Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

1

Pengintegralan dan PenurunanDeret Fourier

( )

( )

∑

∑∫∫∫

∑

∞

=

∞

=

∞

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−=

++=

≤<≤−++=

11110

10

11

0

)sin(sin)cos(cos)(21

sincos21)(

untuksincos21)(

111

n

nn

n

t

tnn

t

t

t

t

nnn

ntntnantnt

nbtta

dtntbntadtadttf

ttntbntaatf ππ

IntegralDeretFourier

( )

∑

∑∞

=

∞

=

−=

++=

1

10

)sincos()('

sincos21)(

nnn

nnn

ntnantnbtf

ntbntaatfTurunanDeret Fourier

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

2

Teori Parseval(March Antoine Parseval ahli matematika Francis)

( )∑∞

=

++=1

0 sincos)(n

nn nxbnxaaxfDeret Fourier :Ruas kiri dan kanan dikalikan dengan f(x) kemudian di integralkan dari -π sampai π

Identitas Parseval ( )∑∫∞

=−

++=1

2220

2 2)(1n

nn baadxxfπ

ππ

L

L

,2,1sin)(1

,2,1cos)(1

)(21

0

==

==

=

∫

∫

∫

−

−

−

nnxdxxfb

nnxdxxfa

dxxfa

n

n

π

π

π

π

π

π

π

π

π

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

3

Identitas Parseval

( )∑∞

=

++=1

0 sincos21)(

nnn tnbtnaatf ωω

Identitas Parseval :

Untuk deret Fourier :

( )∑∫∞

=

++=1

2220

0

2

21

41))((1

nnn

T

baadttfTPeriode T

( )∑∫∞

=−

++=1

2220

2

21))((1

nnn

L

L

baadttfL

Periode T = 2L

∑∑∫∞

−∞=

∞

−∞=

==n

nn

nn

T

cccdttfT

2*

0

2))((1Deret Fourier Komplek

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

4

Daya rata-rata Pav

( )

( )∑

∫

∞

=

++=

=

−

1

2220

0

2

av

21

41

teoremadengan

)(1

kandidefinisi periodedengan periodik sinyal dari P ratarataDaya

nnnav

T

av

baaP

Parseval

dttfT

P

T f(t)

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

5

Contoh :

Carilah Daya rata-rata pada tahanan 1Ω oleh sinyal tegangan dengan periode 2π diberikan oleh :

ttttv 3cos212sin

31cos)( +−=

( ) dttvP

baa

Ttv

av ∫=−

−===

=

π

π

π

2

0

2

231

)(21ratarataDaya

31,

21,1:FourierderetKoefisien

2periodedenganperiodik)(

Dengan teori Parseval didapatkan :

Penyelesaian :

W68,021

311

21 22

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=avP

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

6

Fungsi Ortogonal.

Dua fungsi gm(x) dan gn(x) dikatakan ortogonaldalam interval a ≤ t ≤ b jika

( ) nmdxxgxgggb

anmnm ≠== ∫ 0)()(,

Akar kuadrat (gm,gm) yang tak negatif disebut norma(ukuran) dari gm(x) dan secara umum dinyatakandengan :

∫==b

ammmm dxxgggg )(),( 2

mg

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

7

Fungsi Ortogonal.

Suatu himpunan ortogonal g1,g2,… pada selang a ≤ t ≤ byang fungsi-fungsinya mempunyai norma 1 memenuhihubungan

( ) ∫⎩⎨⎧

===≠

==b

anmnm nnm

mnmdxxgxggg

L

L

,2,1untuk1,2,1untuk0

)()(,

Himpunan semacam ini disebut himpunan ortonormaldari fungsi-fungsi pada selang a ≤ t ≤ b

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

8

Fungsi Ortogonal.

Penulisan secara singkat (gm,gn) = δmn yang disebutdelta Kronecker* yang didefinisikan dengan :

),2,1,(untuk1untuk0

L=⎩⎨⎧

=≠

= nmnmnm

mnδ

Jadi dari suatu himpunan ortogonal dapat diperoleh suatuhimpunan ortonormal dengan membagi setiap fungsidengan normanya.

( *Leopold Kronecker ahli matematika Jerman )

Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)

9

Tunjukan fungsi gm(x) = sin mx, m = 1, 2, … membentuksuatu himpunan ortogonal pada selang -π ≤ x ≤ π .

Contoh :

Penyelesaian : Untuk m ≠ n diperoleh :

( ) 0)cos(21)cos(

21sinsin, ∫∫∫

−−−

=+−−==π

π

π

π

π

π

dxxnmdxxnmdxnxmxgg nm

),2,1(sin)(),( 22 L===== ∫∫−

mdxmxdxxggggb

ammmm π

π

π

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

L,3sin,2sin,sinπππ

xxx

Normanya :

Jadi himpunan ortonormalnya :