x1 , x1 + x2 , x2 merupakan deret hitung maka c. p2 4q = 0 e. q = 0, p 0 a. p2 4q > 0 2 d. p = 0, q 0 b. p 4q > 0 (Matematika 90 Rayon A) Jawab : D Perhatikan deret hitung diatas; u1 = x1, u2 = x1 + x2, u3 = x2. b = u2 u1 = u3 u2 (x1 + x2) x1 = x2 (x1 + x2) x2 = x1 x1 + x2 = 0 ingat sifat x1 + x2 = b a p = 0 p=0 persamaan kuadrat yang dimaksud untuk p = 0 adalah x2 + q = 0. Dengan demikian q = 0 atau q 0y

5.

2

0

1

2

3

x

Jika grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c seperti gambar di atas, maka a + b + c = a. 2 c. 2 b. 0 d. 4 e. 8 (Matematika 91 Rayon B)

Jawab : B Kurva memotong sumbu x di (1,0) dan (3,0) y = a (x 1)( x 3) Kurva melalui titik (2,2) 2 = a (2 1)(2 3) a = 2. Dengan demikian y = 2(x2 4x + 3) y = 2x2+ 8x 6 Jadi a + b + c = 2 + 8 6 = 0Karena kurva y = ax2 + bx + c melalui titik (1,0) maka diperoleh 0 = a(1)2 + b(1) + c, sehingga a + b + c = 0. 6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 2x2 + ax + a = 6 maka minimum x12 + x22 adalah (Matematika 91 Rayon C) a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 2 Jawab : A ax + bx + c = 0, akar , c 2x2 + ax + a 6 = 0 akar x1, x2 +=b = a a 2 2 2 Z = x1 + x2 = (x1 + x2) 2(x1 . x2) Rumus 2 + 2 = ( + )2 2 1 a)2 2 . 1 (a 6) Z = ( 2 2

Cara lain.

Z=

1 a2 4

a+6

( 1)2 4 ( 1 ) 6 4 =5 Zmin = 4 ( 1 ) 4

Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c. Dengan a, b dan c konstanta Untuk a > 0 yminimum = D 4a Untuk a < 0 ymaximum = D 4a

7. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan 4x2 + bx + 4 = 0, b 0, maka berlaku x11 + x21 = 16(x13 + x23) untuk b2 b sama dengan a. 0 atau 2 b. 6 atau 12 c. 20 atau 30 d. 42 atau 56 e. 72 atau 90 (Matematika 92 Rayon C) Jawab : D


1191 + 1 = 16 (x 3 + x 3) 1 2 x1 x2

x1 x 2 = 16[ (x1 + x2)3 3 x1 x2 (x1 + x2 ) ] 1 2b b 3 b 4 1 = 16 4 31 4

x +x

( ) ( )

b b3 4 = 4 + 12 b kedua ruas dikali 4 sehingga didapat 1 = b2 48 b2 = 49 b = 7b

Untuk b = 7 b b = 42 Untuk b = 7 b2 b = 562

8. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akarna x1 + x2, dan x1 x2 adalah d. x2 + (b c)x bc = 0 a. x2 + bcx + b c = 0 e. x2 (b c)x + bc = 0 b. x2 bcx b + c = 0 2 c. x + (b c)x + bc = 0 (Matematika 92 Rayon B) Jawab : D x1 + x2 = b ; x1.x2 = c Persamaan kuadratnya : x2 (x1 + x2 + x1.x2)x + (x1 + x2) x1.x2 = 0 x2 (b + c)x + (b) c = 0 x2 + (b c)x bc = 0 9. Akar-akar persamaan kuadrat ax2 3a x + 5 (a 3) = 0 adalah x1 dan x2. Jika x13 + x23 = 117 maka a2 + a = a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 e. 0 (Matematika 92 Rayon C) Jawab : C 3a Sifat x1 + x2 = a = 3x1 x2 =5(a 3) 5a 15 = a a

x13 + x23 = 117 (x1 + x2)3 3 x1 x2 (x1 + x2) = 117

5a 15 33 3 5a a 15 (3) = 117 27 9 = 117 a 90 5a 15 = 9 = 10 5a 15 = 10a a 15a = 15 a = 1

(

(

)

)

(

)

Jadi a2 + a = 2 10. Jika p 0 dan akar-akar persamaan x 2 + px + q = 0 adalah p dan q, maka p2 + q2 = a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (Matematika 94 Rayon A) Jawab : D c Sifat : p q = a = q p = 1 p + q = b = p q = 2p = 2 a Jadi p2 + q2 = 5


120

11. Persamaan kuadrat 2x2 (a + 1)x + (a + 3) = 0 dengan a konstan. Jika selisih kudua akarnya sama dengan 1, maka kuadrat jumlah akar-akarnya adalah a. 1 atau 25 b. 1 atau 5 c. 3 atau 9 d. 9 atau 81 e. 5 atau 25 (Matematika 94 Rayon B) Jawab : A a +1 Sifat : x1 + x2 = 2 dan x1 x2 = a + 3 2 Diketahui selisih akar-akarnya x1 x2 = 1 (x1 x2)2 = 12 (x1 + x2)2 4 x1 x2 = 1Dicari kuadrat jumlah akar-akarnya = (x1 + x2)22

+ (a 2 1) 4 (a + 3 ) = 1 22

2 2 a + 4 a + 1 2a 6 = 1 a2 6a 27 = 0 a1 = 3 ; a2 = 9

2 2 untuk a = 3 (x1 + x2)2 = a + 1 = 3 + 1 = 1

untuk a = 9 (x1 + x2)2

(2) ( 2 ) = (a + 1) = (9 + 1) = 25 2 22

12. Agar akar-akar x1 dan x2 dari persamaan kuadrat 2x2 + 8x + m = 0 memenuhi 7x1 x2 = 20 haruslah m = b. 12 c. 12 d. 18 e. 20 a. 24 (Matematika 94 Rayon C) Jawab : A Sifat : x1 + x2 = 4 Diketahui 7x1 x2 = 20 + = 16 x1 = 2 8x1 Dengan demikian x1 = 2 salah satu akar persamaan kuadrat 2x2 + 8x + m = 0, berarti 2 (2)2 + 8 2 + m = 0 8 + 16 + m = 0 m = 24 13. Supaya kedua akar persamaan px2 qx + 1 p = 0 real dan akar yang satu kebalikan dari akar yang lain. Maka haruslah a. q = 0 b. p < 0 atau p > 1 c. q < 1 atau q > 1 d. q2 4p2 4p > 0 e. p 1 = 1p

(Matematika 97 Rayon A) Jawab : C Syarat : 1. Akar real berbeda D > 0 q2 4p(1 p) > 0 q2 + 4p2 4p > 0 2. Akar berkebalikan x1 x2 = 1 atau a = c p = 1 p p = 12

Dari (1) dan (2) q2 + 4( 1 )2 4( 1 ) > 0 q2 + 1 2 > 0 q2 1 > 0 2 2

(q 1)(q + 1) > 0 q < 1 atau q > 1

+ 1

1

+

14. Garis g melalui titik T(1,3) dan memiliki gradien m. Agar g memotong grafik y = x2 pada dua titik yang berbeda, maka haruslah c. 6 < m < 2 e. m < 6 m > 2 a. m > 2 d. m 2 m 2 b. 2 < m < 6 (Matematika 97 Rayon B)


121

Jawab : E Garis g bergradien m melalui titik T(1,3) : y 3 = m (x 1) (1) y = mx + 3 m (2) Parabola y = x2 Dari (1) dan (2) diperoleh mx m + 3 = x2 x2 + mx m + 3 = 0 syarat memotong di dua titik D > 0 : m2 4(m + 3) > 0 m2 + 4m 12 > 0 + + (m+ 6)(m 2)> 0 2 6 m < 6 m > 2 15. Diketahui persamaan 2x2 4x + a = 0 dengan a bilangan real. Supaya didapat dua akar berlainan positif maka haruslah a. a > 0 ba 0 16 4 . 2 . a > 0 a < 2 (memenuhi) 2. x1 + x2 > 0 2 > 0 3. x1 x2 > 0 a > 0 a > 02

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh 0 < a < 2 16. Jika dan merupakan akar-akar real persamaan x2 + x =

2 x 2 + x +1

maka nilai

adalah a. 2 atau 1

b. 2 atau 1

c. 2 atau 1

d. 2 e. 1 (Matematika 98 Rayon A)

Jawab : E Misalkan p = x2 + x p = 2 p2 + p = 2 p2 + p 2 = 0p +1

(p + 2)(p 1) = 0 (x2 + x + 2)(x2 + x 1) = 0 x2 + x + 2 = 0 atau x2 + x 1 = 0 2 Perhatikan x + x + 2 = 0 mempunyai akar-akar tidak real (karena D < 0) x2 + x 1 = 0 mempunyai akar-akar real (karena D > 0) Dengan demikian dan akar dari x2 + x 1 = 0. Jadi = 1 17. Akar-akar persamaan kuadrat (p 2)x2 + 4x + (p + 2) = 0 adalah dan . Jika 2 + 2 = 20, maka p = . (A) 3 atau 6 (C) 3 atau 5 (E) 3 atau 6 5 56

(B) 3 atau 56

(D) 3 atau 56

(Matematika 99 Rayon A) Jawab : E 2 + 2 = 20 ( + ) = 20 p + 2 4 = 20p2 p 2

p + 2 = 5 (p 2)2 p + 2 = 5 p2 20 p + 20 5p2 21p + 18 = 0 ( 5p 6 ) ( p 3 ) = 0 p = 6 atau p = 3 5


122

18. Garis y = x 3 menyinggung parabola y2 2y + px = 15. Absis puncak parabola tersebut adalah (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 1 (E) 2 (Matematika 99 Rayon B) Jawab : B Subtitusi : ( x 3)2 2 (x 3) + px = 15 x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + px 15 = 0 x2 + ( 8 + p ) x = 0 Bersinggungan Ds = 0 ( 8 + p )2 4 . 1. 0 = 0 p = 8 Parabola: y2 2y 8x = 15 y = f(x) = ax2 + bx + c x = f(y) = ay2 + by + c 2 y = a (x xp)2 + yp x = a (y yp)2 + xp y 2y + 1 = 8x + 16 puncak (xp,yp) puncak (xp, yp) 2 (y 1) = 8 (x + 2) a > 0 buka atas a > 0 buka kanan a < 0 buka kiri a < 0 buka bawah x = 1 (y 1)2 28

puncak: (2, 1) Absis titik puncak adalah 2

19. Jika x1 dan x2 akar persamaan kuadrat 2x2 (2k 1)x + 2k2 4 maka nilai terbesar x12 + x22 adalah (A) 3 (B) 2 (C) 9 (D) 5 (E) 62 2

(Matematika 99 Rayon C) Jawab : C 2x2 (2k 1)x + 2k2 4 = 0 Z = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2(x1 . x2)2 = ( 2k 1 )2 2 . 2k 4

=

2 4 k 2 4 k +1 4

2

2k + 42

= k2 k + 174

Zmax

( 1)2 4 (1) 17 4 = 4 ( 1) = 18 = 9 4 2Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c. Dengan a, b dan c konstanta Untuk a > 0 yminimum = D 4a 4a

Untuk a < 0 ymaximum = D


persamaan dan fungsi kuadrat

Documents