penggunaan integral

PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.

2. Menghitung volume benda putar.

9

2xy

Luas daerah di bawah kurva

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y

=

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-

1)2]

= 16 – 8 + 2 + 2 = 12

2

1

2 dx 46 xx 2123 22 xx

Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx 46 xx

Contoh 1 :Contoh 1 :

JawabJawab

NextBack Home

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,

b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,

b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang

tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxfb

a

bax)(F

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada

interval [a, b]. y

x0 a bx

y

ax

0 b

b

adxxf )(

Jumlah Luas Partisi

Berubah Menjadi

Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

in

ii

n

b

axxfdxxfL

1)()( lim

NextBack Home

Kegiatan pokok dalam

menghitung luas daerah dengan

integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah

partisi Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi)

xi

6. Nyatakan dalam integral

x0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

a

dxxf0

)(L

NextBack Home

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,

dan garis x = 3

Contoh 1.Contoh 1.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya


3. Aproksimasi luasnya Li xi2

xi

4. Jumlahkan luasnya L

xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi


dan hitung nilainya

y

0x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix


JawabJawab

NextBack Home

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y,

dan garis y = 4

Contoh 2.Contoh 2.

Langkah penyelesaian :



3. Aproksimasi luasnya L

xi.y

4. Jumlahkan luasnya L

y. y

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim y. y


dan hitung nilainya

y

0x

4

dyy4

0

.L

3

168.3

2

3

2L

4

0

2

3

y


JawabJawab

NextBack Home

xi

2)( xxf

y

y

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan

A -(4xj - xj2)xj

4. Ambil limitnya L = lim (4xi -

xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj

2)xj


y

0x64

24)( xxxf

dxxx 4

0

2)4(L dxxx 6

4

2 )4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 6

Contoh 3.Contoh 3.

JawabJawab

NextBack Home

dxxx 4

0

2)4(L

dxxx 6

4

2 )4(A

y

0x64

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

64

33122A xx

33123

312 )4()4(2)6()6(2A

364

3216 3272A

40A 3152

3

1214032daerah Luas 3

1523

64


NextBack Home


NextBack Home

Kesimpulan :

b

a

dyxL .b

a

dxyL .

y

0x

y

y

x0

)(xfy xi

xi

)( ixf

y

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)

pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara

: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,

integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua

kurva tersebut.Langkah penyelesaian:


2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]

x

4. Jumlahkan : L [ f(x) –

g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x


tertentu

y

ba

)(xfy

)(xgy

0x

Li

x

x

)()( xgxf


NextBack Home

dxxgxfb

a )()(L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan

garis y = 2 - x

Contoh 4.Contoh 4.

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

5. Nyatakan dalam integral tertentu

dxxx

1

2

2)2(L 0

x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx


JawabJawab

NextBack Home

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

232

32

2L xxx

3

3)2(2

2)2(3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L


NextBack Home

Untuk kasus tertentu

pemartisian secara vertikal

menyebabkan ada dua

bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama

untuk menghitungnya.

)(xfy y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

adxxgxf )()(


NextBack Home

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas

daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih

sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

cdyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg


NextBack Home

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x,

garis x + y = 6, dan sumbu x

Contoh 5.Contoh 5.

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y

– 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

5. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Liy

y

2)6( yy


JawabJawab

NextBack Home

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Li yy

2)6( yy

Luas daerah = 2

03

3

2

26

yyy

Luas daerah = 0332

24)2(6

Luas daerah =

38212

Luas daerah = 322


Home Back Next

Pendahuluan

Bola lampu di samping

dapat dipandang

sebagai benda putar

jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan

dipelajari juga

penggunaan integral

untuk menghitung

volume benda putar.

Volume Benda Putar

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda

putar dengan integral adalah:

partisi, aproksimasi,

penjumlahan, pengambilan

limit, dan menyatakan dalam

integral tentu.

Gb. 4

Home NextBack

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika

diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode

yang digunakan untuk menentukan volume benda putar

dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabungy

0 x

y

x

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

NextBack Home

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun

dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk

cakram.

NextBack Home


Bentuk cakram di samping

dapat dianggap sebagai tabung

dengan jari-jari r = f(x), tinggi h

= x. Sehingga volumenya dapat

diaproksimasi sebagai V r2h

atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 xdxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.Contoh 7.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

JawabJawab

NextBack Home


y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2 x

V = lim (x2 + 1)2

x dxxV

2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh

360º.

Contoh 8.Contoh 8.



2. Buatlah sebuah partisi


bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

2

yy

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

JawabJawab

NextBack Home


V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

2

02

21yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2V

NextBack Home

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume

benda putar dapat

dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan memotong-

motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

NextBack Home


Menghitung volume benda

putar dengan menggunakan

metode cincin dilakukan

dengan memanfaatkan

rumus volume cincin seperti

gambar di samping, yaitu V=

(R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.Contoh 9.



2. Buat sebuah partisi


bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan

nyatakan dalam

bentuk integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

JawabJawab

NextBack Home


y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4) x

V = lim (4x2 – x4) x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

NextBack Home

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan

volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar

disamping.

NextBack Home


rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBack Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar

mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.Contoh 10.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

JawabJawab

NextBack Home


0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

NextBack Home


Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara

horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,

maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda

putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai

berikut.

0

x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y

V (4 - x2)y

V (4 – y)y

V = lim (4 –

y)y dxyV 4

04

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

Home NextBack


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat

dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....



0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

Soal 1.Soal 1.

A

B

C

D

E

Home Back Next






Soal 1.Soal 1.

0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

Home NextBack






Soal 1.Soal 1.

dxx2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

0X

Y 2xy

2

4

x

x

4 - x2

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

2-2

x

x

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

0X

Y

28 xy

xy 2

2

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

2

L (8 – x2 -2x)

x dxxx )28(L2

0

2 ( Jawaban D )

319L

3

28

20

23318L xxx

416L 38

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2

adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

Home Back Next



adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,4

29

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Benar

Home NextBack


( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,4

29

L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21


adalah ….


adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas 0X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka

bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut

adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next





adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Jawaban Anda Benar

Home NextBack


( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V




adalah ....




adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

0

2dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….



A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next






A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V

Jawaban Anda Benar

Home Back Next


( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40

221V x

8V





A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Back Next

penggunaan integral

Documents