PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS

SINGGUNG PARABOLA

MAKALAH

Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang

yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si.

Oleh: TMT 5E

Kelompok 6

1. Rifdiati Rohmah (2814123131)

2. Rika Setiani (2814123133)

3. Sinta Dewi Fadilah (2814123139)

4. Zulin Fu’adzatus Sofiyah (2814123159)

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN (FTIK)

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)

TULUNGAGUNG

2014

ii

DAFTAR ISI

Halaman Sampul .......................................................................................... i

DAFTAR ISI ................................................................................................. ii

PARABOLA .................................................................................................. 1

A. Definisi Parabola ................................................................................ 1

B. Contoh Soal Persamaan Baku Parabola .............................................. 5

C. Persamaan Garis Singgung Parabola .................................................. 8

D. Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Parabola .............................. 10

E. Latihan Soal ....................................................................................... 12

Lampiran....................................................................................................... 14

DAFTAR RUJUKAN ................................................................................... 34

1

Elips Parabola Hiperbola

PARABOLA

A. Definisi Parabola

Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita

potong kerucut itu dengan berbagai bidang dengan sudut yang berbeda

terhadap sumbu simetris, seperti yang dilihat pada Gambar 1. Bidang itu

memotong kerucut menurut kurva-kurva, masing-masing dinamakan elips,

parabola dan hiperbola. (Dalam bentuk-bentuknya yang istimewa anda juga

akan memperoleh: sebuah lingkaran, sebuah titik, garis-garis yang

berpotongan dan satu garis). Kurva-kurva tersebut dinamakan irisan kerucut,

atau konik. Nama-nama tersebut kita warisi dari orang Yunani dan tampaknya

agak rumit. Di bawah ini kita berikan definisi yang lain tentang kurva-kurva

tersebut. Kurva pengertian di atas adalah konsisten.

pada sebuah bidang ada garis l tetap (garis arah) dan F sebuah titik

tetap (fokus) yang terletak pada garis l (Gambar 2). Himpunan titik-titik P

yang perbandingan antara jarak 𝑃𝐹 dari fokus dam jarak 𝑃𝐿 dari garis arah

adalah suatu konstanta positif 𝑒 (keeksentrikan), yakni yang memenuhi

hubungan

Gambar 1

𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿 …….. (1)

2

dinamakan konik. Apabila 0 < 𝑒 < 1, konik itu dinamakan elips; apabila

𝑒 = 1, dinamakan parabola; apabila 𝑒 > 1 dinamakan hiperbola.

Pada Gambar 3 dapat kita lihat masing-masing kurva untuk 𝑒 =1

2, 𝑒 =

1, dan 𝑒 = 2.

Untuk setiap kasus, kurva-kurva tersebut simetrik terhadap garis yang

melalui fokus dan yang tegak lurus pada garis arah. Garis ini kita sebut

sumbu panjang (atau sumbu) dari konik. Titik yang merupakan titik potong

sumbu dengan konik dinamakan puncak. Parabola memiliki satu puncak,

sedangkan pada elips dan hiperbola mempunyai dua puncak.

Gambar 2

𝐹

𝑃 𝐿

𝑙

Gambar 3

𝐹

𝑙

𝐹

𝑙

𝐹

𝑙

Elips (𝑒 =1

2) Parabola (𝑒 = 1) Hiperbola (𝑒 = 2)

3

PARABOLA (𝑒 = 1)

Parabola adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis

arah l dan fokus F, yaitu yang memenuhi hubungan

Dari ketentuan tersebut, kita dapat menentukan persamaan 𝑥𝑦, dan kita

ingin persamaan tersebut paling sederhana. Kedudukan sumbu koordinat

tidak mempengaruhi bentuk kurva, tetapi kedudukan itu dapat mempengaruhi

kesederhanaan persamaan kurva tersebut. Oleh karena sebuah parabola itu

simetrik terhadap sumbunya, sudah lazim untuk menempatkan satu dari

sumbu koordinat misalnya sumbu 𝑥 pada sumbu simetri kurva tersebut.

Kita ambil fokus F di sebelah kanan titik asal, misalnya di (𝑝, 0). Garis

arah kita ambil di sebelah kirinya dengan persamaan 𝑥 = −𝑝. Dengan

demikian, puncak parabola ada di titik asal sistem koordinat. Hal-hal di atas

dapat kita lihat pada Gambar 4.

Dari syarat 𝑃𝐹 = 𝑃𝐿 dan rumus jarak dua titik, kita peroleh

𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑥 + 𝑝 2 + 𝑦 − 𝑦 2

Berdasarkan lampiran 1 diperoleh:

(untuk lebih jelas, lihat lampiran 1)

𝑦2 = 4𝑝𝑥

Gambar 4

𝐿(−𝑝,𝑦)

𝑥

𝑦

𝑃(𝑥,𝑦)

𝐹(𝑝, 0)

𝑥 = −𝑝

𝑃𝐹 = 𝑃𝐿

…….. (3)

…….. (2)

4

Persamaan ini disebut persamaan baku sebuah parabola mendatar

(artinya sumbunya mendatar) dan yang terbuka ke kanan. Perhatikan bahwa

𝑝 > 0 dan 𝑝 merupakan jarak dari titik fokus ke puncaknya.

Ada tiga persamaan baku parabola. Apabila 𝑥 dan 𝑦 dipertukarkan kita

peroleh persamaan 𝑥2 = 4𝑝𝑦, yang merupakan persamaan parabola tegak

dengan fokus di (0,𝑝) dan garis arah 𝑦 = −𝑝. Jika kita beri tanda negatif

pada salah satu ruas persamaan parabola kita peroleh parabola yang terbuka

ke arah yang berlawanan. Keempat jenis parabola itu dapat dilihat pada

Gambar 5.

𝑥

𝑦

𝐹(𝑝, 0)

𝑥 = −𝑝

𝑦2 = 4𝑝𝑥

𝑥

𝑦

𝐹(−𝑝, 0)

𝑥 = 𝑝

𝑦2 = −4𝑝𝑥

𝑥

𝑦

𝐹(𝑜, 𝑝)

𝑦 = −𝑝

𝑥2 = 4𝑝𝑦

𝑥

𝑦

𝐹(𝑜,−𝑝)

𝑦 = 𝑝

𝑥2 = −4𝑝𝑦

Gambar 5

5

Secara ringkas, persamaan baku parabola dapat ditulis sebagai berikut:

1. Persamaan parabola dengan titik puncak 𝟎,𝟎

a. Persamaan parabola 𝑦2 = 4𝑝𝑥 merupakan persamaan parabola

dengan:

1) Fokus F 𝑝, 0

2) Persamaan direktris 𝑥 = −𝑝

3) Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 0

b. Persamaan parabola 𝑥2 = 4𝑝𝑦 merupakan persamaan parabola

dengan:

1) Fokus F 0,𝑝

2) Persamaan direktris 𝑦 = −𝑝

3) Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 0

2. Persamaan parabola dengan titik puncak 𝒂,𝒃

1. Persamaan parabola (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) merupakan persamaan

parabola dengan:

a. Fokus F(𝑝 + 𝑎, 𝑏);

b. Persamaan direktris 𝑥 = −𝑝 + 𝑎;

c. Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 𝑏

(untuk lebih jelasnya lihat lampiran 2)

2. Persamaan parabola (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) merupakan persamaan

parabola dengan:

1) Fokus F(𝑎,𝑝 + 𝑏, );

2) Persamaan direktris 𝑦 = −𝑝 + 𝑏;

3) Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 𝑎

(untuk lebih jelasnya lihat lampiran 2)

B. Contoh Soal Persamaan Baku Parabola

1. Tentukan fokus dan garis arah parabol 𝑦2 = 12𝑥

Penyelesaian

Diketahui 𝑦2 = 4(3)𝑥, maka 𝑝 = 3. Maka fokus parabola di (3,0) dan

garis arah 𝑥 = −3.

6

2. Tentukan fokus dan garis arah parabol 𝑥2 = −𝑦 dan gambarlah grafiknya.

Penyelesaian

Kita tulis 𝑥2 = −4 1

4 𝑦; maka 𝑝 =

1

4. Dari persamaan parabol itu, kita

lihat bahwa parabol tersebut tegak dan terbuka ke bawah. Fokus berada

pada 0,−1

4 dan garis arah 𝑦 =

1

4. Grafik parabol ini dapat dilihat pada

gambar berikut.

3. Tentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal dan berfokus di

(0,5).

Penyelesaian

Parabol ini terbuka ke atas dan 𝑝 = 5. Jadi persamaannya adalah 𝑥2 =

4 5 𝑦 atau 𝑥2 = 20𝑦 .

4. Tentukan persamaan parabol dengan puncak di titik asal, yang melalui

(−2,4) dan terbuka ke kiri. Gambar parabol ini.

Penyelesaian

Bentuk persamaan parabol adalah 𝑦2 = −4𝑝𝑥. Karena parabol ini melalui

(−2,4), maka (4)2 = −4𝑝(−2), sehingga 𝑝 = 2. Jadi persamaan yang

dicari adalah 𝑦2 = −8𝑥. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut.

𝑥

𝑦

1

−1

𝑥2 = −𝑦

1

−1

4

Gambar 6

7

5. Diketahui persamaan parabola 2 12y x .

Tentukan:

a. Koordinat puncak

b. Persamaan sumbu simetri

c. Koordinat fokus

d. Persamaan direktris

Jawaban:

Persamaan parabola 2 12y x berarti 4𝑝 = 12 atau 𝑝 = 3.

a. Koordinat puncak 𝑂 (0,0)

b. Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 0

c. Koordinat fokus (3,0)

d. Persamaan direktris 𝑥 = −3.

6. Diketahui persamaan parabola 2 4 8 20 0y y x .

Tentukkan:

a. Koordinat puncak

b. Persamaan sumbu simetri

c. Koordinat fokus

d. Persamaan direktris

𝑥

𝑦

1 −2

𝑦2 = −8𝑥

4

Gambar 7

3 (−2,4)

8

Jawaban :

Persamaan parabola 2 4 8 20 0y y x diubah ke dalam bentuk

2

4y b p x a

2

2

2

2

2

4 8 20 0

4 8 20

2 4 8 20

2 8 16

2 8 2

4 8 2

y y x

y y x

y x

y x

y x

p p

Sehingga:

a. Koordinat puncak (2,2)

b. Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 2

c. Koordinat fokus (4,2)

d. Persamaan direktris 𝑥 = 0.

C. Persamaan Garis Singgung Parabola

1. Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

Perhatikan gambar di

samping. Sebuah garis 𝑔 ∶ 𝑦 =

𝑚𝑥 + 𝑛 bersinggungan dengan

kurva parabola 𝑦2 = 4𝑝𝑥.

Dengan melakukan substitusi

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 kedalam 𝑦2 = 4𝑝𝑥

maka diperoleh :

𝑦2 = 4𝑝𝑥

(𝑚𝑥 + 𝑛)2 = 4𝑝𝑥

𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 = 4𝑝𝑥

𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑛− 4𝑝 𝑥 + 𝑛2 = 0 (merupakan persamaan kuadrat

dalam 𝑥)

Syarat garis menyinggung parabola adalah 𝐷 = 0 sehingga

diperoleh 𝑛 =𝑝

𝑚 (untuk lebih jelasnya lihat lampiran 3). Dengan proses

y = mx+n y

y2 = 4px

x

g

Gambar 8

9

yang sama, kita dapat mensubstitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 kedalam 𝑥2 = 4𝑝𝑦

diperoleh :

𝑥2 = 4𝑝𝑦

𝑥2 = 4𝑝 𝑚𝑥+ 𝑛

𝑥2 = 4𝑝𝑚𝑥+ 4𝑝𝑛

𝑥2 − 4𝑝𝑚𝑥 − 4𝑝𝑛 = 0 (merupakan persamaan kuadrat dalam 𝑥)

Syarat garis menyinggung parabola adalah 𝐷 = 0 sehingga diperoleh

𝑛 = −𝑚2𝑝 (untuk lebih jelasnya lihat lampiran 3).. Persamaan garis

singgung dengan gradient 𝑚 pada parabola :

a. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝

𝑚

b. 𝑥2 = 4𝑝𝑦 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥−𝑚2𝑝

c. (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑝

𝑚

d. (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)−𝑚2𝑝

(untuk lebih jelas lihat lampiran 3)

2. Persamaan garis singgung parabola dititik 𝑷 𝒙𝟏,𝒚𝟏

Perhatikan gambar

disamping. Titik 𝑃 𝑥1,𝑦1

terletak pada kurva parabola

𝑦2 = 4𝑝𝑥. Kita dapat

menentukan persamaan garis

singgung di titik tersebut.

Persamaan garis singgung dititik

𝑃 𝑥1,𝑦1 pada parabola :

a. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 adalah 𝑦1𝑦 = 2𝑝(𝑥+ 𝑥1)

b. 𝑥2 = 4𝑝𝑦 adalah 𝑥1𝑥 = 2𝑝(𝑦+ 𝑦1)

c. (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) adalah 𝑦1 − 𝑏(𝑦 − 𝑏) = 2𝑝(𝑥+ 𝑥1 − 2𝑎)

d. 𝑥 − 𝑎 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑏 adalah 𝑥1 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 2𝑝 𝑦 + 𝑦1 − 2𝑎

y y2 = 4px

x O

Gambar 9

10

D. Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Parabola

1. Tentukkan persamaan garis singgung parabola

2

1 4 2 di titik 2,5y x .

Jawaban:

Titik (2,5) pada parabola, yaitu 2

5 1 4 2 2 .

Persamaan garis singgung:

1 12 2

5 1 1 2 1 2 4

4 1 2 6

4 4 2 12

2 2 6

2 8 0

2 8 0

y b y b p x x a

y x

y x

y x

y x

y x

x y

Jadi, persamaan garis singgungnya 2 8 0x y .

2. Tentukkan persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik 𝑃(−3,1)

terhadap parabola 2y x .

Jawaban:

Garis singgung 2y x dengan gradien m adalah

1;dengan .

4

py mx p

m

1

4y mxm

Melalui 𝑃(−3,1), maka:

11

2

2

2

1 2

1

41 3

13

4

4 12 1

12 4 1 0

6 1 2 1 0

1 1

6 2

mm

m m

m m

m m

m m

m atau m

Untuk 1

1

6m garis singgungnya adalah

11 4

16

6

1 3

6 2

6 9 0

y x

y x

x y

Untuk 2

1

2m garis singgungnya adalah

11 4

12

2

1 1

2 2

2 1 0

y x

y x

x y

Jadi, persamaan garis singgungnya 6 9 0x y dan 2 1 0x y .

12

E. Latihan Soal

1. Persamaan parabola 2 20y x mempunyai titik fokus di koordinat…

2. Parabola 2 6 4 17 0y y x mempunyai titik puncak di titik…

3. Persamaan parabola 2 6 8 1 0y y x memiliki koordinat titik fokus …

4. Persamaan sumbu simetri parabola 2 8 8 0y y x adalah…

5. Persamaan direktris parabola 2 6 6 3x x y adalah…

6. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (5,0) dan garis

3 0x adalah…

7. Persamaan parabola yang memiliki titik puncak (-2,4), sumbu simetri

sejajar sumbu 𝑦, dan melalui titik (-1,3) adalah…

8. Persamaan garis singgung parabola 2 16y x yang tegak lurus garis

3 0x y adalah…

9. Persamaan garis singgung parabola 2

2 8 1x y dengan gradien 2

adalah…

10. Persamaan garis singgung parabola 2

2 8 6y x yang tegak lurus

garis 2 3 0x y adalah…

11. Tentukan persamaan parabol yang melalui titik asal sistem koordinat, jika

parabola ini melalui titik (3,−1) dan yang sumbu simetrisnya adalah

sumbu 𝑥. Buatlah sketsanya.

12. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya berada di titik asal,

sumbunya adalah sumbu 𝑦 dan melalui titik (−3,5).

13. Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (6,−5), jika puncaknya

berada di titik asal dan sumbunya berimpit dengan sumbu 𝑦.

14. Diketahui kurva parabola 2 2 6 19 0x x y

Tentukkan :

a. Koordinat puncak

b. Fokus

c. Persamaan sumbu simetri

13

15. Tentukkan persamaan parabola yang memiliki titik fokus F(-2,3) dan garis

direktris y = -4.

16. Tentukkan titik singgung parabola 2 8y x jika gradien garis singgung

adalah 2.

17. Kemiringan garis singgung parabola 𝑦2 = 5𝑥 di sebuah titik adalh 5

4.

Tentukan koordinat-koordinat titik itu.

18. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola 𝑦2 = −18𝑥 yang

sejajar dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0.

19. Tentukkan persamaan garis singgung parabola 2

1 6 3y x yang

sejajar dengan garis 2 1 0x y .

20. Tentukkan persamaan garis singgung parabola 2 2 4 7 0y y x yang

tegak lurus dengan garis 2 3 0x y

(Untuk pembahasan lihat lampiran 4)

14

Lampiran 1: Persamaan parabola

Ayo menemukan persamaan parabola

Perhatikan gambar 10 titik 𝑃 𝑥1,𝑦1

terletak pada parabola. Jarak titik 𝑃

ke direktris adalah

(𝑥 − (−𝑝))2 + (𝑦 − 𝑦)2 = (𝑥 +

𝑝).

Jarak titik 𝑃 ke titik fokus adalah

(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2

Oleh karena jaraknya sama, maka

(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2 = (𝑥+ 𝑝)

Dengan mengkuadratkan kedua ruas

diperoleh:

(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2 = (𝑥+ 𝑝)2

𝑥2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥+ 𝑝2

𝑦2 = 4𝑝𝑥

Jadi persamaan parabola dengan

puncak di O(0,0) adalah 𝑦2 = 4𝑝𝑥

y

x O

x=-p

F(p,0)

P(x,y)

Gambar 10

15

Lampiran 2: Persamaan Parabola dengan Titik Puncak (a,b)

A. Persamaan parabola (𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) merupakan persamaan

parabola dengan:

1. Fokus F(𝑝 + 𝑎, 𝑏);

2. Persamaan direktris 𝑥 = −𝑝 + 𝑎;

3. Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 𝑏

Misalkan titik P(x,y) adalah sebarang titik pada parabola.

Berdasarkan definisi parabola haruslah berlaku:

2 2 2

22 2 2 2 2 2

2

2

2 2 2 2 2 2

4 4

4

PF PL

x a p y b x a p

x a p ax px ap y b x a p ax ap px

y b px ap

y b p x a

Sehingga persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) dan fokus

F(a+p,b) adalah 2

4y b p x a .

y

x

Puncak A (a,b)

P(x,y)

F(a+p,b)

Sumbu simetri

G= garis direktris

Gambar 11

16

B. Persamaan parabola (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) merupakan persamaan

parabola dengan:

a. Fokus F(𝑎,𝑝 + 𝑏, );

b. Persamaan direktris 𝑦 = −𝑝 + 𝑏;

c. Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 𝑎

Misalkan titik P(x,y) adalah sebarang titik pada parabola. Berdasarkan

definisi parabola, haruslah berlaku :

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

2

2 2 2 2 2 2

4 4

4

PF PL

x a p y b y b p

x a y b p by py bp y b p by py bp

x a py bp

x a p y b

Sehingga persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) dan fokus

F(a,p+b) adalah 2

4x a p y b .

x

y

P(x,y)

b

a

A(a,b)

Sumbu simetri

G= garis distrik

Gambar 12

17

Lampiran 3: Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Gradien m

Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m.

𝑦2 = 4𝑝𝑥

(𝑚𝑥 + 𝑛)2 = 4𝑝𝑥

𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 = 4𝑝𝑥

𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑛− 4𝑝 𝑥 + 𝑛2 = 0

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

4

0 2 4 4

0 4 16 16 4

0 16 16:16

0

D b ac

mn p m n

m n pmn p m n

p pmnp

p mn

mn p

pn

m

𝑥2 = 4𝑝𝑦

𝑥2 = 4𝑝 𝑚𝑥 + 𝑛

𝑥2 = 4𝑝𝑚𝑥 + 4𝑝𝑛

𝑥2 − 4𝑝𝑚𝑥 − 4𝑝𝑛 = 0

2

2

2 2

2

2

4

0 4 4 1 4

0 16 16:16

0

D b ac

pm pn

p m pnp

pm n

n pm

a. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝

𝑚

Subtitusikan p

nm

ke persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

py mx

m

b. 𝑥2 = 4𝑝𝑦 adalah 𝑦 = 𝑚𝑥−𝑚2𝑝

Subtitusikan 2n m p ke persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

𝑦 = 𝑚𝑥 − 2m p

18

c. 𝑦 − 𝑏 2 = 4𝑝 𝑥 − 𝑎 adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑝

𝑚

Untuk parabola dengan bentuk umum 𝑦 − 𝑏 2 = 4𝑝 𝑥 − 𝑎 dengan garis

singgung y = mx+n dapat kita peroleh garis singgungnya dengan

mensubtitusikan garis y = mx+n ke dalam persamaan parabola.

2

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

4

4

2 4

2 2 2 4

2 2 4 4 2 0

2 2 4 4 2 0

y b p x a

mx n b p x a

mx n mx n b b p x a

m x mxn n mbx nb b p x a

m x mxn n mbx px pa nb n b

m x mn mb p x pa nb n b

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D=0

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

2 2 4 4 4 2 0

4 8 4 16 16 16 16 8 4 4 0

16 16 16 16 0:16

0

mn mb p m pa bn n b

m n m nb m b mnp mbp p m pa m bn m n m b

mnp mbp p m pap

mn mb p m a

mn mb m a p

mn m ma b p

pn ma b

m

Subtitusi nilai n pada persamaan y=mx+n

y mx n

py mx ma b

m

py b mx ma

m

py b m x a

m

Sihingga persamaan garis singgung parabola dengan bentuk umum

2

4y b p x a dengan garis singgung y=mx+n adalah

p

y b m x am

19

d. (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) adalah 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)−𝑚2𝑝

Untuk parabola dengan bentuk umum (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) dengan garis

singgung y=mx+n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya

dengan mensubsitusikan y=mx+n kedalam persamaan parabola.

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) 4 ( )

Subsitusikan

( ) 4 ( )

2 4 4

2 4 4 0

2 4 4 0

2 4 4 0

x a p y b

y mx n

x a p mx n b

x ax a pmx p n b

x ax a pmx p n b

x ax pmx a p n b

x a pm x a p n b

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

2

2 4 4 1 4 0

4 16 16 16 4 0

16 16 16 0:16

0

a pm p n b a

a pma p m p n b a

pma p m p n bp

ma pm n b

n b ma pm

n ma pm b

Subtitusi nilai n ke persamaan y=mx+n

2

2

2

2

y mx n

y mx ma pm b

y mx ma pm b

y b mx ma pm

y b m x a pm

Sehingga persamaan garis singgung parabola dengan bentuk umum

(𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) dengan garis singgung y=mx+n adalah

2y b m x a pm

20

y

x

P(x,y)

y = mx+n

n= -ma+pm2+b

y-b = m(x-a)-pm2

Gambar 13

21

Lampiran 4: Pembahasan Soal

1. Diketahui : 𝑦2 = −20𝑥

Ditanya : 𝐹 = ⋯ ?

Jawab :

𝑦2 = −20𝑥

𝑦2 = 4(−5)𝑥

𝑝 = −5

Jadi, 𝐹( 5, 0 )

2. Diketahui : 𝑦2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0

Ditanya : titik puncak 𝑃 = ⋯ ?

Jawab :

𝑦2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0

𝑦2 − 6𝑦 = −4𝑥 − 17

(𝑦 − 3)2 = −4𝑥 − 17 + 9

(𝑦 − 3)2 = −4𝑥 − 8

(𝑦 − 3)2 = −4(𝑥 + 2)

Jadi, 𝑃(−2,3)

3. Diketahui : 𝑦2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0

Ditanya : 𝐹 = ⋯ ?

Jawab :

𝑦2 − 6𝑦 + 4𝑥 + 17 = 0

𝑦2 − 6𝑦 = −8𝑥 − 1

(𝑦 − 3)2 = −8𝑥 − 1 + 9

(𝑦 − 3)2 = −8𝑥 + 8

𝑦 − 3 2 = −8 𝑥 − 1

(𝑦 − 3)2 = 4 −2 (𝑥 − 1)

𝑃 = −2

fokus (𝑝 + 𝑎, 𝑏)

Jadi, 𝐹 −2 + 1, 3 = 𝐹 (−1, 3)

22

4. Diketahui : 𝑦2 + 8𝑦 − 8𝑥 = 0

Ditanya : Sumbu simetri …?

Jawab :

𝑦2 + 8𝑦 − 8𝑥 = 0

𝑦2 + 8𝑦 = 8𝑥

(𝑦 + 4)2 = 8𝑥 + 16

(𝑦 + 4)2 = 8(𝑥 + 2)

(𝑦 + 4)2 = 4 . 2 (𝑥 + 2)

𝑎 = −2

𝑏 = −4

𝑝 = 2

Persamaan sumbu simetri 𝑦 = 𝑏 jadi 𝑦 = −4

5. Diketahui : 𝑥2 − 6𝑥 = 6𝑦 + 3

Ditanya : Persamaan direktris …?

Jawab :

𝑥2 − 6𝑥 = 6𝑦 + 3

(𝑥 − 3)2 = 6𝑦 + 3 + 9

(𝑥 − 3)2 = 6𝑦 + 12

𝑥 − 3 2 = 6 𝑦 + 2

(𝑥 − 3)2 = 4 .3

2 (𝑦 + 2)

𝑎 = 3 ; 𝑏 = −2 ; 𝑃 = 3

2

Direktris 𝑦 = −𝑝 + 𝑏

Jadi, 𝑦 = −3

2− 2

𝑦 = −7

2

6. Diketahui : 𝐹( 5, 0 )

Direktris 𝑥 + 3 = 0

Ditanya : Persamaan parabola …?

23

Jawab :

Karena 𝐹( 5, 0 ) dan 𝑥 + 3 = 0

𝑥 = −3 maka kurva terbuka kekanan sehingga (𝑦 − 𝑏)2 =

4𝑝(𝑥 − 𝑎) dengan puncak (𝑎, 𝑏)

𝐹 𝑝 + 𝑎, 𝑜 = ( 5, 0 )

𝑝 + 𝑎 = 5

𝑎 = 5 − 𝑝

𝑥 = −𝑝 + 𝑎

−3 = −𝑝 + 5 − 𝑝

𝑝 = 4

𝑎 = 5 − 𝑝

𝑎 = 5 − 4 = 1

𝑏 = 0

Jadi, 𝑦 − 𝑏 2 = 4𝑝 𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏 2 = 4.4 𝑥 − 1

𝑦2 = 16 𝑥 − 1

𝑦2 = 16𝑥 − 16

7. Diketahui : puncak 𝑃( −2, 4 )

Sumbu simetri sejajar sumbu 𝑦 dan persamaan parabola melalui

𝐴(−1, 3)

Ditanya : Persamaan parabola …?

Jawab :

Karena sumbu simetri sejajar sumbu 𝑦 dan 𝑃( −2, 4 ) maka

persamaan parabolanya :

𝑥 − 𝑎 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑏

𝑥 + 2 2 = 4𝑝 𝑦 − 4

Melalui 𝐴(−1, 3)

−1 + 2 2 = 4𝑝 3 − 4

1 2 = 4𝑝 −1

1 = −4𝑝

24

𝑝 = −1

4

Persamaan parabolanya :

𝑥 − 2 2 = 4 −1

4 (𝑦 − 4)

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = −(𝑦 + 4)

𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦 = 0

8. Persamaan garis singgung parabola 𝑦2 = 16𝑥 yang tegak lurus garis 𝑥 + 𝑦 +

3 = 0 adalah…

Jawab :

𝑦2 = 16𝑥

𝑦2 = 4 4 𝑥 ;𝑝 = 4

𝑥 + 𝑦 + 3 = 0

𝑦 = −𝑥 − 3 ;𝑚1 = −1

Karena tegak lurus maka 𝑚1.𝑚2 = −1

−1 . 𝑚1 = −1

𝑚2 = 1

Persamaan garis singgungnya :

𝑦 = 𝑚2 . 𝑥 +𝑝

𝑚2

= 1 . 𝑥 +4

1

= 𝑥 + 4

9. Persamaan garis singgung parabola (𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 + 1) dengan gradient 2

adalah…

Jawab:

(𝑥 − 2)2 = 8 𝑦 + 1 ;𝑚 = 2 ⇒ 𝑝 =8

4= 2 ;𝑎 = 2 ; 𝑏 = 1

𝑦 + 𝑏 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 − 𝑚2𝑝

𝑦 + 1 = 2𝑥 − 4 − 8

𝑦 − 2𝑥 + 13 = 0

−2𝑥 + 𝑦 + 13 = 0

25

10. Persamaan garis singgung parabola (𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 + 6) yang tegak lurus

garis 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 adalah …

Jawab :

(𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 + 6)

𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0

2𝑦 = −𝑥 + 3

𝑦 = −1

2𝑥 +

3

2

𝑝 = 2

𝑏 = 2

𝑎 = 6

𝑚 = −1

2

Karena tegak lurus maka :

𝑚1.𝑚2 = −1

−1

2 .𝑚2 = −1

𝑚2 = 2

Persamaan garis singgungnya adalah …

𝑦 − 𝑏 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 +𝑝

𝑎

𝑦 − 2 = 2 𝑥 + 6 + 1

𝑦 = 2𝑥 + 12 + 1 + 2

𝑦 = 2𝑥 − 15

11. Diketahui : Puncak (0,0)

Melalui titik A(3,-1)

Sumbu simetri adalah sumbu x

Ditanya : a. Persamaan parabola?

b. Sketsa grafik?

Dijawab : a. 𝑦2 = 4𝑝𝑥 karena melalui A(3,-1), maka:

26

−1 2 = 4𝑝 3

1 = 12𝑝

𝑝 =1

12

Jadi, persamaan bola dengan puncak (0,0) dan melalui titik (3,-1) serta sumbu x

sebagai sumbu simetrinya adalah 𝑦2 = 4 1

12 𝑥 atau 𝑦2 =

1

3𝑥.

b.

12. Diketahui : Puncak (0,0)

Melalui titik (-3,5)

Ditanya : Persamaan parabola?

Dijawab : parabola 𝑦2 = 4𝑝𝑥 melalui A(-3,5), maka:

5 2 = 4𝑝 −3

25 = −12𝑝

𝑝 = −25

12

Jadi, persamaan bola dengan puncak (0,0) dan melalui titik (-3,5) serta sumbu

y sebagai sumbu simetrinya adalah 𝑦2 = 4 −25

12 𝑥 atau 𝑦2 = −

25

3𝑥.

(3,-1) (0,0)

y

x

27

13. Diketahui : Puncak (0,0)

Melalui titik A(6,-5)

Sumbu simetri adalah sumbu y

Ditanya : Persamaan parabola?

Dijawab : parabola 𝑥2 = 4𝑝𝑦 karena melalui A(6,-5), maka:

6 2 = 4𝑝 −5

36 = −20𝑝

𝑝 = −36

20

𝑝 = −9

5

Jadi, persamaan bola dengan puncak (0,0) dan melalui titik (6,-5) serta sumbu

y sebagai sumbu simetrinya adalah 𝑥2 = 4 −9

5 𝑦 atau 𝑥2 = −

36

5𝑦

14. Jawab:

𝑥2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 19 = 0

𝑥2 − 2𝑥 = 6𝑦 − 19

𝑥 − 1 2 = 6𝑦 − 19 + 1

𝑥 − 1 2 = 6𝑦 − 18

𝑥 − 1 2 = 6 𝑦 − 3

4𝑝 = 6

𝑝 =6

4=

3

2

Jadi, koordinat puncak parabola 𝑥2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 19 = 0 adalah (1,3)

a. 𝐹 𝑝 + 𝑎, 𝑏 = 3

2+ 1, 3

= 5

2, 3

Jadi, koordinat fokus pada parabola 𝑥2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 19 = 0 adalah 5

2, 3

b. Persamaan sumbu simetri 𝑥 = 1

28

15. Diketahui : F(-2,3)

Garis direktris y = -4

Ditanya : Persamaan bola?

Dijawab : Karena y=-4 dan F(-2,3) maka kurva terbuka ke atas. Sehingga

persamaan parabolanya: (𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏) ….. (1)

F(-2,3)=(a, p+b)

a = -2

p+b=3

p = 3 – b … (2)

l : y = -4

-p + b = -4

b = -4 + p … (3)

Substitusi (3) ke (2)

b = -4 + 3 –b

2b = -1

b = -1

𝑏 = −1

2 (Substitusi ke (2))

𝑝 = 3 +1

2

𝑝 =7

2

Substitusi a,b,p, ke (1)

𝑥 + 2 2 = 4.7

2 𝑦 +

1

2

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 14 𝑦 +1

2

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 14𝑦 + 7

𝑥2 + 4𝑥 − 14𝑦 − 3 = 0

29

16. Diketahui : Persamaan parabola 𝑦2 = 8𝑥

Gradien = 2

Ditanya : Titik singgung T?

Dijawab : 𝑦2 = 8𝑥

𝑦2 = 4 2 𝑥

𝑝 = 2

Persamaan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 +𝑝

𝑚

𝑦 = 2𝑥 +2

2

𝑦 = 2𝑥 + 1 … (1)

Substitusi (1) ke persamaan parabola

2𝑥 + 1 2 = 8𝑥

4𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 8𝑥

0 = 4𝑥2 − 4𝑥 + 1

0 = 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1

0 = 2𝑥 − 1

2𝑥 = 1

𝑥 =1

2

Substitusi ke (1)

𝑦 = 2 1

2 + 1

𝑦 = 1 + 1

𝑦 = 2

30

Jadi, titik singgung parabola T adalah 1

2. 2

17. Diketahui : 𝑦2 = 5𝑥 ,𝑚 = 5

4

Ditanya : Titik singgung T?

Dijawab : 𝑦2 = 5𝑥

4𝑝 = 5

𝑝 =5

4

Persamaan garis singgungnya:

𝑦 = 𝑚𝑥 +𝑝

𝑚

𝑦 = 5

4𝑥 +

54

54

𝑦 = 5

4𝑥 + 5 …. (1)

Substitusi (1) ke 𝑦2 = 5𝑥

5

4𝑥 + 5

2

= 5𝑥

5

16𝑥2 +

5

2𝑥 + 5 = 5𝑥

5𝑥2 + 40𝑥 + 80 = 80𝑥

5𝑥2 − 40𝑥 + 80 = 0

𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0

𝑥 − 4 𝑥 − 4 = 0

𝑥 − 4 = 0

𝑥 = 4

31

Jadi, koordinat titik singgung parabola T adalah 𝑇 4,2 5

18. Diketahui : Parabola 𝑦2 = −18𝑥

Sejajar dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

Ditanya : Persamaan garis singgung parabola?

Dijawab : 𝑦2 = −18𝑥

4𝑝 = −18

𝑝 = −18

4

𝑝 = −9

2

Sejajar dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

2𝑦 = 3𝑥 + 4

𝑦 =3

2𝑥 + 2

Karena sejajar, maka 𝑚1 = 𝑚2 =3

2

Persamaan garis singgung:

𝑦 = 𝑚𝑥 +𝑝

𝑚

𝑦 =3

2𝑥 + −

9

2 .

2

3

𝑦 =3

2𝑥 −

18

6

𝑦 =3

2𝑥 − 3

Jadi, persamaan garis singgung parabolanya adalah 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0

19. Diketahui : parabola 𝑦 − 1 2 = 6 𝑥 − 3

32

Sejajar dengan 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

Ditanya : Persamaan garis singgung?

Dijawab : 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

𝑦 = −2𝑥 + 1

Karena sejajar, maka 𝑚1 = 𝑚2 = −2

Persamaan garis singgungnya

𝑦 − 1 = −2 𝑥 − 3 +3

2

−2

𝑦 − 1 = −2𝑥 + 6 −3

4

4𝑦 − 4 = −8𝑥 + 24 − 3

4𝑦 + 8𝑥 − 25 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 4𝑦 + 8𝑥 − 25 = 0

20. Diketahui : parabola 𝑦2 − 2𝑦 − 4𝑥 − 7 = 0 sejajar dengan 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

Ditanya : Persamaan garis singgung?

Dijawab : 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

2𝑦 = −𝑥 − 3

2𝑦 = −𝑥 − 3

𝑦 = −1

2𝑥 −

3

2

Karena tegak lurus, maka 𝑚1 .𝑚2 = −1. Sehingga 𝑚2 = 2

Persamaan garis singgungnya

𝑦 − 1 = 2 𝑥 + 1 +1

2

2𝑦 − 2 = 4𝑥 + 2 + 1

33

2𝑦 − 2 = 4𝑥 + 3

4𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0

Jadi, persamaan garis singgung parabola adalah 4𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0

34

DAFTAR RUJUKAN

Aksin, Nur dan Muklis. 2014. Matematika: Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu

Alam. Klaten: PT Intan Pariwara

Purcell, Edwin J. Dan Dale Varbeg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2

Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga