A. Pengertian Penalaran

Menurut ensiklopedi Wikipedia,penalaran adalah proses berpikir yang bertolak dari pengamatan indera yang menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian. Berdasarkan pengamatan akan terbentuk proposisi. Dari proposisis yang diketahui atau dianggap benar, kita menyimpulkan sebuah proposisi baru yang sebelumnya tidak diketahui. Proses inilah yang disebut menalar.

Adapun Suhartoyo Hardjosatoto dan Endang Daruni Asdi memberikan defenisi penalaran, “penalaran adalah proses dari budi manusia yang berusaha tiba pada suatu keterangan baru dari sesuatu atau beberapa keterangan lain yang telah diketahui dan keterangan yang baru itu mestilah merupakan urutan kelanjutan dari sesuatu atau beberapa keterangan yang semula itu”

Mereka juga menyatakan bahwa penalaran menjadi salah satu kejadian dari proses berfikir. Pengertian mengenai berpikir yaitu, “Berpikir atau thinking adalah serangkaian proses mental yang banyak macamnya seperti mengingat-ingat kembali sesuatu hal, berkhayal, menghafal, menghitung dalam kepala, menghubungkan beberapa pengertian, menciptakan sesuatu konsep atau mengira-ngira pelbagai kemungkinan.”

Namun, Suhartoyo Hardjosatoto dan Endang Daruni Asdi menyatakan perbedaan antara penalaran dan berfikir sebagai berikut, “Memang penalaran atau reasoning merupakan salah satu pemikiran atau thinking, tetapi tidak semua thinking merupakan penalaran.

R.G. Soekadijo membuat kronologi mengenai terjadinya penalaran. Proses berfikir dimulai dari pengamatan indera atau observasi. Proses itu di dalam pikiran menghasilkan sejumlah pengertian dan proposisi sekaligus. berdasarkan sejumlah proposisi yang diketahui atau dianggap benar kemudian digunakan untuk menyimpulkan sebuah proposisi baru yang sebelumnya tidak diketahui. Proses inilah yang disebut dengan penalaran

Secara sederhana penalaran dapat didefinisikan sebagai proses pengambilan kesimpulan berdasarkan proposisi-proposisi yang mendahuluinya. Contoh : Logam 1 dipanasi memuai, Logam 2 dipanasi memuai, Logam 3 dipanasi memuai, Logam 4 dipanasi memuai, Logam 5 dipanasi memuai, dan seterusnya. Jadi, semua logam yang dipanasi memuai.

Menurut beberapa pendapat yang lain, Keraf dalam Fadjar Shadiq menjelaskan penalaran (jalan pikiran atau reasoning) sebagai: “Proses berpikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan”. Secara lebih jelas, Fadjar Shadiq mendefinisikan bahwa penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya.

Menurut Copi dalam Fadjar Shadiq menyatakan penalaran sebagai berikut: “Reasoning is a special kind of thinking in which inference takes place, in which conclusions are drawn from premises.” Berdasarkan definisi yang disampaikan Copi tersebut, Fajar Shadiq menerjemahkan bahwa penalaran merupakan kegiatan, proses atau aktivitas berpikir untuk

menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru berdasarkan pada beberapa pernyataan yang diketahui benar ataupun yang dianggap benar yang disebut premis.

Dari definisi yang dinyatakan oleh Copi tersebut dapat diketahui bahwa kegiatan penalaran terfokus pada upaya merumuskan kesimpulan berdasarkan beberapa pernyataan yang dianggap benar.

B. Penalaran Matematika

Istilah penalaran matematika atau biasa yang dikenal dengan penalaran matematis dalam beberapa literatur disebut dengan mathematical reasoning. Karin Brodie menyatakan bahwa, penalaran matematis adalah penalaran mengenai objek matematika. Objek matematika dalam hal ini adalah cabang-cabang matematika yang dipelajari seperti statistika, aljabar, geometri dan sebagainya.

Referensi lain yaitu Math Glossary , penalaran matematis adalah berpikir mengenai permasalahan-permasalahan matematika secara logis untuk memperoleh penyelesaian. Penalaran matematis juga mensyaratkan kemampuan untuk memilah apa yang penting dan tidak penting dalam menyelesaikan sebuah permasalahan dan untuk menjelaskan atau memberikan alasan atas sebuah penyelesaian. Dari definisi yang tercantum pada Math Glossary tersebut, dapat diketahui bahwa terdapat dua hal yang harus dimiliki siswa dalam melakukan penalaran matematis yaitu kemampuan menjalankan prosedural penyelesaian masalah secara matematis dan kemampuan menjelaskan atau memberikan alasan atas penyelesaian yang dilakukan.

Penadapat yang lain menagatakan, penalaran matematika (Ahmad Thontowi, 1993:78) adalah proses berpikir secara logis dalam menghadapi problema dengan mengikuti ketentuan-ketentuan yang ada. Proses penalaran matematika diakhiri dengan memperoleh kesimpulan.

Mengutip O’Daffler dan Thornquist, Artzt dan Yaloz-Femia (NCTM 1999, p.117), merumuskan bahwa penalaran matematik adalah bagian dari berpikir matematik yang meliputi membuat perumuman dan menarik simpulan sahih tentang gagasan-gagasan dan bagaimana gagasan tersebut saling terkait.

Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 1989) memberikan tanda-tanda proses penalaran sedang berlangsung, yaitu bila:

1. menggunakan coba-ralat dan bekerja mundur untuk menyelesaikan masalah,

2. membuat dan menguji dugaan,3. menciptakan argumen induktif dan deduktif,4. mencari pola untuk membuat perumuman,

5. menggunakan penalaran ruang dan logik.

Dari standar pemecahan masalah oleh NCTM dan penjelasan ini tampak penalaran matematik merupakan bagian utuh dari pemecahan masalah. Penalaran mendasari semua aspek atau komponen tingkat tinggi dari pemecahan masalah.

Russel (NCTM, 1999, p.1) mengatakan penalaran matematik adalah pusat belajar matematika. Ia berargumen, matematika adalah suatu disiplin berkenaan dengan obyek abstrak dan penalaranlah alat untuk memahami abstraksi. Ia tambahkan penalaranlah yang digunakan untuk berpikir tentang sifat-sifat sekumpulan obyek matematik dan mengembangkan perumuman yang dikenakan padanya.

Dominowski (2002, p.57) menyatakan penalaran adalah jenis khusus dari pemecahan masalah. Dengan kata lain, penalaran adalah bagian tertentu dari pekerjaan memecahkan masalah yang dengan demikian merupakan bagian dari bermatematika (doing mathematics). Semuanya sejalan. Intinya, penalaran adalah alat untuk memahami matematika dan pemahaman matematik itu digunakan untuk menyelesaikan masalah. Pengalaman menyelesaikan masalah pada gilirannya memperkuat pemahaman dan penalaran matematik yang kemudian kembali menjadi modal untuk memecahkan masalah baru atau masalah yang lain lagi yang tentunya lebih rumit dan kompleks sifatnya. Demikian siklus berlanjut (spiral) itu seharusnya berlangsung.

Membiasakan bernalar sejak hari-hari pertamanya di sekolah akan membuat anak sadar kalau tiap pernyataan yang dibuatnya memerlukan alasan pembenaran. Pertanyaan guru atau teman seperti, “mengapa bisa begitu”, “bagaimana kita tahu itu benar”, “adakah yang punya jawaban berbeda”, atau “adakah cara lain mengerjakannya”, dapat membantu anak melakukan penalaran untuk mengajukan argumentasi pendukung atau fakta yang berlawanan atau berpikir alternatif (divergen).

Malloy (1999, p.13) mengatakan pertanyaan guru dan siswa merupakan suatu strategi untuk membantu anak menggunakan potensi kemampuan penalarannya terhadap obyek matematik. Dengan mengutip Wolf dan Sawada, Malloy menambahkan sewaktu guru meminta siswa untuk bernalar mengenai matematika lewat pertanyaan-pertanyaan menyelidik, kita dapat mnhgetahui sejauh mana pemahaman anak ini terlihat dari respon yang mereka berikan. Dalam hal ini perlu dicamkan bahwa bertanya (reflektif) merupakan bagian dari rangkaian pembelajaran. Oleh sebab itu, guru dituntut pula agar terampil mengajukan pertanyaan yang merangsang anak bernalar.

Untuk itu, pembelajaran di kelas mesti dirancang demikian rupa sehingga anak berani mengemukakan pikirannya tanpa harus merasa malu atau takut ditertawakan, dan tiap anak berkontribusi dengan cara

menilai dan menanggapi pemikiran kawannya. Dengan demikian, seiring perjalanan proses pembelajaran berbagai ragam topik matematika yang dilalui dan dialaminya di sekolah, maka penalaran aljabar, geometri, kesebandingan, peluang, statistika, dan sebagainya dari anak akan berkembang.

Penalaran merupakan tahapan berpikir matematika tingkat tinggi, mencakup kapasitas untuk berpikir secara logis dan sistematis. Terdapat dua jenis penalaran matematika. yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.

1. Penalaran Induktif

Penalaran induktif merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang bersifat umum (general) berdasarkan pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui benar. Dalam hal ini telah terjadi proses berpikir yang berusaha menhubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi khusus yang sudah diketahui menuju kepada suatu kesimpulan yang bersifat umum.

Pernyataan atau kesimpulan yang didapat dari penalaran induktif bisa bernilai benar atau salah. Karenanya, di dalam matematika kesimpulan yang didapat dari proses penalaran induktif masih disebut dengan dugaan (conjecture). Kesimpulan tersebut boleh jadi valid pada contoh yang diperiksa, tetapi tidak dapat diterapkan pada keseluruhan contoh. Sebagai contoh, siswa diminta menentukan aturan yang digunakan untuk bilangan-bilangan 2, 4, 6. Jika aturan itu adalah “suatu barisan bilangan genap”, maka aturan itu sesuai dengan contoh. Tetapi, jika contohnya lebih bervariasi, misalnya 2, 3, 5, maka aturan semula tidak dapat lagi digunakan.

Dengan demikian melalui penalaran induktif dapat dihasilkan suatu kesimpulan yang benar berkenaan dengan contoh khusus yang dipelajari, tetapi kesimpulan tersebut tidak terjamin untuk generalisasi. Meskipun penarikan kesimpulan dengan penalaran induktif tidak valid, tetapi penalaran induktif sangat bermanfaat dalam pengembangan matematika.

2. Penalaran Deduktif

Deduksi didefinisikan sebagai proses penalaran yang menerapkan hal-hal yang umum terlebih dahulu untuk seterusnya dihubungkan dalam bagian-bagian yang khusus. Pada penalaran deduktif proses penalaran konklusinya diturunkan secara mutlak dari premis-premisnya. Pada deduksi yang valid atau sahih, kesimpulan yang didapat dinyatakan tidak akan pernah salah jika premis-premisnya bernilai benar.

Melalui penalaran deduktif dapat menyimpulkan informasi lebih banyak daripada penalaran induktif. Artinya, dari keterangan tertentu dapat ditarik kesimpulan tentang hal-hal lain tanpa perlu memeriksanya secara langsung. Sebagai contoh, selalu dapat ditambahkan satu dari suatu bilangan. Dari keterangan tersebut dapat disimpulkan bahwa tidak ada bilangan terbesar atau bilangan terakhir, melainkan tak terbatas. Penalaran deduktif dapat menentukan apakah suatu konjektur yang muncul dikarenakan suatu intuisi atau deduksi secara logis serta konsisten dan apakah penalaran itu hanya untuk kasus-kasus tertentu atau kasus yang lebih umum.