penentuan kompensasi karyawan dalam bentuk opsi saham model verr
TRANSCRIPT
PENENTUAN KOMPENSASI KARYAWAN DALAM BENTUK OPSI
SAHAM MODEL VERR
(vesting period, exit rate, reload, reset)
Rudianto ArtionoUniversitas Negeri Surabaya
Opsi Saham Karyawan (OSK) merupakan salah satu bentuk kompensasi yang dapat diberikan perusahaan pada karyawannya. Opsi ini memberikan hak kepada karyawan untuk membeli sebagian saham perusahaan dalam suatu periode tertentu di masa mendatang dengan harga yang telah ditentukan pada saat opsi tersebut diberikan. Dalam pemberian OSK terdapat fitur-fitur yang dapat mengakomodasi kepentingan perusahaan serta perilaku penerima opsi tersebut. Dalam penentuan OSK model VERR, fitur yang digunakan adalah: 1) Fitur vesting period yaitu fitur masa tunggu untuk dapat dilaksanakan exercise terhadap opsi yang dimiliki, 2) Fitur exit rate yaitu fitur yang memperhatikan kemungkinan datangnya employment shock yang mengakibatkan karyawan penerima OSK keluar dari perusahaan, 3) Fitur reload yaitu fitur yang memberikan opsi baru setelah dilakukan excercise terhadap opsi yang telah dimiliki sebelumnya, 4) Fitur reset yaitu fitur untuk melakukan pengesetan ulang terhadap syarat-syarat yang berlaku dalam OSK jika saham dalam keadaan out of the money.
Kata kunci: Opsi Saham Karyawan, Martingale, Persamaan Difusi, Metode Image
A. Pendahuluan
Akhir-akhir ini beberapa perusahaan di Indonesia mulai mengembangkan
sistem pemberian kompensasi kepada karyawannya. Kompensasi yang diberikan
tidak hanya berupa kompensasi tunai seperti pemberian gaji dan bonus, tetapi
mulai dikembangkan pula pemberian kompensasi non tunai seperti
pengikutsertaan dalam program pensiun, pengikutsertaan program asuransi dan
pemberian opsi saham karyawan.
Pemberian opsi saham karyawan (OSK) memberikan hak kepada
karyawan untuk membeli sebagian saham perusahaan dalam suatu periode tertentu
di masa mendatang dengan harga yang telah ditentukan pada saat opsi tersebut
diberikan. Dengan adanya pemberian OSK ini, diharapkan karyawan dapat
menumbuhkan rasa memiliki terhadap perusahaan sehingga secara tidak langsung
dapat menumbuhkan rasa tanggung jawab sekaligus semangat kerja pada
karyawan untuk turut serta memajukan perusahaan.
Penerima OSK dalam suatu perusahaan, menurut Faoso (2000), dapat
dilakukan secara menyeluruh kepada semua karyawan tanpa proses seleksi, atau
dapat pula dilakukan melalui proses seleksi berdasarkan jabatannya maupun
kriteria-kriteria tertentu yang lebih kualitatif, tergantung pada tujuan diberikannya
OSK. Bagi perusahaan, OSK ini dapat pula digunakan sebagai alat untuk
menahan karyawan unggulannya agar tidak meninggalkan perusahaan.
Pemberian OSK yang sangat bergantung pada kepentingan perusahaan dan
perilaku karyawan dalam perusahaan tersebut mengakibatkan penghitungan harga
OSK sedikit berbeda dengan penghitungan harga opsi pada umumnya. Dalam
penentuan harga OSK terdapat fitur-fitur yang dapat mengakomodasi kepentingan
perusahaan seperti misalnya adanya fitur vesting period (masa menunggu). Fitur
ini dapat digunakan oleh perusahaan yang menginginkan karyawannya tetap
bekerja di perusahaan untuk jangka waktu tertentu. Selain itu, masih terdapat pula
beberapa fitur lain yang dapat digunakan oleh perusahaan.
Dalam makalah ini, akan dibahas tentang penentuan harga OSK yang
dalam penghitungannya memperhatikan fitur-fitur sebagai berikut:
1 Vesting period, artinya penerima OSK dapat melakukan exercise setelah
melewati periode waktu tertentu.
2 Exit rate, artinya penentuan harga OSK memperhatikan kemungkinan
karyawan yang menerima OSK keluar dari perusahaan baik secara sukarela
maupun karena PHK.
3 Reload, artinya penerima OSK yang telah melakukan exercise terhadap
opsinya, dapat menerima OSK yang baru dengan proporsi tertentu.
4 Reset, artinya OSK yang telah melewati masa tunggu namun tidak dilakukan
excercise karena dalam keadaan out of the money maka dapat dilakukan
pengaturan kembali tentang kesepakatan yang ada dalam kontrak OSK.
Selanjutnya, fitur-fitur di atas dijadikan dalam suatu model penentuan
harga OSK yang dinamakan dengan model VERR (vesting period, exit rate,
reload, reset). Dalam penentuan harga OSK model VERR, terlebih dahulu
diperlukan bentuk Persamaan Diferensial Parsial (PDP) yang sesuai dengan
model. Selanjutnya, dari bentuk PDP yang diperoleh akan dicari solusi
analitiknya.
Agar tidak terjadi pendefinisian yang berbeda, berikut ini diberikan
beberapa batasan yang digunakan dalam makalah ini, antara lain:
1 OSK setelah vesting period merupakan opsi yang berjenis American Call
Perpetual
2 OSK pada saat vesting period merupakan opsi yang berjenis European Call
3 Employment shock yang mengakibatkan exit rate dimodelkan mengikuti
proses poisson
4 Penerima opsi diperbolehkan melakukan hedging opsinya sehingga untuk
menurunkan persamaan diferensial dari fungsi harga saham dapat
menggunakan metode standar risk-neutral pricing.
5 Penghitungan OSK mengikuti model pergerakan harga saham yang
memberikan deviden.
6 Penerima opsi saham karyawan tidak dapat menjual opsinya kepada pihak
lain.
7 Penerbitan OSK tidak memperhatikan efek dilution.
B. Opsi Saham Karyawan Model VERR
B.1. Opsi Saham Karyawan
OSK termasuk ke dalam opsi jenis call, artinya penerima OSK mempunyai
hak, bukan kewajiban, untuk membeli sejumlah saham perusahaan dengan harga
yang telah ditetapkan (strike price) pada saat opsi diberikan dan dengan masa
jatuh tempo (maturity time) yang telah ditetapkan pula. Pada saat pemberian OSK,
umumnya strike price telah ditetapkan sama dengan harga saham yang berlaku di
pasar pada saat itu. Sedangkan untuk maturity time, OSK umumnya mempunyai
maturity time yang lebih lama jika dibandingkan dengan maturity time untuk opsi-
opsi yang lain.
Cara-cara yang digunakan untuk menentukan harga OSK berbeda dengan
cara-cara yang digunakan dalam penentuan harga opsi pada umumnya. Hal ini
disebabkan karena adanya fitur-fitur yang berlaku dalam pemberian opsi saham
pada karyawan seperti misalnya:
1. Perusahaan mensyaratkan adanya waktu tunggu bagi penerima OSK untuk
dapat melakukan excercise terhadap opsinya. Waktu tunggu ini bermanfaat
pula untuk menahan karyawan yang telah menerima opsi agar tidak
meninggalkan perusahaan sebelum masa tunggu tersebut berakhir. Waktu
tunggu ini dikenal dikenal dengan istilah vesting period.
2. Perusahaan memberikan batasan kepada penerima OSK untuk tidak menjual
belikan opsinya. Ini dilakukan untuk menghindari keadaan dimana penerima
OSK dapat dengan mudah menerima opsi dan segera menjualnya kembali
ketika penerima OSK tersebut mengundurkan diri dari perusahaan. Hal ini
didasarkan pada asumsi bahwa penerima OSK dapat dengan mudah berhenti
dari pekerjaannya secara tiba-tiba baik secara sukarela maupun karena PHK.
Employment shock pada karyawan dapat terjadi sewaktu-waktu yang
mengakibatkan karyawan keluar dari perusahaan. Proporsi karyawan yang
keluar dari perusahaan persatuan waktu dinyatakan dengan istilah exit rate.
3. Perusahaan dapat memberikan opsi-opsi baru setelah sebagian besar harga
saham perusahaan meningkat, hal ini akan mempengaruhi penerima opsi
untuk segera melakukan excercise terhadap opsinya. Artinya para penerima
OSK yang telah melakukan excercise terhadap opsinya akan mendapatkan
opsi-opsi baru yang disebabkan karena adanya peningkatan harga saham
perusahaan. Opsi baru yang diberikan mempunyai proporsi sepersekian dari
opsi yang dimiliki semula. Pemberian opsi-opsi baru ini dikenal dengan istilah
reloading. Prinsip pemberian reload option adalah jika K menyatakan strike
price dan S menyatakan harga saham maka penerima reload option akan
menerima KS
opsi baru untuk setiap opsi lama yang dimilikinya
4. Jika sebagian besar harga saham perusahaan mengalami penurunan, maka
opsi-opsi yang telah diberikan menjadi kehilangan nilai dan kehilangan
kapasitasnya sebagi insentif. Untuk kondisi seperti ini, perusahaan cenderung
untuk mengeset ulang syarat-syarat dari opsi yang harga kesepakatannya lebih
tinggi dari harga saham yang ada di pasar. Hal ini dikenal dengan istilah
resetting.
Berdasarkan fitur-fitur yang telah dijelaskan tersebut, maka untuk
menentukan harga OSK dilakukan analisis sebagai berikut: ketika opsi diberikan,
strike price K dibuat sama dengan harga saham yang berlaku di pasar pada saat itu
(at the money). Jenis opsi yang digunakan adalah tipe Amerika dan perpetual
artinya dapat dilakukan excercise kapan saja dan mempunyai maturity time yang
lama. Excercise terhadap opsi hanya dapat dilakuakan setelah vesting period
dengan lama T tahun. Jika dilakukan excercise pada saat strike price kurang dari
harga saham, misal pada saat τ ≥ T , maka penerima OSK menerima pembayaran
opsi seperti biasa Sτ−K dengan tambahan ρHKS
opsi baru karena adanya fitur
reload. Opsi baru ini mempunyai strike price baru Sτ , dan vesting period yang
baru selama T tahun. Tetapi, jika harga saham jatuh sampai dengan reset barrier,
lK (0< l<1) pada saat τ<T (saat vesting period) atau τ ≥ T (setelah vesting period)
maka penerima OSK akan mendapatkan ganti ρL opsi baru karena adanya fitur
reset. Opsi baru ini mempunyai strike price l K dengan vesting period yang baru
selama T tahun dan dengan barrier baru pada l2 K . Jika pada saat τ<T(saat vesting
period), penerima OSK keluar dari perusahaan yang banyaknya dinyatakan
dengan λ maka opsi yang dimilikinya tidak bernilai (hangus) tetapi jika penerima
OSK keluar dari perusahaan pada saat τ ≥ T (setelah vesting period) maka
penerima opsi dapat melakukan excercise terhadap opsinya terlebih dahulu,
dengan kondisi strike price lebih besar dari harga saham yang berlaku (in the
money).
Dari fitur-fitur yang ada digabungkan dalam suatu model yang dinamakan
dengan model VERR. Model ini menggabungkan vesting period, exit rate,
reloading, dan resetting yang dinotasikan oleh parameter-parameter T,λ, ρH, dan
ρL.
B.2 Model Pergerakan Harga Saham
Untuk memperoleh harga OSK yang bergantung pada harga saham, maka
terlebih dahulu akan dibahas model pergerakan harga saham. Dengan
mengasumsikan bahwa rata-rata suku bunga r adalah konstan maka model
pergerakan harga saham perusahaan St yang mengikuti Geometric Brownian
Motion dapat dinyatakan sebagai berikut:
d S t
St
=( μ−q ) dt+σd Z t(B .2.1)
dengan q adalah deviden, σ adalah volatilitas, Z adalah gerak Brown standar, dan
μ adalah jumlah return saham yang diharapkan. Dari batasan masalah yang telah
dikemukakan di depan, bahwa penerima OSK diperbolehkan melakukan hedging
terhadap opsinya, maka untuk menurunkan persamaan diferensial dari fungsi
harga saham dapat menggunakan metode standar risk-neutral pricing. Dari
metode ini diperoleh bahwa μ=r, sehingga model pergerakan harga saham dapat
pula dinyatakan sebagai berikut:
d S t
St
=(r−q ) dt +σd Z t(B .2.2)
B.3 Pembatasan Perdagangan OSK
Selanjutnya, karena adanya pembatasan dari perusahaan untuk tidak
memperjual belikan OSK, mengakibatkan harga OSK kurang begitu
menguntungkan bagi penerimanya. Hal ini disebabkan karena penerima OSK
tidak dapat mengambil keuntungan dari penjualan opsi yang diperolehnya tetapi
sebaliknya bagi perusahaan, karena adanya pembatasan ini mengakibatkan
perusahaan harus menanggung biaya yang agak lebih mahal sebagai konsekuensi
dari adanya pembatasan tersebut. Untuk menggabungkan pengaruh tersebut, maka
penerima OSK dianggap sebagai subjek yang sewaktu-waktu dapat keluar dari
perusahaan karena adanya employment shock sehingga pada saat karyawan keluar
dari perusahaan, karyawan tidak bisa menjual opsi yang telah diterimanya.
Employment shock ini dimodelkan mengikuti proses Poisson dengan
hazard rate λ yang secara tidak langsung berarti penerima OSK diharapkan telah
bekerja selama 1λ
tahun pada perusahaan. Ketika penerima merasakan adanya
merasakan adanya employment shock, penerima OSK tidak dapat menjual
opsinya. Penerima OSK dapat melakukan excercise terhadap opsinya, jika sudah
melewati vesting period atau mengorbankannya (opsi hangus). Jika penerima
OSK melakukan excercise terhadap opsinya sesaat setelah vesting period
berakhir, maka penerima OSK tersebut akan kehilangan kesempatan untuk
mendapatkan opsi reloaded yang baru. Employment shock yang mengakibatkan
keluarnya karyawan dari perusahaan mempengaruhi harga opsi dan strategi
melakukan excercise para penerima OSK.
C. Penentuan Harga Opsi Saham Karyawan
Selanjutnya, penentuan harga OSK dibedakan menjadi 2 daerah waktu
yaitu harga OSK saat vesting period dan harga OSK setelah vesting period. Pada
saat vesting period, harga OSK dinotasikan dengan V (S , t ; K ), dengan S adalah
harga saham, t waktu pada saat vesting period, dan K strike price. Setelah vesting
period, harga OSK dinotasikan dengan C(S;K). Perlu diperhatikan bahwa strike
price dari opsi dapat berubah setelah melewati masa resetting dan reloading.
Setelah vesting period, penerima OSK mempunyai kesempatan untuk
memutuskan kapan saat yang tepat untuk melakukan excercise pada opsi secara
optimal. Menurut Karatzas dan Wang (2000), Strategi optimal dalam melakukan
excercise adalah ketika harga saham S telah mencapai level tertentu, dan level ini
dapat ditentukan dengan menggunakan a smooth-pasting condition.
Ketika di lakukan exercise , penerima OSK akan mendapatkan ρHKS
opsi
baru dengan strike price yang sama dengan harga saham pada saat opsi tersebut
dilakukan excercise. Opsi baru yang diterima, mempunyai vesting period yang
baru pula sehingga opsi baru yang diterima dapat dinyatakan kembali sebagai
V (S , 0 ;S ) dan reset barrier lS, demikian seterusnya.
Dengan memperhatikan perbandingan yang digunakan untuk mendapat
opsi baru karena fitur reload yaitu KS
jika dikalikan dengan sesuatu faktor yang
positif ρH akan menghasilkan harga opsi baru dan reset barrier baru dengan
proporsi yang sama maka untuk menentukan boundary exercise dapat pula
dilakukan dengan cara yang sama yaitu menyatakan sebarang variabel ke dalam
variabel pembanding yaitu K. Dengan cara seperti ini, maka boundary exercise
dapat dinyatakan sebagai hK dengan h>1. Dengan cara ini pula, maka dapat
diperoleh perbandingan antara harga opsi baru V (S , 0; S )dengan strike price S
yang baru adalah D
D=V (S , 0; S )
S(C .1)
Pada gambar 1 diperlihatkan payoff dari OSK berdasarkan 5 kemungkinan
pergerakan harga saham. Pada saat awal diberikan, harga OSK adalah sebesar DK.
kemungkinan pertama, jika harga saham menyentuh reset barrier sehingga
dengan adanya fitur reset mengakibatkan payoff dari OSK adalah DlKρL❑
.
Kemungkinan kedua, jika terjadi employment shock sebelum vesting period ini
mengakibatkan karyawan keluar dari perusahaan, maka payoff dari OSK adalah 0
(hangus). Kemungkinan ketiga, jika dilakukan excercise dengan segera
disebabkan karena adanya employment shock setelah vesting period namun belum
mencapai exercise boundary yang diharapkan maka payoff dari OSK adalah
max (S−K , 0). Kemungkinan keempat, jika dilakukan excercise ketika harga
saham mencapai excercise boundary setelah melewati vesting period atau
kemungkinan kelima dilakukan excercise dengan segera setelah opsi melewati
vesting period dan harga saham telah berada di atas exercise boundary.
Kemungkinan keempat dan kelima memberikan payoff dari OSK adalah
S−K+ DKρH❑
.
vesting period
vested
excercising boundary
reset barrier
Selanjutnya dari payoff yang telah diperoleh, akan ditentukan harga OSK
pada saat awal diberikan. Penentuan harga OSK diperhitungkan melalui 2 daerah
waktu yaitu waktu setelah vesting period dan waktu saat vesting period, dimana
perhitungan saat vesting period bergantung pada hasil yang diperoleh saat
melakukan perhitungan harga OSK setelah vesting period.
C.1 Penentuan Harga OSK Setelah Vesting Period
Penentuan harga OSK setelah vesting period sama seperti penentuan harga
opsi American perpetual dengan tambahan lower barrier untuk reset. Harga OSK
pada saat S ≥ hK , memberikan payoff yang didalamnya disertakan pula reload
option yang baru yaitu:
C ( S , K )=S−K+ρH DK (C .1 .1)
Harga OSK pada saat S=lK yaitu ketika harga saham menyentuh barrier, maka
OSK akan digantikan dengan ρL reset option yang baru yaitu:
C ( lK ;K )=ρL DlK (C .1 .2)
Harga OSK pada saat lK<S<hK diperoleh dari penurunan ekspektasi payoff
harga OSK secara umum:
C ( t , S ; K )=Et , S ¿
τ s adalah stopping time
Untuk mendapatkan bentuk persamaan diferensial dari ekspektasi C ( t , S ; K ) maka
digunakan Discounted Feynman Kac Theorem. Menurut Shreve (2004) prinsip
umum untuk pembuktian dengan menggunakan Discounted Feynman Kac
Gambar 2.4: Diagram payoff dari OSK
Theorem adalah sebagai berikut: a). Menemukan martingale, b). Melakukan
diferensial, c). Menjadikan bentuk ∂ t (drift) sama dengan nol.
Diperoleh persamaan diferensialnya adalah
12
σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S
∂C∂ S
−rC=∂ C∂T
(C .1 .4)
Selanjutnya stopping time untuk OSK setelah vesting period ada 2
kemungkinan yaitu disebabkan karena employment shock atau disebabkan karena
harga saham telah menyentuh level batas yang diinginkan. Sehingga harga OSK
dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
C ( t , S ; K )=Et , S ¿
τ λ adalah stopping time karena employment shock
τ B adalah stopping time karena telah mencapai level batas yang
diinginkan
τ λ∧ τBadalah waktu minimal antara τ λdan τ B
Waktu terjadinya employment shock mengikuti proses poisson
berdistribusi eksponensial sehingga peluang terjadinya adalah sebagai berikut:
P {τ λ∈dt }=λ e− λt dt
Harga OSK yang dipengaruhi oleh employment shock dapat dinyatakan sebagai
berikut:
C p ( S ; K )=∫0
∞
λ e−λt C (t , S ; K ) dt
karena C ( t , S ; K ) memenuhi persamaan (C.1.4) maka C p ( S ; K )dapat diperoleh
dengan cara mengintegralkan persamaan (C.1.4) di kedua ruas
∫0
∞
λ e−λt ((r−q ) S∂C∂ S
+ 12
σ2 S2 ∂2C∂ S2 −rC)dt=∫
0
∞
λ e−λt ∂ C∂T
dt
untuk bentuk integral di ruas kanan, dapat diselesaikan dengan menggunakan
transformasi Laplace Carson. Diperoleh hasil pengintegralannya adalah:
12
σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S
∂C∂ S
−(r+λ )C+λ max ( S−K ,0 )=0(C .1.6)
Harga OSK setelah vesting period memenuhi persamaan diferensial
(C.1.6). Dalam perhitungan selanjutnya untuk mencari solusi persamaan
diferensial tersebut harga OSK C p ( S , K ) dinotasikan dengan C ( S , K ).
C.2 Penentuan Harga OSK Saat Vesting Period
Penentuan harga OSK pada saat vesting period sama seperti penentuan
harga European option dengan harga opsi bergantung ke harga OSK setelah
vesting period yaitu pada saat akhir vesting period
V (S ,T ; K )=C ( S , K )(C .2 .1)
Pada saat mencapai barrier S=lK maka opsi digantikan oleh ρL reload option
yang baru
V ( lK , t ; K )=ρL DlK 0 ≤ t<T (C .2 .2)
Harga OSK pada saat S>lK dan 0≤ t <T diperoleh dari penurunan ekspektasi
harga OSK setelah vesting period tepat pada saat vesting period berakhir yaitu
pada saat T.
Misal V ( t , S ; K ) menyatakan harga OSK pada saat vesting period. Harga
OSK pada saat vesting period didefinisikan sebagai berikut:
V (t , S ; K )=Et , S¿
Jika pada saat vesting period terjadi employment shock yang
mengakibatkan karyawan meninggalkan perusahaan maka OSK dinyatakan
hangus. Sedangkan, jika pada saat vesting period tidak terjadi employment shock
maka harga OSK yang dipengaruhi oleh exit rate yang mengikuti proses poisson
dapat dinyatakan sebagai berikut:
V ( t , S ; K )=Et , S¿
untuk mendapatkan bentuk persamaan diferensial dari ekspektasi V (t , S ; K )
digunakan cara yang sama seperti di atas. Diperoleh persamaan differensial parsial
berikut:
∂ V∂ t
+ 12
σ 2 S2 ∂2V∂ S2 +(r−q ) S ∂ V
∂ S−( λ+r )V =0(C .2.5)
Persamaan diferensial yang diperoleh sama seperti persamaan diferensial standar
Black Scholes kecuali adanya tambahan bentuk – λV yang menyatakan adanya
pembatasan untuk tidak menjual OSK. Selanjutnya akan dicari solusi dari
persamaan diferensial untuk harga OSK saat vesting period. Persaman diferensial
yang diperoleh akan ditransformasi menjadi bentuk persamaan difusi, sehingga
untuk mencari solusinya dapat menggunakan cara-cara yang ada dalam penurunan
solusi pada persamaan difusi.
C.3 Solusi PDP Untuk Harga OSK Setelah Vesting Period
Dari bentuk persamaan differensial pada persamaan (C.1.6) yang diperoleh
yaitu:
12
σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S
∂C∂ S
−(r+λ )C+λ max ( S−K ,0 )=0
merupakan bentuk persamaan differensial tak homogen. Sehingga untuk mencari
solusi dari PD tak homogen tersebut, terlebih dahulu mencari solusi dari bentuk
PD homogennya. Solusi umum dari bentuk PD homogen adalah sebagai berikut:
C ( S ; K )=c1 Sκ1+c2 Sκ2(C .3 .1)
κ1=
12
σ2−(r−q )+√[ 12
σ2−(r−q )]2
+2 σ2 (r+ λ )
σ 2
κ2=
12
σ2−(r−q )−√[ 12
σ2−(r−q )]2
+2 σ2 (r+λ )
σ2
Dari hasil analisis harga saham, diperoleh syarat batas untuk harga OSK.
Jika syarat batas disubstitusikan pada solusi umum PD homogen, akan diperoleh
solusi khusus sebagai berikut:
C ( S ; K )=a1 K ( SK )
κ1
+a2 K ( SK )
κ 2
Setelah diperoleh solusi untuk PD homogennya, selanjutnya mencari
solusi dari bentuk PD tak homogen sebagai berikut:
Bentuk tak homogen
λ max ( S−K ,0 )={λ ( S−K ) K ≤ S<hK0 lK ≤ S<K
sehingga untuk K ≤ S<hK bentuk PD yang berlaku adalah:
12
σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S
∂C∂ S
−(r+λ )C+λ ( S−K )=0
12
σ2 S2 ∂2 C∂ S2 +(r−q ) S
∂C∂ S
−(r+λ )C=−λ (S−K )
diperoleh solusi dari PD tak homogennya adalah:
C ( S ; K )= λ(q+λ )
S− λK(r+λ )
Sehingga harga OSK yang memenuhi persamaan differensial (C.1.6) adalah:
C ( S ; K )={a1 K ( SK )
κ1
+a2 K ( SK )
κ2
+ λ(q+ λ )
S− λK(r+ λ )
K ≤ S<hK
b1 K ( SK )
κ1
+b2 K ( SK )
κ2
lK ≤ S<K
Harga OSK setelah vesting period (vested option) adalah sebagai berikut:
C ( S ; K )={S−K+ρH DK S≥ hK (C .3 .2 )
a1 K ( SK )
κ1
+a2 K ( SK )
κ2
+ λ(q+ λ )
S− λK(r+ λ )
K ≤ S<hK (C .3 .3 )
b1 K ( SK )
κ1
+b2 K ( SK )
κ2
ρL DlK
lK ≤ S<K0≤ S<lK
(C .3.4 )(C .3 .5 )
Dengan smoth pasting condition
∂ C (hK ; K )∂ S
=1(C .3 .6)
C.4 Solusi Analitik Untuk Harga OSK Saat Vesting Period
Dari bentuk persamaan diferensial yang diperoleh
∂ V∂ t
+(r−q ) S ∂V∂ S
+ 12
σ 2 S2 ∂2V∂ S2 −( λ+r )V =0
akan dicari solusi dari persamaan diferensial tersebut menggunakan metode
image. Metode ini digunakan karena adanya reset barrier dari fitur reset.
Sehingga untuk mencari solusinya diperlukan bentuk PDP lainnya yang sama
dengan PDP di atas.
Misal didefinisikan g (S ) pada S>0 sebagai berikut
g (S )={ S+( ρH D−1 ) K−[b1 K ( SK )
κ1
+b2 K ( SK )
κ2] S ≥ hK (C .4 .1)
(a1−b1 ) K ( SK )
κ 1
+( a2−b2 ) K ( SK )
κ2
+ λλ+q
S− λλ+r
K K ≤ S ≤ hK (C .4 .2)
0 0<S<K (C .4 .3)
dan misal W ( S , t ; K ) adalah solusi dari PDP berikut
∂ W∂t
+ (r−q ) S ∂ W∂ S
+ 12
σ2 S2 ∂2W∂ S2 −( λ+r )W =0(C .4 .4)
di S>0 dan 0 ≤ t<T dengan kondisi akhir W ( S ,T ; K )=g ( S )
untuk mencari solusi dari persamaan (C.4.4) maka dilakukan transformasi agar
diperoleh persamaan difusi.
Persamaan difusi yang diperoleh adalah
∂ Z∂ τ
=∂2 Z∂ x2 (C .4 .5)
persamaan difusi ini terdefinisi pada interval 0<S<∞ . Selanjutnya, karena adanya
fitur reset, maka harus diperhatikan keberadan reset barrier pada interval tersebut.
Persamaan difusi yang terdefinisi dengan adanya reset barrier diselesaikan
dengan menggunakan metode image. Persamaan difusi (C.4.5) yang terdefinisi
pada interval 0<S<∞ dapat dipandang sebagai persamaan difusi yang terdefinisi
pada interval 0<S< x0 dan x0<S<∞ dengan x0=lK adalah reset barrier.
Misal ada U (S , t ; K ) yang memenuhi persamaan (C.4.4) yang terdefinisi
pada interval x0<S<∞ (memperhatikan keberadaan reset barrier). Kondisi akhir
dari U (S , t ; K ) dapat dinyatakan sebagai berikut
U (S ,T ; K )={ S+( ρH D−1 ) K−[b1 K ( SK )
κ1
+b2 K ( SK )
κ2] S≥ hK (C .4 .6)
(a1−b1 ) K ( SK )
κ 1
+( a2−b2 ) K ( SK )
κ2
+ λλ+q
S− λλ+r
K K ≤ S≤ hK (C .4 .7)
0 lK<S< K (C .4 .8)
Dengan menggunakan metode image, diperoleh solusi U (S , t ; K ) adalah
U (S , t ; K )=K eαx+βτ Z1 ( x , τ )+K eαx+βτ Z2 ( x , τ )(C .4 .9)
menggunakan sifat invariance pada persamaan difusi dengan sifat translasi dan
perubahan tanda maka diperoleh
Z2 ( x , τ )=−Z1 (2 x0−x , τ )(C .4 .10)
Sebelumnya telah dapat diperoleh x0 dengan harga saham yang bersesuaian
dengan barrier. Misal X harga saham yang bersesuaian dengan barrier maka
x0=lnXK
(C .4 .11)
dengan tranformasi balik dapat diperoleh
Z2 ( x , τ )=−e−α (ln X 2
SK )−βτW ( X2
S, t ; K )
K(C .4 .12)
substitusi pada persamaan (C.4.9) sehingga diperoleh
U (S , t ; K )=W ( S , t ; K )−( SX )
−(k−1 )
W ( X 2
S,t ; K)(C .4 .13)
Selanjutnya untuk mencari V (S ,t ; K ) yang merupakan solusi dari persamaan
diferensial di atas dengan kondisi akhirnya adalah C ( S ; K ) yang terdefinisi pada
persamaan (C.3.2), (C.3.3), (C.3.4), dan (C.3.5) maka V (S ,t ; K )dapat dinyatakan
sebagai berikut
V (S ,t ; K )=U ( S , t ; K )+[b1 K ( SK )
κ1
+b2 K ( SK )
κ2]Dari persamaan (C.4.13) diperoleh harga OSK saat vesting period adalah
V (S ,t ; K )=W ( S , t ; K )−( SX )
−(k−1)
W ( X2
S,t ;K )+[b1 K ( S
K )κ1
+b2 K ( SK )
κ 2] (C .4 .14 )
selanjutnya akan dicari W ( S , t ; K ) yang merupakan solusi dari persamaan difusi
(C.4.4). Persamaan difusi yang diperoleh diselesaikan dengan menggunakan
transformasi fourier, sehingga diperoleh solusinya adalah
Z ( x , τ )= 12√πτ
∫−∞
∞
Z (η ,0 ) e−( x−η )2
4 τ dη
substitusi
x '=η−x
√2 τ
diperoleh
Z ( x , τ )= 1√2π
∫− x√2 τ
∞
Z (√2 τ x '+ x , 0 ) e−12
x ' 2
d x '(C .4 .15)
Selanjutnya mencari syarat awal Z (√2 τ x '+x , 0 ) dari tranformasi balik pada
kondisi akhir W ( S , t ; K ).
W ( S ,T ; K )=max (S−K , 0 )
Jika memperhatikan exercise boundary maka W ( S ,T ; K ) dapat dinyatakan
sebagai
W ( S ,T ; K )=max (S−hK ,0 )+max (S−K , 0 )(C .4 .16)
Untuk S ≥ hk maka strike price adalah hK
W ( S ,T ; K )=S+ ( ρH D−1 ) (hK )−a1 (hK )( ShK )
κ1
−a2 (hK )( ShK )
κ2
− λλ+q
S+ λλ+r
(hK )
dari sebelumnya dapat diperoleh
Y ( x , τ )= ShK
+( ρH D−1 )−a1( ShK )
κ1
−a2( ShK )
κ2
− λλ+q ( S
hK )+ λλ+r
sehingga untuk x yang bersesuaian dengan strike price hK adalah xh diperoleh
Y ( x , 0 )=exh+( ρH D−1 )−a1 ( exh )κ1−a2 ( exh )κ2− λλ+q
( exh )+ λλ+r
Untuk K ≤ S<hk maka strike price adalah K
W ( S ,T ; K )=( a1−b1 ) K ( SK )
κ1
+(a2−b2 ) K ( SK )
κ 2
+ λλ+q
S− λλ+r
K
selanjutnya dapat diperoleh
W (S ,T ;K )K
= (a1−b1 )( SK )
κ1
+( a2−b2 )( SK )
κ2
+ λλ+q
SK
− λλ+r
dan untuk x yang bersesuaian dengan strike price K adalah x diperoleh
Y ( x , 0 )=(a1−b1 ) (ex )κ1−(a2−b2 ) (ex )κ 2+ λλ+q
ex− λλ+r
Selanjutnya diperoleh
Z ( x , 0 )=e12
(k−1) xY ( x , 0 )
Z ( x , 0 )=e12
(k+1) xh+( ρH D−1 ) e
12
( k−1 ) xh
−a1e12 (k−1+2κ 1) x
h−a2 e12 ( k−1+2 κ2) x
h
− λλ+q
e12
(k+1) xh+ λ
λ+re
12
(k−1 ) xh
+ (a1−b1 ) e12
( k−1+2κ1 ) x
+( a2−b2 ) e12 (k−1+2 κ2) x
+ λλ+q
e12
(k +1) x− λ
λ+re
12
(k−1) x
kondisi awal yang diperlukan
Z (√2 τ x '+x , 0 )=e12
(k +1) (√2 τ xh'+xh )
+ ( ρH D−1 ) e12
(k−1 )(√2 τ xh'+ xh)
−a1e12 (k−1+2 κ1 ) (√2 τ xh
'+xh )−a2e
12 ( k−1+2 κ2 ) (√2 τ xh
'+xh)− λ
λ+qe
12
( k+1 )(√2 τ xh'+ xh)
+λλ+r
e12
( k−1) (√2 τ xh'+ xh)
+( a1−b1 ) e12 ( k−1+2 κ1) (√2 τ x '+ x )
+( a2−b2 ) e12 (k−1+2 κ2) (√2 τ x '+x )
+ λλ+q
e12
( k+1 )(√2 τ x '+ x )
−λλ+r
e12
( k−1) (√2 τ x'+ x )
Dari persamaan (C.4.15) akan diintegralkan masing-masing suku yang ada di
kondisi awal. Dari pengintegralan tersebut, diperoleh hasil sebagai berikut:
Z ( x , τ )=e12
(k +1) xh+14
(k +1)2 τN (d1
h )+( ρH D−1 ) e12
(k−1) xh+14
( k−1 )2 τN (d2
h )−¿
a1e12 (k−1+2 κ1 ) xh+
14 (k−1+2 κ1)2 τ
N (d3h )−a2e
12 ( k−1+2κ2 ) xh+
14 (k−1+2 κ2)2 τ
N (d 4h )
− λλ+q
e12
(k+1) xh+14
(k+1)2 τN (d1
h )+ λλ+r
e12
( k−1) xh+14
(k−1 )2 τN (d2
h )
+( a1−b1) e12 (k−1+2κ 1) x +1
4 ( k−1+2κ1)2 τN (d3 )+¿
(a2−b2 ) e12 (k−1+2κ 2) x +1
4 ( k−1+2 κ2)2 τN (d4 )
+ λλ+q
e12
(k+1) x+ 14
(k+1)2 τN ( d1 )− λ
λ+re
12
( k−1) xh+14
(k−1 )2 τN (d2 )
Dari persamaan sebelumnya, nilai α dan β dapat diperoleh
Y ( x , τ )=e−12
(k−1) x−(14
( k−1)2+2( λ+r )
σ 2 )τZ ( x , τ )
dengan Z ( x , τ ) yang telah diperoleh maka akan menghasilkan
Y ( x , τ )=e−( λ+r ) (T−t ) [ SK
e (r−q ) (T −t ) N (d1h )+ ( ρH D−1 ) N (d2
h)+ λλ+q { S
K
e (r−q ) (T −t ) N (d1 )− SK
e( r−q )( T−t ) N (d1h )}− λ
λ+r{N (d2 )−N (d2
h )}
+{(a1−b1 )( SK )
κ1
eκ1 (r−q+1
2σ 2 (κ 1−1 )) (T −t )
N (d3 )
−a1eκ1 (r−q+1
2σ 2 (κ1−1 )) (T −t )
N (d3h )}+{(a2−b2 )( S
K )κ2
eκ2(r−q+1
2σ 2 (κ2−1 )) (T −t )
N (d4 )−a2 eκ2(r−q+1
2σ 2 (κ2−1 )) (T −t )
N (d4h )]
Dari persamaan sebelumnya dapat diperoleh
W ( S , t ; K )=e−(λ+r ) (T −t )¿
e (r−q) (T −t ) {N ( d1 )−N (d1h) }− λ
λ+rK {N ( d2 )−N (d2
h) }+K ( SK )
κ1
eθ1 (T −t ) {( a1−b1 ) N ( d3 )−a1 N (d3
h ) }+K ( SK )
κ2
eθ2 (T −t ) {( a2−b2 ) N ( d4 )
−a2 N (d 4h )]
dengan
θ1=κ1(r−q+12
σ2 (κ1−1 ))θ2=κ2(r−q+1
2σ2 (κ2−1 ))
D. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut ini diberikan hasil dari simulasi komputer menggunakan program GUI
Matlab 2008 untuk perhitungan secara analitik. Simulasi yang diberikan
menggunakan parameter-parameter yang diketahui sebagai berikut:
Analisis Sensitivitas untuk masing-masing parameter, diperoleh hasil berikut:
1. Berdasarkan parameter vesting period
S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 1 0.6 35.7926
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 34.3996
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 3 0.6 31.2135
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 4 0.6 29.8134
Dari tabel di atas tampak bahwa, adanya fitur vesting period mengakibatkan
perubahan harga OSK. Semakin lama masa vesting period mengakibatkan harga
OSK semakin rendah.
2. Berdasarkan parameter exit rate
S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK
100 100 0.04 0.4 0.02 0.05 1 1 2 0.6 57.4252
100 100 0.04 0.4 0.02 0.1 1 1 2 0.6 54.2294
100 100 0.04 0.4 0.02 0.15 1 1 2 0.6 52.3396
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 51.191
Dari tabel di atas tampak bahwa, semakin banyak proporsi karyawan yang
mengundurkan diri, mengakibatkan harga OSK semakin menurun. Hal ini
disebabkan karena semakin banyak OSK yang kehilangan nilainya karena
banyak yang tidak dimanfaatkan oleh karyawan.
3. Berdasarkan parameter reload
S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 0.5 1 2 0.6 29.4259
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 30.1649
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1.5 1 2 0.6 31.5151
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 2 1 2 0.6 33.9466
Dari tabel di atas, tampak bahwa semakin besar kesempatan mendapatkan
kembali opsi yang telah digunakan mengakibatkan harga OSK semakin
meningkat. Hal ini dikarenakan karyawan akan terus mendapatkan opsi ketika
opsi yang telah diperoleh sebelumnya telah dimanfaatkan.
4. Berdasarkan parameter reset
S K r σ q λ ρH ρL T vest l Harga OSK
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 0.5 2 0.6 29.6197
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1 2 0.6 32.3342
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 1.5 2 0.6 35.095
100 100 0.04 0.4 0.02 0.2 1 2 2 0.6 37.8881
Dari tabel terlihat kecenderungan yang sama seperti pada fitur reload, yaitu
terjadi kenaikan harga OSK. Hal ini dikarenakan adanya kesempatan bagi
karyawan untuk mendapatkan harga kesepakatan yang baru apabila terjadi
penurunan harga saham lebih rendah dari harga kesepakatan.
E. KESIMPULAN
Dari hasil yang diperoleh tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Kenaikan harga OSK dipengaruhi oleh adanya fitur reload dan reset. Semakin
besar fitur reload dan reset yang diberikan mengakibatkan harga OSK
semakin meningkat.
2. Penurunan harga OSK dipengaruhi oleh adanya fitur vesting period dan exit
rate. Semakin banyak proporsi karyawan yang meninggalkan perusahaan
semakin rendah harga OSK demikian pula semakin lama masa vesting period
mengakibatkan harga OSK semakin menurun.
DAFTAR PUSTAKA
Carr, Peter. (1998), Randomization And The American Put, Review of Financial Studies 11, 597-626
Carr, Peter and Linnetsky, Vadim. (2000), The Valuation of Executive Stock Option in an Intensity-Based Framework, European Finance Review 4: 211-230
Cvitanic, Jaksa, Zvi Wiener, and Fe rnando Zapatero. (2004), Analytic Pricing of Employee Stock Option, University of Southern California
Faoso, Telaumbanua. (2000): Opsi Saham Karyawan, Bisnis Indonesia Halaman Depan Edisi 29 May 2000, http://groups.yahoo.com/group/saham/message/14997
Hadlock, C.R. (1999), Mathematical Modelling in Environment, The Mathematical Association of America.
Kimura, Toshikazu. (2004), Alternative Randomization for Valuing American Option, Daiwa International Workshop on Financial Engineering
Karatzas, Ioannis, and Hui Wang. (2000), A Barrier Option of American type, Applied Mathematics & Optimization 42, 259-279
McDonald, Robert. (2003), Derivatives Market, Addison Wesley
Murni, Dewi. (1995): Proses Poisson, Tulisan Program Master, Institut Teknologi Bandung
Ross, M. Sheldon. (1996), Stochastic Process, John Wiley & Sons, Inc. New York
Shreve, E. Steven. (1996), Stochastic Calculus And Finance, Springer Finance Textbook
Shreve, E. Steven. (2004), Stochastic Calculus For Finance II Continuous-Time Models, Springer Finance Textbook
Sircar, Ronnie and Xiong, Wei. (2006), A general Framework for Evaluating Executive Stock Options, Journal of Economic Dynamics & Control 31, 2317-2349
Strauss, W.A. (1992), Partial Differential Equation: An Introduction, John Wiley & Sons, Inc. New York
Wilmott, Paul, Sam Howison, and Jeff Dewynne. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press
LAMPIRAN
S=HargaSaham , λ=exit rate ,
K=Harga pelaksanaan , ρH=reload option ,
r=Suku Bunga , ρL=reset option,
σ=volatility , T vest=vesting period
q=deviden , l=barrier