penggunaan turunan

Kalkulus I/Penggunaan Turunan/rHn_copyright | 13

PENGGUNAAN TURUNAN

Turunan banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang kehidupan khususnya ilmu

pengetahuan dan teknologi. Aplikasi turunan yang telah diajarkan pada pendidikan

menengah diantaranya penggambaran grafik fungsi dan masalah pengoptimasian. Dua hal

ini berkaitan erat karena setiap permasalahan yang dapat dibuat fungsinya mungkin dapat

digambarkan menjadi suatu grafik fungsi, dan dari suatu grafik kita dapat mengetahui nilai

optimum fungsi, yaitu nilai maksimum atau minimum yang dapat dicapai suatu fungsi.

Dengan mempelajari turunan dalam kalkulus diferensial, nilai-nilai optimum suatu

permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselidiki dengan mudah tanpa harus

menggambarkannya dalam sebuah grafik, meskipun grafik merupakan bagian tak

terpisahkan dari perhitungan kalkulus.

Beberapa aplikasi lainnya yang berkaitan dengan metode numerik diantaranya

diferensial, pendekatan linear, penyelesaian numerik persamaan dengan metode Newton,

dan lain sebagainya. Turunan juga banyak diaplikasikan dalam bidang ekonomi, bisnis,

kependudukan, dan lain- lain.

1. Masalah Peongoptimasian (Maksimum-Minimum)

Sebelum membahas contoh langsung dari aplikasi turunan, berikut akan dibahas

beberapa definisi dan teorema dalam kalkulus.

a. Titik Kritis (Critical Point)

Definisi Titik Kritis :

Titik x = c dikatakan titik kritis dari fungsi f (x) jika f (c) ada, dan memenuhi salah

satu dari

𝑓 ′ 𝑐 = 0 atau 𝑓 ′ 𝑐 tidak ada

Jika 𝑓 ′ 𝑐 = 0 maka c disebut titik stasioner, dan jika 𝑓 ′ 𝑐 tidak ada maka c

disebut titik singular (terisolir).

Contoh 1 :

Carilah titik-titik kritis dari fungsi 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 4𝑥 .

Penyelesaian :

Turunan fungsi f (x) ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −2𝑥 + 4

Fungsi turunan ini merupakan fungsi linear yang berarti turunannya ada untuk

semua bilangan real.


Titik kritis diperoleh dari

𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔ −2𝑥 + 4 = 0 ⇔ 𝑥 = 2

Dan karena 𝑓 2 = −22 + 4.2 = 4 (ada), maka x = 2 adalah titik kritis dari fungsi

tersebut. ∎

Contoh 2 :

Carilah titik-titik kritis dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥4

3 + 4𝑥1

3 .

Penyelesaian :

Turunan fungsi f (x) ⇒ 𝑓′ 𝑥 =4

3𝑥

1

3 +4

3𝑥

−2

3

Karena ada variabel berpangkat negatif, kemungkinan fungsi turunan ini berbentuk

pecahan rasional, yang memungkinkan di suatu titik nilainya tidak ada. Untuk itu

sederhanakan fungsi menjadi

𝑓 ′ (𝑥) =4

3𝑥

13 +

4

3𝑥−23 ⇔ 𝑓 ′ 𝑥 =

4

3𝑥−

23 𝑥+ 1 ⇔ 𝑓 ′ 𝑥 =

4(𝑥 + 1)

3𝑥23

Jika penyebutnya nol, yaitu saat x = 0, maka 𝑓 ′ (𝑥) tidak ada, atau 𝑓 ′ 0 =tidak ada.

Jadi x = 0 adalah titik kritis (titik singular).

Titik kritis yang lain (titik stasioner) diperoleh dari

𝑓 ′ 𝑥 = 0 ⇔4(𝑥 + 1)

3𝑥23

= 0

Persamaan terakhir akan bernilai nol pada saat x = -1 , atau 𝑓 ′ (−1) = 0 . Dengan

demikian, x = -1 adalah titik stasioner . Karena 𝑓 −1 dan 𝑓(0) ada, maka -1 dan 0

adalah titik-titik kritis fungsi tersebut. ∎

b. Nilai Ekstrim Lokal/Relatif dan Global/Absolut

Nilai ekstrim adalah nilai di mana fungsi mencapai nilai maksimum ataupun

minimum. Nilai maksimum ataupun minimum dapat dibedakan menjadi dua jenis

dilihat dari daerah asal yang dibicarakan atau di mana fungsi didefinisikan.

Definisi Ekstrim Lokal dan Global :

1. 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki nilai maksimum global/absolut pada x = c jika 𝑓(𝑥) ≥

𝑓(𝑐) untuk setiap x dalam daerah asalnya.

2. 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki nilai minimum global/absolut pada x = c jika 𝑓(𝑥) ≤

𝑓(𝑐) untuk setiap x dalam daerah asalnya.


3. 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki nilai maksimum lokal/relatif pada x = c jika 𝑓(𝑥) ≥

𝑓(𝑐) untuk setiap x dalam interval terbuka di sekitar c.

4. 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki nilai minimum lokal/relatif pada x = c jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐)

untuk setiap x dalam interval terbuka di sekitar c.

Nilai ekstrim lokal hanya dilihat dari titik-titik di dalam interval, sedangkan nilai

ekstrim global dilihat dari titik-titik ujung serta semua titik di dalam interval. Jadi,

nilai ekstrim global pasti merupakan nilai ekstrim lokal, tetapi tidak sebaliknya.

Perhatikan gambar berikut :

Jika f (x) didefinisikan pada daerah asal I =[a, e], maka dari gambar di atas dapat

dilihat nilai-nilai maksimum dan minimumnya. f (x) mencapai maksimum di b dan d

dalam I , artinya f (x) mempuyai maksimum lokal/relatif pada keduanya. Tetapi f (d)

> f (b) , artinya f (d) juga merupaka nilai maksimum global/absolut.

f (x) mencapai nilai minimum di a dan c, tetapi a adalah titik ujung I , dan f (a) < f

(c) , artinya f (a) adalah nilai minimum global dan f (c) adalah nilai minimum lokal.

Contoh 3:

Tentukan nilai maksimum dan minimum global maupun lokal dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2

pada interval I = [-1, 2].

Penyelesaian :

Domain dari f (x) adalah I = [-1, 2].

Dari gambar, terlihat bahwa nilai minimum lokal

sekaligus minimum globalnya adalah 0 (di titik x = 0).

Sedangkan nilai maksimun global-nya adalah 4 (di

titik x = 2). Fungsi ini tidak memiliki maksimum

lokal. ∎


Contoh 4 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum global maupun lokal dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2

pada interval I = [-2, 2].

Penyelesaian :

Domain dari f (x) adalah I = [-2, 2].

Dari gambar, terlihat bahwa nilai minimum lokal

sekaligus minimum globalnya adalah 0 (di titik

x = 0).

Sedangkan nilai maksimun global-nya adalah 4 (di

titik x = -2 dan x = 2). Fungsi ini tidak memiliki

maksimum lokal . ∎

Contoh 5 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum global maupun lokal dari 𝑓 𝑥 = 𝑥2.

Penyelesaian :

Fungsi ini mempunyai daerah asal/domain yaitu

himpunan bilangan real, atau 𝑅 = (−∞,∞).

Dengan demikian, fungsi ini hanya mempunyai

minimum lokal dan global yaitu 0 (di titik x = 0), dan

tidak memiliki maksimum lokal maupun global. ∎

Teorema Nilai Ekstrim :

Jika suatu fungsi f kontinu pada interval [a, b] ( f (x) ada di semua titik dalam

interval), maka f pasti mempunyai nilai maksimum global/absolut dan minimum

global/absolut.

Berdasarkan definisi-definisi dan teorema di atas, dapat disimpulkan, bahwa nilai-

nilai ekstrim (maksimum/minimum) kemungkinan berada di titik-titik berikut :

1. Titik-titik ujung interval,

2. Titik-titik stasioner atau titik di mana 𝑓 ′ 𝑥 = 0,

3. Titik-titik singular atau titik di mana 𝑓 ′ (𝑥) tidak ada.

Biasanya, jenis maksimum atau minimum dari nilai ekstrim sudah diketahui. Dengan

mensubstitusi titik kritis ke dalam f (x), nilai maksimum atau minimum pasti dapat

dilihat dengan jelas. Untuk keperluan pembuatan grafik, terdapat uji turunan ke-dua.


Teorema Uji Turunan ke-dua untuk Ekstrim Lokal/Relatif :

Misalkan c adalah titik kritis dari fungsi f di mana 𝑓 ′ 𝑐 = 0 dan 𝑓 ′ 𝑥 ada untuk

semua x pada interval yang memuat c. Jika 𝑓′′ 𝑐 ada, maka

i. Jika 𝑓 ′′ (𝑐) < 0 , maka di c, f mempunyai nilai maksimum relatif yaitu 𝑓 𝑐 .

ii. Jika 𝑓 ′′ 𝑐 > 0 , maka di c, f mempunyai nilai minimum relatif yaitu 𝑓 𝑐 .

iii. Jika 𝑓 ′′ 𝑐 = 0 , maka di c, f mempunyai nilai minimum/maksimum relatif

𝑓 𝑐 , atau bukan keduanya.

c. Penerapan Nilai Ekstrim Mutlak

Banyak permasalahan kehidupan sehari-hari dapat dipecahkan dengan turunan.

Tentunya, permasalahan ini dideskripsikan dalam bahasa sehari-hari. Untuk

menyelesaikannya secara matematis, tentunya permasalahan ini harus diubah ke

dalam bentuk matematika. Representasi masalah dalam dunia nyata ke dalam bahasa

matematika dikenal dengan istilah model matematika.

Untuk itu, ada beberapa langkah yang dapat diikuti, untuk memudahkan

penyelesaian masalah sehari-hari yang berkaitan dengan kalkulus diferensial .

1. Buatlah sebuah gambar dari masalah tersebut kemudian tetapkan variabel-

variabel untuk menggantikan nilai yang belum diketahui, misalnya x dan y.

2. Tuliskan rumus untuk besaran yang akan dimaksimumkan/diminimumkan dalam

bentuk variabel-variabel yang sudah ditetapkan, yaitu x dan y, misalnya A(x, y).

3. Carilah kondisi yang membatasi masalah dan bentuk menjadi suatu persamaan

dalam variabel x dan y, kemudian nyatakan dalam satu variabel saja, misalnya x.

Substitusikan persamaan pembatas ini ke dalam besaran tujuan agar menjadi

fungsi dalam x, yaitu A(x).

4. Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya dalam bentuk interval

seperti [a, b].

5. Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular).

6. Tentukan titik mana yang memberikan nilai maksimum/minimum (biasanya

dicapai oleh titik stasioner, yaitu saat 𝑑𝐴

𝑑𝑥= 𝐴′ (𝑥) = 0.

Contoh 6 :

Sebuah halaman di belakang sebuah bangunan akan dipagari dengan pagar kawat.

Jika pagar kawat yang tersedia 500 m, berapa ukuran halaman yang dapat dipagari

seluas mungkin, jika ujung-ujung pagar ditempatkan di tembok bangunan.


x

y Halaman

Penyelesaian :

Permasalahan di atas dapat dibuat gambarnya untuk memudahkan kita menentukan

besaran tujuan dan pembatasnya.

Misalkan, halaman yang akan dipagari panjangnya x dan lebarnya y.

Tujuan : maksimumkan luas halaman yang dipagari ⇒ 𝐴 = 𝑥. 𝑦

Batasan : pagar kawat tersedia 500 m ⇒ 500 = 𝑥 + 2𝑦 ⇔ 𝑥 = 500 − 2𝑦

Substitusi fungsi pembatas ke dalam tujuan:

𝐴 = 𝑥. 𝑦 = 500 − 2𝑦 .𝑦 = 500𝑦 − 2𝑦2

⇒ 𝐴 𝑦 = 500𝑦− 2𝑦2

Karena y adalah lebar halaman yang harus dipagari, maka nilai yang mungkin untuk

y adalah [0, 250].

Titik kritis (stasioner) diperoleh dari

𝐴′ 𝑦 = 0 ⇔ 500 − 4𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 =500

4= 125

Uji titik kritis dan titik ujung interval :

𝐴 0 = 500 0 − 2 0 2 = 0

𝐴 125 = 500 125 − 2 125 2 = 31250

𝐴 250 = 500. 250 − 2. 250 2 = 0

Dengan demikian nilai maksimumnya adalah 31250 untuk y = 125 , dan

𝑥 = 500 − 2. 125 = 250

Jadi, ukuran halaman yang dapat dipagari seluas mungkin dengan panjang pagar

500m adalah 250 𝑚× 125 𝑚. ∎

Bangunan


Latihan

1. Carilah titik-titik kritis dan hitunglah nilai maksimum dan minimum fungsi- fungsi

yang diberikan pada interval yang telah ditentukan.

a. 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 4𝑥 − 1 ; 𝐼 = 0,3

b. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 ; 𝐼 = −2,1

c. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥 − 4 ; 𝐼 = −3,1

d. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 9𝑥 ; 𝐼 = −4, 4

e. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1 ; 𝐼 = −3

2, 3

f. 𝑓 𝑥 =1

5 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 ; 𝐼 = −3,3

g. 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 8𝑥2 + 16 ; 𝐼 = −4, 0

h. 𝑓 𝑥 =𝑥

𝑥+2 ; 𝐼 = −1, 2

i. 𝑓 𝑥 =𝑥+5

𝑥−3 ; 𝐼 = −5,2

j. 𝑓 𝑥 =𝑥 +1

2𝑥 −3 ; 𝐼 = 0, 1

2. Tentukan ukuran lahan bebentuk persegi panjang yang dapat dipagari seluas

mungkin dengan panjang pagar tersedia 100 m.

3. Misalkan salah satu sisi taman bunga berbentuk persegi panjang adalah di tepi

sungai. Tentukan ukuran terluas dari taman jika ketiga sisi lainnya dibangun

pagar yang panjangnya 240 m.

4. Tentukan suatu bilangan pada interval [0, 1] sehingga selisih bilangan tersebut

dengan kuadratnya maksimum.

5. Carilah dua bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum.

6. Tentukan suatu bilangan pada interval [1/3 , 2] sehingga jumlah bilangan tersebut

dengan balikan perkaliannya maksimum.

7. Sebuah kawat yang panjangnya 100 cm dipotong menjadi dua bagian. Satu bagian

dibentuk menjadi persegi, yang lainnya dibentuk menjadi segitiga sama sisi.

Di tempat manakah kawat seharusnya dipotong agar : a) Jumlah luas keduanya

minimum ; b) Jumlah luas keduanya maksimum.

8. Iuran tahunan setiap anggota perkumpulan adalah Rp 100.000,00. Iuran

berkurang Rp 5.000,00 jika jumlah anggota di atas 60 orang, dan bertambah

Rp 5.000,00 jika kurang dari 60 orang. Berapa jumlah anggota seharusnya agar

iuran yang masuk maksimum.

penggunaan turunan

Documents