By: Alvita Wulansari

Pengenalan Matematika di India

Kemudian pada masa vedic, ditemukan

Sulbasutra dimana di dalamnya terdapat banyak

ide matematika, Sulbasutra merupakan sumber

pengetahuan kita dari matematika India kuno.

Matematika pertama kali muncul di India pada masa “Arode Harappan”, tepatnya di abad milenium ketiga SM, bukti ini didasarkan pada tradisi pembuatan altar pada masa ini, meskipun tidak ada bukti langsung matematikanya. Sebenarnya, bukti matematika pertama kali ditemukan di sepanjang sungai Gangga, yang dibuat oleh suku arya yang sedang bermigrasi dari stepa Asia pada akhir abad millennium kedua SM.

Matematikawan dan

Karyanya

Dua matematikawan terkemuka yang berkembang selanjutnya ialah Bhaskara dan

Brahmagupta. Bhaskara datang dari Maharashtra atau Gujurat, sementara Brahmagupta tinggal di

Bhinmal, Rajasthan, ibukota GuyarasPotongan-potongan sastra ini tidak diatur atau ditujukan untuk mengajar matematika, jadi tidak ada bentuk asal

usulnya, hanya bentuk pernyataan saja

• PERHITUNGAN

Simbol untuk sembilan angka pertama dari

sistem angka berasal dari sejarah dalam

sistem penulisan Brahmi di India, saat

kepemimpinan raja Asoka (abad pertengahan

ketiga SM)

Dalam sebuah potongan karya Severus

Sebokht, pada abad ke-662 hanya ditulis

tentang sembilan tanda, tidak

menyebutkan tanda nol.

Munculnya angka dan nilai tempat

Namun, dalam naskah Bakhshali, dimana angka ditulis menggunakan sistem nilai tempat dan dengan sebuah titik mewakili nol

Dalam karya mahavira, kata-kata tertentu mewakili angka: bulan untuk 1, mata untuk 2, api untuk 3, dan

langit untuk 0. Contoh: kata-api-langit-bulan-mata akan menunjukkan arti untuk 2103

Titik sebagai simbol untuk 0 bagian dari sistem nilai desimal juga muncul dalam Chiu-Chih Li, yaitu

sebuah karya astronomi China pada abad 718 disusun oleh tokoh agama India

India awalnya hanya menggunakan sembilan simbol.  Mereka kemudian memperbaiki sistem perhitungan China dengan akhirnya mereka membuat simbol, titik dan kemudian lingkaran, untuk mewakili kolom kosong di papan penghitungan

Aritmatika Logaritma

Stanza II, 5 ,

Digit-digit awal suatu bilangan pangkat 3 [x] dikurangi dengan pangkat 3 dari suatu bilangan yang mendekati [y],hasil bagi dikurangi dengan y kuadrat dikalikan dengan tiga dan sisa [kuantitas] harus dikurangkan dengan bentuk pertukaran kuadrat dan pangkat 3 sebelumnya.

Mencari akar Pangkat

tiga

Contoh

Carilah akar pangkat 3 dari

12. 977. 875

JAWAB

• Perhitungan:• 1 2 . 9 7 7. 8 7 5 )2 digit pertama 2 • 8 23

12 4 9 )3 12 = 3 x 22 3 mendekati 49:12 (4 terlalu besar)

• 3 6 36 = 3 x 22 x 3• 1 3 7• 5 4 54 = 3 x 2 x 32

• 8 3 7• 2 7 33

• 1587 8 1 0 8 )5 1587 = 3 x 232 5 mendekati 288:1587• 7 9 3 5 7935 = 3 x 232 x 5• 1 7 3 7

1 7 2 5 1725 = 3 x 23 x 52

• 1 2 5 52

1 2 5• 0

• Jadi akar pangkat 3 dai 12.977. 875 adalah 235

3 12

Brahmagupta memberikan banyak rincian

perhitungan aritmatika dalam karyanya yang

besar, yaitu Brahmasphutasiddhanta

dalam pasal 18 ia memberi aturan untuk

operasi pada bilangan positif dan negatif,

serta bilangan nol.

• Jumlah dari dua bilangan positif adalah positif,

• jumlah dari dua bilangan negatif adalah negatif,

• jumlah dari bilangan positif dan negatif adalah selisih antara 2 bilangan itu, jika besar keduanya sama, maka hasilnya nol.

• Jumlah dari nol dan bilangan positif adalah positif

• jumlah dari bilangan negatif dan nol adalah negatif,

• jumlah nol dan nol adalah nol.BACK

• bilangan positif besar dikurangi bilangan positif kecil, hasilnya adalah positif,

• bilangan negatif besar dikurangi bilangan negatif kecil, hasilnya negatif,

• Tanda awal pengurang akan berubah, negatif menjadi positif dan positif menjadi negatif.

• Bilangan negatif dikurangi nol adalah negatif,• bilangan positif dikurangi nol adalah positif, • nol dikurangi nol adalah nol.•  Ketika bilangan positif dikurangi bilangan negatif

atau bilangan negatif dikurangi bilangan positif, maka kedua angka tersebut dijumlahkan.

BACK

• Perkalian dari bilangan negatif dan positif adalah negatif,

• perkalian dua bilangan negatif adalah positif, • perkalian dua bilangan positif adalah positif.• perkalian dengan nol, baik itu bilangan negatif

atau positif adalah nol. • Sebuah bilangan positif dibagi dengan bilangan

negatif adalah negatif,• bilangan negatif dibagi dengan bilangan positif

juga negatif. • Sebuah bilangan negatif atau positif dibagi

dengan nol, menunjukkan bahwa nol sebagai pembagi, lalu nol dibagi dengan pembagi positif atau negatif memiliki tanda negatif atau positif sebagai pembaginya saja.

GEOMETRI

hasil dari Sulbasutra baudhayana, yang mungkin dibuat sekitar 600

SM. Yang pertama adalah teorema Pythagoras.

Luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenusa

jumlah luas bujur sangkar biru dan pink sama dengan

luas bujur sangkar ungu.

Teorema pythagoras kemudian digunakan secara tidak langsung untuk membenarkan

setiap konstruksi berikut:

Untuk membuat sebuah persegi kecil dari persegi yang

lebih besar, dapat dilakukan dengan membuat sebuah persegi

panjang pada persegi yang besar lalu dipotong, persegi panjang

ini detempatkan pada sisi berdekatan persegi yang dipotong

tadi, sisi yang bertumpuk ini kemudian dipotong kembali, dan

sisi persegi kecil telah terpotong. Dengan bagian–bagian yang

dipotong ini, diperoleh perbedaan luas dari dua persegi

tersebut.

 

 

Persegi besarPersegi kecil

 Untuk mengubah persegi panjang 

menjadi persegi, lebar persegi panjang diambil sebagai sisi persegi dan lebar persegi panjang ini kemudian dipotong. Hasil potongan dari persegi panjang dibagi menjadi dua bagian yang sama dan ditempatkan pada dua sisi (satu bagian pada masing-masing). Ruang kosong di sudut terisi dengan sebuah persegi. 

Persegi

 Untuk mengubah persegi menjadi

lingkaran,  sebuah  tali  panjang  setengah diagonal  dari  persegi  ditarik  dari  pusat  ke perlawanan  arah  jarum  jam,  bagian  itu terletak  di  luar  persegi  diteruskan  ke  sisa setengah diagonal

M

Bagilah  diameter  dalam  lima  belas bagian dan kurangi dua bagian dari 15  bagian  ini. Maka  13  bagian sisanya  memberikan  perkiraan panjang  sisi  persegi  yang diinginkan.

Untuk membuat segiempat dari Lingkaran

maka:

Gambarkan!!

Proyeksi adalah jarak antara ujung dari dua bayangan dikalikan dengan panjang bayangan pertama dibagi dengan selisih panjang bayangan. Tinggi titik sorot adalah Sisi tegak dikalikan dengan proyeksi, dibagi dengan panjang bayangannya.

Stanza II, 16

Stanza di atas memberikan sebuah metode untuk mencari

ketinggian sorotan cahaya dari atas dengan mengukur panjang

bayangan yang dibentuknya.

h

g g

10 16

d

CONTOH

Contoh Soal.....

• Bayangan dua tiang yang tingginya sama (12 meter) diamati, dan diperoleh data panjang masing-masing bayangan adalah 10 dan 16 meter, sedangkn jarak antara kedua ujung bayngan adalah 30. berapakah tinggi sorot cahaya?

JAWAB

JAWABAN

h

12

30

16

12

10

Berdasarkan definisi, di dapat suatu rumusan proyeksi U = dan Tinggi Tinggi Titik Sorot h =

Dengan demikian dapat dicari ProyeksiU = dan h =

Jadi, tinggi sorotan cahaya adalah 60 meter

1

.

S

gU12

1

SS

dS

1016

10.30

506

300 60

10

12.50

Stanza II, 17

Dalam lingkaran, hasil kali dari dua bagian diameter adalah kuadrat dari setengah tali busur.

h

h

s1

s2

Di sini, dua bagian diameter adalah dua segmen s1, s2 diameter lingkaran yang berpotongan dengan tali busur 2h, membentuk sudut siku-siku, sehingga membagi busur menjadi 2 bagian yang sama.

Dengan demikian, berdasarakan teorema di atas,

h2 = s1s2 CONTOH!!

• Seekor elang yang sedang beristirahat di atas ketinggian dinding yang tingginya 12 hasta. Melihat seekor tikus yang sedang melintas, terlihat oleh elang pada jarak 24 hastas dari kaki dinding; dan elang terlihat oleh tikus. Karena takut, akhirnya tikus itu berlari dengan cepat menuju rumahnya, yang berada belakang dinding. Sayangnya, dalam perjalanan pulang itu, tikus dibunuh oleh elang yang bergerak sepanjang sisi miring. Dalam kasus ini, akan ditemukan berapa jarak yang tidak dicapai oleh tikus, dan berapa jarak yang dilintasi elang.

JAWAB

JAWABANDengan teorema dapat dicari S1.

h2 = s1s2

122 = S1.24S1 = 144 : 24 = 6Jadi diameter Lingkaran = 24 + 6 = 30Tikus diasumsikan terbunuh tepat di titik pusat, yakni di jarak 30:2= 15 meter dari posisi semula. Dengan demikian, jarak yang tidak dicapai oleh tikus Y = 15 - s1 = 15-6= 9

Dan dengan rumus Phytagoras, panjang lintasan elang adalah X=

22 912 1522581144

12

s1

24

Elang

Tikus

Rumah Tikus

Tikus terbunuh

X

Y

• Dua hasil luar biasa dari Brahmagupta yang membahas segi empat siklik (segiempat di dalam lingkaran), diberikan dalam bab 12 dari brahmasphutasiddhanta. 

Luas daerah selidik [segiempat siklik] adalah akar kuadrat dari hasil kali setengah jumlah seluruh panjang sisi dikurangi panjang masing-masing sisi segiempat.

Hasil ini dapat ditulis dalam matematika s = , di mana a, b, c, d, adalah panjang sisi segiempat, maka luas segiempat dapat dinyatakan dengan

L =

1

2

)( dcba

Masing-masing sisi dikalikan dengan sisi di depannya, lalu dijumlahkan. Kemudian kalikan dengan hasil jumlah dari perkalian sisi yang berdekatan dengan diagonal-diagonal, setelah itu dibagi dengan jumlah dari perkalian sisi-sisi yang saling berdekatan pada diagonal satunya dalam siklik suatu segiempat yang tidak beraturan, akar kuadratnya adalah panjang diagonal.

2

B

C

D

A

a

b

c

d

•Pernyataan ini

diterjemahkan ke dalam rumus untuk menentukan panjang diagonal AC dan BD dari segiempat. Karena jumlah dari hasil kali sisi yang berdekatan (untuk diagonal AC) adalah ad + bc, dan dikalikan dengan  "jumlah dari hasil kali dua sisi yang berhadapan,yaitu ac + bd, dan dibagi hasil penjumlahan sisi-sisi yang berdekatan pada diagonal selanjutnya, dapat ditulis: AC= BD =

B

C

D

A

a

b

c

d

• Pemecahan Persamaan

Dalam dua teorema Aryabhata yang membahas masalah progresi aritmatika, diberikan suatu rumus untuk menghitung jumlah suatu suku banyak dalam persamaan kuadrat

Banyak  suku  dikurangi  1,  dibagi  dua  ,lalu dikalikan  dengan  beda  antara  dua  suku  berurut ditambah suku pertama, adalah cara untuk menentukan suku  tengah. Lalu  dikalikan  dengan  jumlah  suku  akan didapat Jumlah suatu suku banyak.atau  jumlah  suku  pertama  dan  terakhir  (suku  pertama ditambah dengan banyak  suku yang dikurangi  satu dan dikali  beda  sebelumnya)..  Dikalikan  dengan  setengah banyak suku.

Stanza II, 19

Teorema ini menyajikan rumus untuk menentukan jumlah beberapa suku pertama Sn suatu barisan aritmetika dengan suku awal a dan beda d. Rumus diterjemahkan ke

d)]. 1)-(n (a [a 2

n a] d }

2

1)-(n [{n Sn

Kalikan  jumlah  suatu  suku  banyak  dengan delapan  kali  beda,  tambahkan  kuadrat  dari  selisih antara  dua  suku  pertama  dan  beda,  lalu  mengakar kuadrat  hasilnya,  kemudian  kurangi  dengan  dua  kali suku  pertama,  dibagi  dengan  beda,  tambahkan  satu , bagi dengan dua.  Hasilnya akan menunjukkan banyak suku dalam situasi  yang  sama seperti di atas, dimana Sn diberikan dan n dapat ditemukan. 

Rumus yang diberikan adalah

n =

STANZA II, 20

Jika persamaan untuk Sn di atas ditulis ulang dalam persamaan kuadrat dengan variabel

n, maka diperoleh dn2 + (2a-d) n-2sn = 0

Kemudian nilai untuk n dalam persamaan ini dapat dicari dengan rumus kuadrat. Meskipun tidak secara langsung Aryabhata memberikan bentuk umum rumusan untuk memecahkan persamaan kuadrat, Brahmagupta, setelah

satu seperempat abad kemudian, mendapatkan suatu bentuk persamaan yang

ditulis denganax2 + bx = c.

ax2 + bx = c.

• Di sini 'angka tengah' adalah koefisien b (dan juga x yang tidak diketahui nilainya itu sendiri), sedangkan rupas adalah istilah c konstan dan

'square' adalah koefisien a.

Angka tengah (b) dikurangkan pada akar kuadrat dari jumlah rupas (c) dikalikan dengan empat kali square (a) dan angka tengah yang dikuadratkan ; lalu membagi hasilnya dengan

dua kali square (a). Hasilnya adalah angka tengah.

Kata Brahmagupta dengan mudah dapat diterjemahkan ke dalam rumus

X =

CONTOH

• Brahmagupta memberikan penyelesaian dari persamaan

x2 -10x = -9.

JAWAB

JAWABAN

• Diketahui:• a=1 b=-10 c= -9• Dengan menggunakan rumus Brahmagupta:

a

bbcax

2

.4 2

1.2

10)10()9.(1.4 2 x

2

10)100()36( 9

2

18

• Penyelesaian Brahmagupta tidak termasuk bilangan negatif, dan beberapa ratus tahun kemudian, Bhaskara II membuat suatu aturan tentang akar banyak, yaitu dengan memecahkan persamaan dengan menyelesaikan square, yakni, ia menambahkan jumlah yang tepat untuk kedua sisi ax2 + bx=c, sehingga sisi kiri menjadi kuadrat sempurna. Dan merumuskan kembali

(rx-s)2 = d.

• Dia kemudian memecahkan persamaan rx-s = √ d utuk mencari nilai x.

•  Tapi ia mencatat, jika √ d <s, maka ada dua nilai untuk x, yaitu, dan  

• Namun Bhaskara tetap membatasi nilainya. Beliau mengatakan, "rumus ini hanya [digunakan] dalam beberapa kasus." CONTOH

r

)d(s•

r

)d(s•

Contoh...

• Ada sekumpulan monyet di hutan yang luas, 1/8 bagian dari mereka sedang berayun-ayun di ranting (square), dua belas monyet yang tersisa terlihat di atas bukit, sedang mengobrol satu sama lain. Berapa banyak mereka?

JAWAB

JAWABAN• Dari masalah, dapat dimatematikakan menjadi

• Karena 16 < 32, maka ada 2 nilai untuk x, yaitu:

• Jadi, kemungkinan jumlah monyet keseluruhan adlah 48 atau 16.

xx 12)8

1( 2 xx 12

64

1 2

xx 647682 768642 xx

222 327683264 xx256)32( 2 x

1632 x

481

16321

x 16

1

16322

x

– Para matematikawan India juga menangani persamaan dalam beberapa variabel. Misalnya mahavira yang menyajikan sebuah versi dari masalah seratus unggas dalam pembahasan utamanya, ganitasarasangraha menyebutkan:

" 5 merpati dijual seharga 3 koin, 7 bangau dijual seharga 5 koin, 9 angsa dijual seharga 7 koin, dan 3 merak dijual seharga 9 koin. Seorang laki-laki diperintahkan untuk membawa 100 burung dengan diberikan 100 koin untuk hiburan seorang putra raja. Berapa jumlah masing- masing burung yang ia beli?JA

WAB

JAWABAN• Dengan memisalkan:

Merpati = mBangau = bAngsa = aMerak = k

Maka didapat 2 persamaan matematika:• 3 m + 5 b + 7 a + 9 k = 100 (banyak koin)• 5 m + 7 b + 9 a + 3 k = 100 (banyak burung)

• Persamaan 1 dikali 5 dan persamaan 2 dikali 3, menghasilkan:15 m + 25 b + 35 a + 45 k = 50015 m + 21 b + 27 a + 9 k = 300

• Mengurangi persamaan pertama dan kedua menghasilkan 4 b +8 a + 36 k = 200 b + 2a + 9k = 50

mengambil sembarang nilai untuk k = 4, makab = 50-2a-9kLalu mengambil sembarang nilai untuk a =3, maka b= 8a=3, b=8, k=4 disubstitusikan ke pers. 1, maka:15 m+25(8)+35(3)+45(4) = 500 15 m = 500-25(8)-35(3)-45(4)

15 m = 15 m = 1

Jadi jumlah masing – masing burung yang dibeli adalah merpati adalah 5 ekor, bangau 56 ekor, angsa 27 ekor, dan 12 ekor burung merak, dengan harga masing - masing 3 koin, 40 koin, 21 koin, dan 36 koin

• . Jadi, "dengan cara pengandaian, banyak jawaban yang dapat

diperoleh."

ANALISIS TAK TENTU

Sistem Persamaan Linear

Meskipun tidak diketahui darimana orang India belajar persamaan kuadrat entah dari Bangsa Babilonia atau dari Diophantus, diyakini bahwa sebuah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berasal dari matematikawan India, karena tidak ada penjelasan dari metode lainnya yang sebanding.

Dalam notasi modern, persamaan untuk menemukan N memenuhi N ≡ a (mod r) dan N ≡ b (mod s), atau untuk memperoleh x dan y dengan

N = a + rx = b + sy

a + rx = b + sy

tetapkan c = a – b, sehingga

rx + c = sy

Metode untuk menyelesaikan masalah ini ditemukan dalam buku karya Aryabhata, tetapi Brahmagupta memberikan uraian yang lebih jelas. Akan tetapi, entah karena kesalahan dalam penyalinan selama beberapa tahun atau karena tradisi yang tidak megharuskan setiap langkah ditulis, dalam beberapa tempat ditemukan penjelasan tentang metode Brahmagupta yang tidak sesuai dengan contoh-contohnya.

Contoh yang digunakan oleh Brahmagupta dalam metode Kuṭṭaka  atau pulverizer yang diambil dari bab 18 dalam bukunya adalah

N ≡ 10 (mod 137) dan N ≡ 0 (mod 60)

Permasalahan ini dapat dituliskan dalam persamaan tunggal 137x + 10 = 60y

Bagi pembagi yang memiliki sisa pembagian terbesar (agra) dengan pembagi yang memiliki sisa pembagian terkecil; berapapun sisanya saling membagi; hasilnya ditempatkan secara terpisah satu dibawah yang lainnya.

Gunakan algoritma Euclid sampai pada akhirnya mempunyai sisa mendekati nol:137 = 2 . 60 + 17 60 = 3 . 17 + 9 17 = 1 . 9 + 8 9 = 1 . 8 + 1

Kemudian susun hasilnya ke bawah satu persatu:2311

Brahmagupta menyusun 0 untuk hasil pertama, nampaknya mengambil pembagian pertama sebagai 60 = 0 . 137 + 60

Kalikan sisanya dengan sebuah angka sembarang i, bila ditambahkan dengan selisih dari 2 sisa (agras), itu dihapuskan. Pengali ditulis ke bawah sebagai hasilnya juga.

Sisa terakhir adalah 1. Kalikan 1 dengan sebarang v sehingga 1 . v ±10 tepat habis dibagi dengan pembagi akhir, dalam kasus ini 8. Tanda + digunakan untuk hasil bilangan genap. Tanda – digunakan untuk hasil bilangan ganjil.

Di sini, karena 0 merupakan salah satu dari hasil, persamaan akhirnya menjadi 1v – 10 = 8w. Ambil v = 18 dan w =1. Kemudian kolom angka yang baru adalah

02311181

Dimulai dari yang terakhir, kalikan bilangan kedua dari akhir dengan satu bilangan yang tepat berada di atasnya; hasilnya, jumlahkan dengan bilangan yang terakhir, itulah akhir dari sisanya (agrānta). [Lanjutkan sampai kolom paling atas.]

Kalikan 18 dengan 1 dan tambahkan 1 untuk mendapatkan 19. Kemudian gantikan posisi angka di atasnya, sebut 1, dengan 19, dan hapus angka terakhir. Lanjutkan cara ini (seperti tabel di bawah ini) sampai hanya terdapat dua baris angka.

0 0 0 0 0 1302 2 2 2 297

2973 3 3 130 1301 1 37 371 19 1918 181

Angka di baris paling atas, agrānta, adalah 130. Jadi, x = 130, y = 297, merupakan pemecahan dari persamaan awal.

Bagaimanapun, Brahmagupta menginginkan sebuah pemecahan yang lebih kecil, sehingga pertama ia menetapkan N :

Bagilah bilangan itu (agranta) dengan pembagi yang memiliki sisa paling sedikit; kalikan sisanya dengan pembagi yang memiliki sisa terbesar. Jumlahkan hasilnya dengan sisa terbesar; hasilnya merupakan sisa dari hasil pembagian.

Oleh karena itu,

130 = 2 . 60 + 1010 . 137 + 10 = 1380

N ≡ 1380 (mod 8220)

Brahmagupta kemudian menyelesaikan y dengan membagi 1380 dengan 60 (karena N = 60y) dan menghitung nilai baru dari x. Sehingga, y = 23, x = 10, merupakan penyelesaian dari persamaan 137x + 10 = 60y.

Meskipun tidak diketahui bagaimana Brahmagupta membenarkan langkah-langkahnya kepada murid-muridnya, akan dipaparkan penjelasan modern. Dimulai dengan persamaan 60y = 137x + 10, dan membuat langkah demi langkah substitusi serta mencocokkannya dengan hasil yang muncul secara berurutan pada algoritma Euclid:

60y = 137x + 10

17x = 60z – 10

9z = 17u + 10

8u = 9v – 10

v = 8w + 10

zxx

y

260

10137

uzz

x

317

1060

vuu

z

19

1017

wvv

u

18

109

137x + 10 = 60(2x + z)

17(3z + u) = 60z – 10

9(1u + v) = 17u + 10

8(1v + w) = 9v – 10

Brahmagupta kemudian menyelesaikan persamaan terakhir dengan memeriksa: w = 1, v = 18. Nilai dari variabel lainnya diperoleh dengan cara subtitusi, dengan menjalankan kolom variabelnya.

u = 1v + w = 1 . 18 + 1 = 19z = 1u + v = 1 . 19 + 18 = 37x = 3z + u = 3 . 37 + 19 = 130y = 2x + z = 2 . 130 + 37 = 297

PERSAMAAN PELL

Untuk dapat menyelesaikan suatu sistem dari persamaan linear dalam bentuk lain dari persamaan tak tentu, penting untuk mengetahui persamaan kuadrat dalam bentuk

.

22 ybDx

Kali ini, permasalahan khusus dimana b = 1 yang sering kali disebut persamaan Pell (dengan nama yang salah setelah abad ke-17, Englishman John Pell).

Brahmagupta memberikan penjelasan pertama dari metode penyelesaian masalah ini. Dan, sama seperti masalah dari kuṭṭaka, dia memperkenalkan beberapa aturan perjanjian dengan persamaan dalam bentuk ini, dengan disertai contoh.

Kuadrat dari [ sebuah angka]....dikalikan dengan 92....dan dijumlahkan dengan 1 itulah hasil kuadrat yang lain.

22 192 yx Contoh yang diberikan Brahmagupta:

Aturan penyelesaian Brahmagupta:

Turunkan kedua akar kuadrat dari kuadrat yang diberikan kalikan dengan pengali dan jumlahkan atau kurangi dengan sembarang bilangan.

Jadi ambil beberapa nilai, sebut saja, 1, dan catat jika 92 dikalikan dengan 12 dan hasilnya dijumlahkan dengan 8 (angka sembarang), kemudian hasil penjumlahannya adalah bilangan kuadrat, sebut saja, 100.Dengan demikian, tiga angka x0 , b0 , y0 dapat ditemukan dengan memenuhi persamaan 2

02

00ybDx

Untuk lebih mudahnya, kita tulis bahwa (x0 , y0 ) merupakan penyelesaian dari b0 .

Dalam masalah ini, (1,10) adalah penyelesaian dari penjumlahan 8. Kemudian Brahmagupta menulis penyelesaian ini ke dalam 2 baris yaitu

Atau

Nilai baru dari akar y adalah y1 . Nilai ini diperoleh dari bentuk umum:

Dalam contoh ini,

000

000

byx

byx

8 10 1

8 10 1

20

201 yDxy

19210)1(92 221 y

Nilai baru dari akar x adalah x1 . Nilai ini diperoleh dari persamaan

atau dengan penjumlahan baru adalah Dengan kata lain, = ( 20, 192) merupakan penyelesaian dari penjumlah atau Brahmagupta mengasumsikan bentuk umum untuk menyelesaikan permasalahan tersebut:

Diberikan dan . Brahmagupta menyebut ini sebagai penyelesaian baru dari penyelesaian (u0 , v0) dan (u1 , v1).

00001 yxyxx 001 2 yxx 201 bb

),( 11 yx641 b 22 19264)20(92

2101010

20110 )()( vvuDuccvuvuD

200

20 vcDu 2

1121 vcDu

Brahmagupta menyimpulkan aturan umumnya:

“Dua bilangan akar kuadrat, dibagi dengan penjumlah atau pengurang aslinya, merupakan akar-akar untuk satuan penjumlahnya.”

Secara umum dapat ditulis :

0

1

0

1 ,b

y

b

x

Brahmagupta memberikan beberapa aturan dan contoh sederhana, tanpa adanya syarat supaya dapat menghasilkan bilangan bulat yaitujika kita telah memperoleh penyelesaian (u, v)1. jika v adalah bilangan ganjil atau u adalah bilangan genap,

maka penyelesaiannya adalah

2

3,

2

1),(

22

11

vv

vuvu

2. Pada kasus dimana v adalah bilangan genap dan u adalah bilangan ganjil,

merupakan sebuah penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat.

4

42

4,

4

2),(

222

11

vvDuuvvu

Penyelesaian yang diberikan oleh Bhāskara II lebih mudah untuk dipahami.

Bhāskara menunjukkan pada Līlāvatī nya bagaimana beberapa persamaan dalam bentuk dapat diselesaikan dalam bentuk bilangan bulat. Dia memulainya dengan meringkas langkah-langkah Brahmagupta.

Aturan Bhāskara untuk kasus umum dan mengikuti bentuk itu untuk contohnya, 67x2 + 1 = y2 .

22 1 yDx

22 1 yDx

Membuat akar-akar terkecil dan terbesar dan penjumlahan ke dalam pembagian, penjumlahan, dan pembagi, pengali menjadi imaginer.

Sebelumnya mulai dengan memilih sebuah pasangan penyelesaian (u, v) untuk beberapa penjumlahan b. Pada contoh berikut, ambil (1, 8) sebagai penyelesaian untuk penjumlahan -3.

Kemudian, selesaikan persamaan tak tentu um + v = bn untuk m, dimana 1m + 8 = -3n.Hasilnya adalah m=1+3t, n = -3 – t, untuk beberapa bilangan bulat t.

Ketika kuadrat dari pengali dikurangi dari bilangan asli atau dikurangi dengan bilangan asli maka sisanya kecil, kemudian dibagi dengan penjumlah merupakan penjumlahan yang baru. Hal tersebut berubah tanda jika kuadrat dari pengali dikurangi dari bilangan asli. Hasil dari pengali merupakan akar kuadrat terkecil, dari situ dapat diperoleh akar terbesar.

Dengan kata lain, pilih t sehingga kuadrat dari m kemungkinan mendekati D. Kemudian ambil,

b

mDb

2

1

(boleh negatif) untuk penjumlahan baru.

Akar baru yang pertama adalah sehingga akar baru yang terakhir adalah b

vumu

1

1211 bDuv

Dalam contoh yang diberikan, Bhāskara menginginkan m2 mendekati 67, sehingga ia memilih t = 2 dan m = 7. Sehingga,

63

)4967()( 2

b

mD

Tetapi, karena pengurangan ini merupakan kuadrat dari koefisien, penjumlah baru adalah 6.

Akar pertama yang baru adalah ,53

87.11

u

tetapi karena akar-akar ini selalu dikuadratkan, sehingga u1 selalu bernilai positif.

Kemudian, , dan (5 , 41) merupakan penyelesaian dari penjumlahan 6.

411681625.671 v

KOMBINASI

Catatan pernyataan tentang peraturan kombinasi paling awal muncul di India, meskipun lagi-lagi tanpa adanya pembuktian atau pembenaran.Sebagai contohnya, risalah medis dari Susruta, mungkin ditulis pada abad ke-6 BCE, mengungkapkan bahwa 63 kombinasi dapat dibuat dari 6 rasa yang berbeda-pahit, asam, asin, astringen, manis, panas-dengan mencampurkannya satu persatu, dua dalam satu waktu, tiga dalam satu waktu, dan seterusnya. Dengan kata lain, terdapat 6 rasa tunggal, 15 kombinasi dari 2 rasa, 20 kombinasi dari 3 rasa, dan juga dari 4 rasa.Kami tidak tahu apakah rumus-rumus yang berhubungan telah dikembangkan.

Di sisi lain, Varāhamihira bekerja pada nilai yang lebih besar pada abad ke-6. Ia mengungkapkan secara jelas bahwa “jika jumlah dari 16 unsur divariasikan dalam 4 cara yang berbeda, hasilnya adalah 1820.” Dengan kata lain, karena Varāhamihira mencoba untuk menciptakan parfum menggunakan campuran 4 bahan dari 16 bahan keseluruhan, ia telah menghitung bahwa secara tepat terdapat 1820 cara yang berbeda untuk memilih bahan-bahan. Hal ini mustahil jika pengarang benar-benar menghitung 1820 kombinasi ini, sehingga diasumsikan bahwa dia mengetahui metode untuk menghitung angka itu.

164C

Pada abad ke-9, Mahāvīra memberikan algoritma yang jelas untuk menghitung kombinasi ini:

Aturannya menganggap kemungkinan keragaman kombinasi selama diketahui: Dimulai dengan satu dan ditambahkan dengan satu, biarkan angka-angkanya bertambah sampai mencapai angka yang diketahui baik pada baris atas maupun baris bawah. Jika hasil dari satu, dua, tiga, atau angka lainnya pada baris atas diambil dari kanan ke kiri dijumlahkan dengan hasil yang bersesuaian dengan hasil satu, dua, tiga, atau angka lainnya pada baris yang ada di bawah, juga diambil dari kanan ke kiri, jumlah yang dibutuhkan pada masing-masing permasalahan kombinasi merupakan hasil yang diperoleh.

!

)1)...(2)(1(

r

rnnnnC n

r

Bagaimanapun, Mahāvīra tidak memberikan pembuktian dari algoritma ini, yang mana dapat diterjemahkan menjadi rumus yang modern:

Tipe lain dari permasalahan secara terpisah juga muncul pada matematika India. Sebagai contoh, Āryabhata menyatakan:

STANZA II, 22 6 bagian dari 3 hasil dari perhitungan bertambah 1, perhitungan penjumlahan itu, dan agar perhitungan merupakan jumlah kuadrat deretan. Dan kuadrat dari keseluruhan deretan bilangan asli merupakan keseluruhan dari deretan kubik.

Pernyataan kedua ini memberikan kita rumus untuk penjumlahan dan dari turunan pertama n kuadrat dan kubik, sebut saja,

2nS 3

nS

)12)(1(6

12 nnnSn

dan

23 )...21( nSn

TRIGONOMETRI

1. Menggambar tabel sinus

Kami menggunakan kata “Sinus” (dengan huruf S besar) untuk menyatakan panjang dari half-chord Indian. Diberikan half-chord merupakan garis pada lingkaran dengan radius R, dimana R akan selalu diketahui. Kata “sinus” (dengan huruf s kecil) digunakan untuk fungsi modern (atau sama dengan, ketika radius lingkaran adalah 1).

Jadi,

Sin θ = R sin θ

Āryabhaṭhīya memberikan penjelasan tentang metode pembuatan tabel Sinus diberikan pada stanza II, 12, sedangkan tabel perbedaan sinus diberikan pada stanza I, 10.

STANZA II, 12 Nilai dari Sinus kedua kurang dari Sinus pertama, dan hasil bagi diperoleh dengan membagi jumlah dari Sinus sebelumnya dengan Sinus pertama, dengan jumlah dari dua Sinus yang mengikuti kurang dari Sinus pertama.

Sinus pertama s1 dalam trigonometri India selalu diartikan arc Sinus dari dan Sinus ini, dalam radius

lingkaran adalah 3438 sama dengan ukuran dalam menit, sebut saja, s1 = 225.Aturan dari stanza ini kemudian menuntun kita untuk menghitung masing-masing arc Sinus dari tahap 3º45’.Jadi, untuk menghitung s2, Sinus dari 7º30’, kita kurangi 225 dengan 225 untuk memperoleh 0 (pada tahap ini, Sinus pertama dan kedua itu sama).Kemudian bagi 225 dengan 225 untuk memperoleh 1 .Kemudian kurangi 0 + 1 = 1 dari 225 untuk memperoleh 224.

'4534

33

Angka ini merupakan perbedaan Sinus yang pertama, jadi s2 = 225 + 224 = 449.Untuk memperoleh s3, kurangi 224 dari 225 untuk mendapatkan 1, kemudian bagi 449 dengan 225, diperoleh 2, kemudian kurangi 1 + 2 = 3 dari 225 untuk mendapatkan 222 sebagai perbedaan Sinus yang lainnya. Jadi, s3, Sinus dari 11º15’, diperoleh dari s3 = 449 + 222

= 671

Secara umum, Sinus sn ke-n dihitung dengan

1

12111

...

s

ssssss n

nn

Semua perbedaan Sinus dicatat dalam

STANZA I, 10. Dua puluh empat perbedaan Sinus dihitung dalam arc yaitu 225, 224, 222, 219, 215, 210, 205, 199, 191, 183, 174, 164, 154, 143, 131, 119, 106, 93, 79, 65, 51, 37, 22, 7.

Mereka menghitung nilai Sinus seperti yang dilakukan Hipparchus: Sinus 90º sama dengan 3438’ radial; Sinus 30º adalah setengah radial, 1719’; Sinus 45º adalah

dan Sinus dari arc lainnya dihitung dengan

menggunakan teori Phythagoras dan rumus half-angle.

'24312

3438

Varāhamihira (abad ke-6) mentabulasikan Cosinus seperti Sinus dalam 120 radial dan mendeskripsikan hubungan standar antara fungsi-fungsi ini. Dan Sūrya-Siddhānta, mungkin ditulis pada abad ke-7, boleh jadi bersumber pada perhitungan fungsi Tangen Cina yang didiskusikan lebih dulu dan diisyaratkan pada Secan.

Meskipun fungsi itu tidak ditabulasikan, bab 3 bait 21-22, dalam diskusi oleh gnomon, mengatakan

“Garis bujur puncak matahari dapat diperoleh dari Sinus dan yang tegak lurus Sinus [Cosinus]. Jika Sinus dan radius berturut-turut dikalikan dengan satuan gnomon dalam digit, dan dibagi dengan tegak lurus sinus, hasilnya adalah bayangan dan hipotenusa pada tengah hari”.

2. TEKNIK PERKIRAAN

Menariknya, tidak ada buku astronomi Indian sampai zaman Bhāskara II yang menjelaskan tabel arc Sinus mendekati .Malahan, matematikawan India membangun metode perkiraan. Tentunya metode paling sederhana adalah dengan penyisipan linear antara nilai tabulasi.Tetapi pada awal abad ke-7, Brahmagupta telah membuat pola penyisipan akurat menggunakan perbedaan second-order.Dalam penulisan modern, jika Δi mewakili perbedaan Sinus ke-i (diberikan dalam stanza I, 10 Aryabhata), αi untuk arc ke-i, dan h = jarak antara arc ini.

4

33

4

33

Kemudian hasil dari Brahmagupta adalah

2

2

2 -

2)()(

hhSinSin ii

( Δi + Δi+1) (Δi – Δi+1)

Sebagai contoh, untuk menghitung Sin (20º), tulis20 = , dimana = x5.4

11

4

318

4

318

Rumus yang didapatkan

1176)5(18

1)425(

6

11105

)210215(

43

32

41

1)210215(

)43

3(2

41

1

4

318

4

11

4

318)20( 2

2

SinSinSin

Sayangnya Brahmagupta tidak memberikan alasan kebenaran untuk rumus interpolasi ini, tetapi dicatat bahwa sisi kanan dari rumus merupakan polinom kuadrat yang unik dalam θ yang menyetujui dengan sisi kiri untuk θ = , θ = 0o, dan θ = .Anehnya, Brahmagupta sendiri juga menggunakan rumus aljabar untuk perkiraan Sinus, rumus yang mirip dengan Bhāskara I dalam versi bahasa Sansekerta dalam Mahābhāskariya:

4

33

4

33

Saya meringkas pernyataan aturan untuk menemukan Sinus tanpa membuat perbedaan Sinus 225 dan seterusnya. Kurangi derajat arc dengan derajat dari setengah lingkaran. Kemudian kalikan sisanya dengan derajat arc dan tulis hasilnya dalam dua tempat. Di sisi bawah, kurangi hasilnya dari 40.500. satu perempat sisanya [jika didapatkan] bagi hasilnya pada tempat lain sebagai pengali radius.... Maka diperoleh Sinus radius itu.

Dalam notasi modern, rumus Bhāskara adalah

)180(40500

)180(4

)180(40500(41

)180(sin

RRRSin

Jika kita menggunakan rumus tersebut untuk menghitung Sinus dari θ = 20º, kita dapatkan

1180160.2040500

160.20.4.343820

Sin

paling dekat dengan bilangan bulat, kesalahan nilai dari pendekatan adalah 0,3%.

3. DERET PANGKAT

Matematikawan India menyusun deret pangkat untuk Sinus, Cosinus, dan Arctangen pada abad ke-14. Deret ini muncul dalam penulisan Tantrasaṃgraha-vyākhyā sekitar tahun 1530, sebuah komentar dalam temuan Nīlakaṇṭha. Penurunan muncul dalam Yuktibhāsā, dimana penulis menuliskan deret pangkat ini untuk Madhava (1359-1425).

Penurunan Indian pada hasil ini dimulai dengan pendekatan Cosinus dan Sinus untuk arc kecil dan kemudian menggunakan “pull yourself up by your own bootstrap” didekati untuk memperbaiki nilai pendekatan langkah demi langkah. Semua penurunan menggunakan notasi dari perbedaan Sinus, ide tersebut sudah digunakan lebih dahulu. Dalam pembahasan tentang metode Indian, menggunakan notasi modern.

Pertama dianggap radius lingkaran R dengan arc kecil (gambar 2). Dari kesebangunan segitiga AGC dan OEB, kita dapatkan

R

yxx

21 dan R

xyy

12

atau

x

yy

y

xx

R1221

Dalam permasalahan modern, jika dan BOF dAOBBOC

persamaan ini menjadi d

R

Rd

R

x

R

yydd cos2cos

2)sin()sin(

212

dan

dR

Rd

R

y

R

xxdd sin2sin

2)cos()cos(

212

(Gambar 2)

Sekarang, andaikan kita memiliki sebuah arc kecil s dibagi n sama dengan subarc, dengan α = s/n. Untuk sederhananya, kita ambil R = 1, meskipun matematikawan India tidak melakukannya. Dengan menerapkan hasil sebelumnya, kita dapatkan ketetapan perbedaan untuk y (gambar 3) (dimana yn = y sin s):

.

.

.

Gambar 3

Begitu juga, perbedaan untuk x dapat ditulis

.

.

.

Kemudian kita anggap perbedaan y yang kedua:

Dengan kata lain, perbedaan sinus yang kedua itu sebanding dengan negatif sinus.Tetapi karena , kita dapat menuliskan hasilnya sebagai

Secara umum, kita dapatkan bahwa

Tetapi Sinus sama dengan jumlah dari perbedaan ini:

Begitu juga s/n ≈ y1 ≈ α, atau ny1 ≈ s. Secara alamiah, nilai

terbaik untuk setiap pendekatan ini adalah nilai terbesar dari n. Oleh sebab itu,

Kemudian, kita tambahkan perbedaan dari x. Kita peroleh

Tetapi dan . Sehingga

Untuk melanjutkan perhitungan ini, kita ganti jumlah dari bilangan bulat n – 1 pertama dengan ungkapan sederhana. Lebih jauhnya, Jyesthadeva membutuhkan rumus yang mirip untuk penjumlahan kuadrat bilangan bulat, integral pangkat tiga, dan seterusnya. Intinya, Ia butuh untuk mengetahui

Hasil ini diketahui di India. Hasilnya adalah

Dimana hasil yang terdahulu telah dibuktikan. Karena kedua hasil ini ditemukan beberapa ratus tahun pada awal perkembangan dunia Islam, pembahasan bukti ditunda sampai pada bab selanjutnya. Namun, Hasil penemuan ini akan digunakan pada pembahasan kali ini dalam bentuk

Oleh karena itu, untuk memperoleh pendekatan baru kita untuk y, kita lanjutkan seperti berikut:

Jadi, kita mempunyai pendekatan baru untuk y dan untuk setiap yi.

Untuk mengembangkan pendekatan untuk Sinus dan Cosinus, Sekarang kita asumsikan bahwa yi ≈ (is/n) – (is)3/(6n3) untuk

mengungkapkan x = cos s dan dilanjutkan seperti sebelumnya. digunakan dua rumus penjumlahan dalam kasus k = 3 untuk memperoleh

Dengan cara yang sama, diperoleh pendekatan baru untuk y = sin s:

Transmisi Ke Dan Dari India

• India belajar trigonometri (dan juga beberapa astronomi) dari sumber- sumber yunani, dan ulama islam yang belajar trigonometri di India, membawa hasil belajarnya ke baghdad pada abad ke delapan. Dan tentu saja, sistem nilai tempat desimal menyebar dari India melalui penyebaran islam ke eropa barat selama beberapa ratus tahun