INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

HITUNG PERATAAN

PERAMBATAN KESALAHAN

Fikri Pramana PutraArdana Denta DyaksaNarendra Saktyo Adi

JURUSAN TEKNIK GEOMATIKA

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur saya panjatkan kepada tuhan yang maha esa, karena atas berkat dan limpahan rahmatnyalah maka selesailah sebuah karya tulis dengan tepat waktu.

Berikut ini penulis mempersembahkan sebuah makalah dengan judul "Perambatan Kesalahan", yang mmenurut dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita untuk mempelajari hitung perataan tentang perambatan kesalahan

Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan memohon permakluman bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang saya buat kurang tepat atau menyinggu perasaan pembaca.

Dengan ini saya mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga allah SWT memberkahi makalah ini sehingga dapat memberikan manfaat.

Surabaya, 26 Februari 2013"Penulis"

Perambatan Kesalahan

Dalam survei, baik itu yang bersifat rekayasa dan keilmuan, nilai yang diukur secara langsung di lapangan sering dipakai untuk menghitung nilai lainnya berdasarkan hubungan fungsional ( model matematika). Jika hasil ukuran di lapangan mengandung kesalahan maka hasil hitungan juga mempunyai nilai kesalahan. Penentuan kesalahan hitungan sebagai fungsi kesalahan pengukuran disebut sebagai perambatan kesalahan.

Misal :x = nilai ukuran Y = nilai baru yang baru dihitung dari x berdasar

y = ax + b (2-1)

persamaan tersebut direpresentasikan oleh garis lurus dalam gambar. Koefisien a dan b diasumsikan tidak memilii kesalahan

β tanβ=a

y y 1dy

dx

b

X1 X2

Untuk tujuan analisis, akan lebih mudah, jika digunakan konsep nilai sebenarnya dan mendefinisikan nilai kesalahan sebagai nilai ukuran dikurangi nilai sebenarnya.

x=x 1+dx (2-2)x1 = nilai sebenarnya dari xdx= nilai kesalahan dari x

Kemudian jika y1 menyatakan nilai sebenarnya dari y dapat dihitung dari x1 dengan menggunakan persamaan (2-1)

y 1=ax 1+b (2-3)

Kemudian substitusikan persamanaan (2-2) ke dalam persamaan (2-1) maka akan diperoleh persaamaan sbagai berikut :

y=ax+b¿a ( x 1+dx )+b¿ax 1+b+adx

y= y1+adx (2-5)

Jika dy menyatakan kesalahan dalam y,maka berdasarkan persamaan diatas

dy = adx (2-6)

berdasarkan ilmu kalkulus,turunan y terhadap x dari persamaan (2-1) adalah dy/dx = a sehingga persamaan diatas menjadi

dy = dy/dx dx (2-7)

Persamaan tersebut menyatakan diferensial dari fungsi persamaan (2-1). Hal ini menjelaskan bahwa dy yang dihasilkan dari fungsi tersebut identik dengan kesalahan sebagai diferensial total dari kalkulus karena fungsi y = ax +b linier untuk pengukuran nilai x. Dapat dilihat dari persamaan diatas akan berbeda untuk fungsi non linier.

Jika fungsi hitungan y yang diukur berdasarkan nilai ukuran x adalah non linier. Persamaannya

y = x2 (2-8)

dan

y = (y1 + dy) = x2 = (x1 + dx)2 = y12 + 2x1dx + (dx)2 (2-9)

dari persamaan (2-9) diperoleh

dy = 2x1dx + (dx)2 (2-10)

Berdasarkan persamaan (2-7) 2x1 adalah turunan y terhadap x pada nilai x1 maka pers (2-10) dapat dinyatakan sebagai pers berikut

dy = dy/dx dx + (dx)2 (2-11)

Kemudian akan dibahas kasus dimana fungsi y dihitung berdasarkan beberapa variabel x. Misalnya bidang persegi dengan panjang x1 dan x2. Maka luas dari bidang tersebut adalah y = x1x2. Jika terdapat lebih dari satu variabel dalam sebuah fungsi, maka aturan diferensial parsial harus diterapkan. Secara spesifik jika kesalahan dalam x1 , x2 , x3 , ... xn disajikan dengan dx1 , dx2 , dx3 , ... dxn maka kesalahan y ditulis dengan persamaan sebagai berikut:

dy=∂ y∂ x1

dx1+∂ y∂x2

dx2+…+ ∂ y∂ xn

dxn (2-12)

Dimana nilai diferensial parsial ∂ y∂ x1

dx1 ,∂ y∂x2

dx2 ,…,∂ y∂ xn

dxn dihitung pada nilai x1 , x2 , x3 , ...

xn.