penyelesaian integral dimensi-n menggunakan...

PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n

MENGGUNAKAN TEOREMA TONELLI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Syarat

Mencapai Gelar Sarjana S-1

Oleh :

NURWIYATI

0901060149

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

2013

lft--'i="I',,::l

IIALAI\{AN PERSETUJUAII

PDNYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI.,, MENGGT,NAKAN TEOREMATOI\IELLI

SKRIPSI

Oleh

I{URWTYATI

0901050149

Telah diporikse dan disetujui oleh:

Pembimbing I Pombimbing II

4k+ Setveninsih- M.Si Erni Yldivestutt M.SiNrK.21601tD ntII( 2160227

l

:

-iPenyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013

1.

Skripsi Berjudul

PEI\TYELESAIAII INTEGRAL DIMENSI-r MENGGtiNAKAft TEOREMA

TOI\TELLI

Dipersiapkan dan disusun oleh:

1YTTRWIYATI0901060149

Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 16 Agustus 2013

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk diterima sebagai kelengkapan

persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Pembimbing

Eka Setyaninesih. S.Si.. M.SiNIK.2160109

Erni Widivastuti. S.Si.. M.SiNtK.2160227

Penguji

Dr. H. Akhmad Jazuli" M.SiNIK.2160037

Chumaedi Sueihandadji. S.Si.. M.SiNIK.2160127

Purwokerto, 16 Agustus 2013Universitas Muhammadiyah PurwokertoFakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Dekan,

Drs. Ahmad. M.Pd

. 19650804 199403 I 002

2.

qz...."{!::::::::::_:: .m

l.

2.

ffiffiR

Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013

ST]RAT PERNYATAAI\I

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama

NIM

Program Studi

Fakultas

Nurwiyati

0901060149

P*fidikan Matematika

Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Menyusun skripsi denganjudul :

PEI\IYELESAIAI\I INTEGRAL I}IMENSI-z MENGGUNAKAI\I TEOREMA TONELLI

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi ini adalah hasil karya tulis saya sendiri dan

bukan dibuatkan orang lain atau jiplakan karya orang lain. Bila pernyataan ini tidak benar,

maka saya bersedia menerima saoksi termasuk pencabutan gelar kesarjanaan yaug sudah saya

peroleh.

Purwokerto, 16 Agustus 2013

Yang menyatakan

TURWTYATI(0901060149)

lvPenyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013

v

PERSEMBAHAN

Mengucap puji syukur padaMu ya Alloh atas semua berkah dan

rahmat yang telah Engkau berikan. Dengan tulus skripsi ini ku

persembahkan untuk:

Bapak dan Mama yang selalu memberi dukungan kepadaku.

Terima kasih banyak atas do’a yang senantiasa mengalir

untukku. Buat Mama, semoga sakit yang sudah sekian lama

diderita bisa cepat sembuh dan bisa sehat kembali.


vi

MOTTO

Sesungguhnya sesudah kesulitan akan datang kemudahan, maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh - sungguh (urusan) yang lain.

( Q. S. Al insyirah : 6-7).

Barang siapa yang menempuh jalan di dunia ini untuk mencari ilmu di dalamnya, maka Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga

( H. R Muslim). My Quality Must Be Better Than My Performance


vii

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan penyelesaian integral dimensi-n

menggunakan Teorema Tonelli. Metode penelitian yang digunakan dalam

penyusunan skripsi ini adalah studi literatur dengan langkah - langkah sebagai

berikut: 1) Menyelidiki apakah permasalahan integral dimensi-n dapat

diselesaikan secara langsung dengan urutan pengintegralan yang diberikan. 2)

Menyelidiki keterintegralan dari fungsi pada permasalahan integral dimensi-n

yang diberikan. 3) Menyelidiki keterukuran fungsi pada permasalahan integral

dimensi-n. Jika fungsi terukur dan non-negatif, Teorema Fubini sulit diterapkan

pada permasalahan ini, maka dalam hal ini diterapkan Teorema Tonelli.

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan sebagai berikut:

jika terdapat fungsi RBAf : merupakan fungsi yang terukur dan non-

negatif pada interval nRBA dan

BA

dxdyyxf , , maka

ABBA

dxyxfdydyyxfdx ,, . Tetapi jika

BA

dxdyyxf , dapat diartikan

integral dari nilai absolut fungsi tidak terbatas, maka dapat disimpulkan nilai

BA

dxdyyxf , tidak terdefinisi dan ABBA

dxyxfdydyyxfdx ,, , sehingga

Teorema Tonelli tidak berlaku pada permasalahan ini.

Kata Kunci : Integral Dimensi-n, Teorema Tonelli


viii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang

Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada

hambaNya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan

keberkahanNyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi yang

berjudul “Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli”.

Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW

beserta keluarga dan sahabatnya.

Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini

dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai

manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya

bahwa masih banyak banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata

bahasa, maupun teknik dan kelengkapan penyajian.

Pada kesempatan ini peneliti menyampaikan terimakasih kepada semua

pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih

peneliti ucapkan kepada:

1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah

Purwokerto.

2. Drs. Ahmad, M.Pd, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Purwokerto.


ix

3. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si, Kaprodi Pendidikan Matematika dan

Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan

dalam penyusunan skripsi ini.

4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si, Pembimbing I yang telah memberikan

motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk

serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

5. Semua pihak yang tidak mungkin peneliti sebutkan satu persatu yang secara

langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat

dalam penyusunan skripsi ini.

Teriring do’a dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan

senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Peneliti

berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua.

Purwokerto, 16 Agustus 2013

Peneliti


x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ........................................................................ ii

HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii

SURAT PERNYATAAN ................................................................................ iv

PERSEMBAHAN ........................................................................................... v

MOTTO .......................................................................................................... vi

ABSTRAK ...................................................................................................... vii

KATA PENGANTAR .................................................................................... viii

DAFTAR ISI ................................................................................................... ix

DAFTAR LAMBANG ................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xvii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................... 3

C. Tujuan .................................................................................................. 3

D. Manfaat Penelitian ............................................................................... 4

BAB II KAJIAN TEORI

A. Sistem Bilangan Real .......................................................................... 5

B. Himpunan ............................................................................................ 8


xi

1. Himpunan Terbatas ...................................................................... 8

2. Himpunan Bilangan Real ............................................................. 11

3. Himpunan Terbuka dan Tertutup ................................................. 12

C. Fungsi .................................................................................................. 14

1. Fungsi Komposisi ......................................................................... 15

2. Fungsi Aljabar .............................................................................. 16

3. Fungsi Transenden ....................................................................... 16

4. Fungsi Terbatas ............................................................................ 18

D. Limit .................................................................................................... 19

1. Limit Fungsi di R .......................................................................... 19

2. Limit Fungsi di 2R ....................................................................... 22

3. Limit Fungsi di nR ....................................................................... 22

E. Kekontinuan ........................................................................................ 23

1. Kekontinuan di R .......................................................................... 23

2. Kekontinuan di 2R ....................................................................... 24

3. Kekontinuan di nR ....................................................................... 24

F. Turunan

1. Turunan di R ................................................................................. 25

a. Aturan Pencarian Turunan .................................................... 27

b. Turunan Fungsi Trigonometri ............................................... 28

c. Turunan Fungsi Invers .......................................................... 28

d. Turunan Fungsi Komposisi ................................................... 29


xii

e. Turunan Fungsi Logaritma .................................................... 29

f. Turunan Fungsi Eksponensial ............................................... 29

g. Turunan Tingkat Tinggi ........................................................ 30

2. Turunan di nR .............................................................................. 30

G. Integral ................................................................................................ 35

1. Integral Tak Tentu ........................................................................ 36

2. Integral Tentu ............................................................................... 41

a. Integral lipat dua atas persegi panjang .................................. 43

b. Integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang ............ 46

c. Perhitungan integral lipat dua atas daerah persegi panjang .. 47

d. Integral lipat dua dalam koordinat kutub .............................. 49

H. Integral Kurzweil-Henstock ................................................................ 52

I. Himpunan Terukur .............................................................................. 57

1. Ukuran Luar ................................................................................. 57

2. Ukuran Dalam .............................................................................. 57

3. Himpunan Terukur ....................................................................... 58

J. Fungsi Terukur .................................................................................... 58

K. Teorema Tonelli .................................................................................. 60

BAB III METODOLOGI PENELITIAN......................................................... 61

BAB IV PEMBAHASAN ............................................................................... 66

A. Integral Dimensi-n ............................................................................... 66

B. Sifat – Sifat Integral Dimensi-n .......................................................... 68


xiii

C. Teorema Tonelli .................................................................................. 73

D. Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli ..... 74

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan .......................................................................................... 90

B. Saran .................................................................................................... 90

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 91


xiv

DAFTAR LAMBANG

Untuk setiap

Elemen/anggota

Bukan anggota

Himpunan bagian sejati

Himpunan bagian

R Sistem bilangan real

nR Ruang dimensi-n

0R Himpunan semua bilangan real kecuali 0

x Harga mutlak x

yx x lebih besar dari y

yx x lebih kecil dari y

yx x lebih besar atau sama dengan y

yx x lebih kecil atau sama dengan y

yx Jika x maka y

yx x jika dan hanya jika y

█ Bukti selesai

Tidak sama dengan

Sup A Batas atas terkecil himpunan A

Inf A Batas bawah terbesar himpunan A


xv

Gabungan

Irisan

Himpunan kosong

fD Daerah asal fungsi f

fR Daerah hasil fungsi f

fg Komposisi fungsi f dilanjutkan fungsi g

fgD Daerah asal komposisi fungsi fg

fgR Daerah hasil komposisi fungsi fg

xf 1 Invers fungsi xf

xfcx

lim Limit dari fungsi xf dengan x mendekati c

xfcx

lim Limit kanan fungsi xf di titik c

xfcx _

lim

Limit kiri fungsi xf di titik c

xf ' Turunan pertama dari fungsi xf

J Volume atau ukuran (measure) interval BAJ

P Panjang maksimum selang bagian pada partisi P

E* Ukuran luar himpunan E

E* Ukuran dalam himpunan E

E Ukuran himpunan E

BAf : Fungsi atau pemetaan dengan domain A dan range B


xvi

b

a

dxxf Integral dari fungsi xf pada ba,

J

dxxf Integral dari fungsi xf pada interval J

BA

dxdyyxf , Integral dari fungsi yxf , pada interval BA

A B

dyyxfdx , Integral dari fungsi yxf , yang diintegralkan pertama

pada interval B kemudian dilanjutkan pada interval A

nn

J

dxdxdxxxxf ...,...,, 2121... Integral fungsi nxxxf ,...,, 21 pada interval

nRJ


xvii

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR Halaman

II.1 Anggota Himpunan A ............................................................................... 10

II.2 Diagram Panah Fungsi xfy ............................................................. 15

II.3 Diagram Panah Fungsi fg .................................................................. 16

II.4 Himpunan S .............................................................................................. 24

II.5 Fungsi f ..................................................................................................... 31

II.6 Jumlah Riemann ....................................................................................... 42

II.7 Daerah dycbxayxR ,:, ................................................. 43

II.8 Permukaan yxfz , ............................................................................. 44

II.9 Kurva S Tertutup ...................................................................................... 46

II.10 Kurva S dikelilingi Persegi Panjang R ................................................... 46

II.11 Kurva S: yxfz , ............................................................................... 46

II.12 Kurva Sederhana-y ................................................................................. 47

II.13 Kurva Sederhana-x ................................................................................. 47

II.14 Kurva S Sebagai Persegi Panjang .......................................................... 48

II.15 Kurva S Bukan Sederhana x atau Sederhana y ...................................... 48

II.16 Gabungan Dua Himpunan Sederhana-y 1S dan 2S ............................... 49

II.17 Persegi Panjang Kutub ........................................................................... 50

II.18 ,, rFyxfz .............................................................................. 50


xviii

II.19 Partisi R dalam Persegi Panjang Kutub .................................................. 51

IV.1 Irisan Oleh Bidang y = konstan ............................................................... 72

IV.2 Irisan Oleh Bidang x = konstan ............................................................... 73

IV.3 Irisan Oleh Bidang y = konstan ............................................................... 74

IV.4 Fungsi 22 yxez ................................................................................... 80


penyelesaian integral dimensi-n menggunakan...

Documents