KARYA ILMIAH PENERAPAN INTEGRAL

GARIS PADA ENERGI POTENSIAL LISTRIK

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

ahmad dona doni pasaribU

5133131004

JURUSAN PEND. TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2014

0

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kehadirat ALLAH SWT karena dengan ridho-NYA

penyusun dapat menyelesaikan Karya Ilmiah ini dengan judul “PENERAPAN

INTEGRAL GARIS PADA ENERGI POTENSIAL”.Karya Ilmiah ini dibuat untuk

melengkapi tugas akhir mata kuliah “MATEMATIKA II”. Semoga karya ilmiah ini

dapat menunjang nilai penyusun menjadi baik. Aamiin.

Kepada tuhan saya mohon ampun kepada pembaca saya mohon maaf jika ada

pnyusunan yang tidak sesuai dan untuk kritik dan saran penyusun harapkan dari

pembaca.

Medan, 31 Mei 2014

Penyusun,

AHMAD DONA DONI PASARIBU

i

DAFTAR ISI

JUDUL HALAMAN

KATA PENGANTAR........................................................................i

DAFTAR ISI......................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN..................................................................1

Latar Belakang....................................................................................1

Batasan................................................................................................1

Tujuan.................................................................................................1

BAB II KAJIAN TEORI....................................................................2

Integral Biasa Dari Vektor..................................................................2

Integral Garis......................................................................................2

BAB III PEMBAHASAN..................................................................6

Potensial Listrik..................................................................................6

Energi Potensial listrik........................................................................7

BAB IV PENUTUP............................................................................9

Kesimpulan.........................................................................................9

DAFTAR PUSTAKA

ii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar belakang

Mengetahui bahwa sebagai seorang mahasiswa harus mandiri dalam segala

sesuatu. Jadi untuk menunjukkan sikap mahasiswa yang mandiri karya

ilmiah ini adalah bukti. Dengan melandaskan kepada matematika teknik

pembahasan ini mengenai penerapan integral garis pada energi potensial

listrik.

B. Batasan

Menggunakan integral garis dalam mementukan rumus pada energi

potensial listrik.

C. Tujuan

Untuk menambah pengetahuan tentang integral garis dan penerapannya

pada energi potensial listrik.

1

BAB II

KAJIAN TEORI

INTEGRAL BIASA DARI VEKTOR

Misalkan R (u )=R1 (u ) i+R2 (u ) j+R3 (u )k sebuahvektor yang bergantung pada

variabel skalar tunggal u, dimana R1 (u ) ,R2 (u ) , R3(u) kontinu dalam suatu selang

yang ditentukan. Maka,

∫R (u ) du=¿ i∫R1 (u ) du+ j∫R2 (u ) du+k∫R3(u)du¿

Disebut integral tak tentu dari R (u). Bila terdapat sebuah vektor S(u) sehingga

R (u )= ddu

(S (u ) ) , maka :

∫R (u ) du=∫ ddu

( S (u ) ) du=S (u )+c

Dimana c adalah vektor konstan sebarang yang tak tergantung pada u. Integral

tentu antara limit-limit u = a dan u = b dalam hal demikian dapat ditulis

∫a

b

R (u ) du=¿∫a

bddu

( S (u ) ) du=S (u )+c ∣ab=S (b )−S (a)¿

Integral ini dapat juga didefenisikan sebagai limit dari jumlah dalam cara yang

analog dengan yang pada kalkulus integral elementer.

INTEGRAL GARIS

Misalkan r(u) = x (u) i + y (u) j + z (u)k, dimana r(u) adalah vektor posisi

dari (x, y, z) mendefenisikan sebuah kurva C yang menghubungkan titik-titik P1 dan

P2, dimana u = u1 dan u = u2 untuk masing-masingnya.

Kita menganggap bahwa C tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana

untuk masing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu.

Misalkan A ( x , y , z )=A1 i+ A2 j+ A3 k sebuah fungsi vektor dari posisi yang

didefenisikan dan kontinu sepanjang C. Maka integral dari komponen tangensial A

sepanjang C dari P1 ke P2, ditulis sebagai

2

∫P1

P 2

A . dr=¿∫C

❑

A . dr=¿∫C

❑

A1 dx+A2 dy+A3 dz¿¿

Adalah contoh dari integral garis. Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel

yang bergerak sepanjang C, maka integral garis ini menyatakan usaha yang

dilakukan oleh gaya. Jika C adalah kurva tertutup (yang mana kita anggap sebagai

kurva tertutup sederhana, yakni kurva yang memotong dirinya sendiri), maka integral

mengelilingi C sering ditunjukkan oleh

∮ A . dr=∮ A1dx+ A2 dy+ A3 dz

Dengan kata lain jika ada garis lurus yang menghubungkan(x1 , y1 , z1) ke (x, y,

z) maka integral yang mengelilingi C dapat ditunjukkan oleh:

∫C

❑

A ∙ dr=∫x1

x

A1 ∙ dx+∫y1

y

A2 ∙ dy+¿∫z1

z

A3 ∙ dz ¿

Dalam aerodinamika dan mekanika fluida, integral ini disebut sirkulasi dari A

mengelilingi C, di mana A menyatakan kecepatan dari fluida.

Pada umumnya, setiap integral yang dihitung sepanjang sebuah kurva disebut

integral garis. Integral-integral demikian dapat didefenisikan dari segi pandangan

limit-limit dari jumlah-jumlah seperti halnya integral-integral kalkulus elementer.

Contoh 4:

Jika A = (3 x¿¿2+6 y) i−14 yz j+20 xz2 k ¿, hitunglah ∫C

❑

A . dr dari (0, 0, 0) ke

(1, 1, 1) sepanjang lintasan-lintasan C garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan

(1, 1, 1).

∫C

❑

A . dr=¿∫C

❑

[ (3 x2+6 y )i−14 yz j+20 xz2 k ] . (dx i+dy j+dz k )¿

¿∫C

❑

(3 x2+6 y ) dx−14 yz dy+20 xz2 dz

3

Penyelesaian:

Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk parametrik

diberikan oleh x=t, y=t, z=t. Maka,

∫C

❑

A . dr=¿∫t=0

1

(3 t¿¿2+6 t )dt−14 ( t ) (t )dt +20( t)(t)2 dt ¿¿

∫t=0

1

(3 t ¿¿2+6 t−14 t 2+20 t 3)dt=∫t=0

1

(6 t−11 t 2+20t 3 ) dt=133

¿

Contoh 5:

Jika A = (3 x¿¿2+6 y) i−14 yz j+20 xz2 k ¿, hitunglah ∫C

❑

A . dr dari (0, 0, 0) ke

(1, 1, 1) sepanjang lintasan-lintasan C garis-garis lurus dari (1, 0, 0), kemudian (1, 1,

0) dan kemudian ke (1, 1, 1)

Penyelesaian:

∫C

❑

A . dr=¿∫C

❑

[ (3 x2+6 y )i−14 yz j+20 xz2 k ] . (dx i+dy j+dz k )¿

¿∫C

❑

(3 x2+6 y ) dx−14 yz dy+20 xz2 dz

Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (1, 0, 0) y = 0, z = 0, dy = 0 sedangkan x

berubah dari 0 hingga 1, maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

∫x=0

1

¿¿¿

Sepanjang garis lurus dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 0), x = 1, z = 0, dx = 0, dz = 0,

sedangkan y berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini

adalah

∫y=0

1

(3(1)¿¿2+6 y)0−14 y (0 ) dy+20 (1 )(0)20=0¿

Sepanjang garis lurus dari (1, 1, 0) ke (1, 1, 1) x = 1, y = 1, dx = 0, dy = 0 sedangkan

z berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

∫z=0

1

¿¿

4

Jumlahkan, ∫C

❑

A ∙ dx=1+0+ 203

=233

TEOREMA

Jika A = ∇∅ pada semua titik dalam suatu daerah R dari ruang, yang

didefenisikan oleh

a1≤ x≤ a2 , b1 ≤ y ≤ b2 , c1 ≤ z ≤ c2, dimana ∅ (x , y , z) berharga tunggal dan

memiliki turunan-turuna yang kontinu dalam R, maka

1. ∫P1

P 2

A . dr tidak bergantung pada lintasan C dalam R yang menghubungkan

P1 dan P2

2. ∮C

❑

A . dr=0 mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam R

Dalam hal demikian A disebut medan vektor konservatif dan ∅ adalah potensial

skalarnya.

Sebuah medan vektor A adalah konservatife jika dan hanya jika ∇ xA=0, atau juga

ekivalen dengan A =∇∅ . Dalam hal demikian, A . dr = A1 dx + A2 dy + A3 dz = d∅ ,

suatu diferensial eksak.

5

BAB III

PEMBAHASAN

POTENSIAL LISTRIK

Bila sebuah partikel bermuatan bergerak dalam sebuah medan listrik, maka

medan itu akan mengerahkan sebuah gaya yang dapat melakukan kerja pada partikel

tersebut. Kerja tersebut selalu dapat dinyatakan dalam energi potensial listrik yang

besarnya bergantung pada kedudukan partikel bermuatan itu dalam medan listrik.

Dalam rangkaian, selisih potensial dari satu titik ke titik lain dinamakan tegangan

(voltage).

Usaha untuk memindahkan suatu muatan titik

Diberikan satu muatan q0 dalam medan E :

Sebuah partikel bermuatan positif digerakan oleh sebuah gaya luar dari A ke

B dalam sebuah medan listrik. Dalam perjalanannya partikel tersebut akan

dipengaruhi oleh gaya listrik sebesar q0E. Gaya ini bersifat konservatif karena gaya

di antara dua muatan seperti yang digambarkan oleh Coulomb adalah konservatif.

Jika muatan uji digerakkan di dalam medan listrik oleh beberapa pengaruh luar,

usaha yang dilakukan oleh medan tersebut pada muatan uji sama dengan negatif

usaha yang dilakukan oleh sumber-pengaruh luar yang menyebabkan terjadinya

6

perpindahan. Ini merupakan analogi pada kegiatan mengangkat benda bermassa

dalam medan gravitasi (usaha yang dilakukan pengaruh luar adalah mgh dan usaha

yang dilakukan oleh gaya gravitasi adalah – mgh)

Untuk mempertahankan partikel tersebut agar tidak dipercepat oleh gaya q0E,

maka sebuah pengaruh luar harus memakai gaya Fa yang dipilih tepat sama dengan –

q0E yang akan menyebabkan partikel bergeser sejauh dl sepanjang jalan A ke B.

Sehingga elemen kerja yang dilakukan oleh

pengaruh gaya luar tersebut adalah Fa.dl

ENERGI POTENSIAL LISTRIK

Energi potensial listrik tidak lain adalah usaha yang dilakukan oleh suatu gaya luar

untuk memindahkan partikel bermuatan yang berada di sekitar medan listrik.

Jadi :

Energi potensial listrik pada muatan q0 yang bergerak di suatu medan listrik yang

dihasilkan oleh q.

7

Selisih potensial listrik diantara dua titik A dan B tersebut didefinisikan sebagai :Potensial (V) adalah : Energi potensial tiap satuan muatan

Jadi :

Dengan memilih kedudukan A pada posisi tak hingga, maka perbedaan potensial listrik dapat dinyatakan :

Potensial akibat sekumpulan muatan titik dirumuskan :

8

Jadi hubungan Energi potensial dan potensial listrik adalah :

BAB IV

PENUTUP

Kesimpulan

- Kurva C yang menghubungkan titik-titik P1 dan P2, dimana u = u1 dan u = u2

untuk masing-masingnya tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva

dimana untuk masing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu.

- Integrasi dilakukan sepanjang lintasan yang dilalui oleh muatan qo selama

bergerak dari A ke B. Oleh karena qoE konservatif, integral garis ini tidak

bergantung pada bentuk lintasan yang digunakan dari A ke B.

9

DAFTAR PUSTAKA

Purcel, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 2. Jakarta : Erlangga

Spiegel, Murray R. 1988. Analisis Vektor. Jakarta : Erlangga

Stewart, James. 1998. Kalkulus Jilid 2. Jakarta : Erlangga

http://www.docstoc.com/docs/56602798/analis_vektor

10

11