MAKALAH

MATEMATIKA TERAPAN

Disusun oleh : Kelompok 6

Kelas : 3 EGB

Salma Isnaini 06144041 0809

Septiani Wulandari 06144041 0810

Dosen Pembimbing: Ir. A. Husaini, M.T.

Politeknik Negeri Sriwijaya Palembang

Tahun Ajaran 2015/2016

PEMODELAN MATEMATIKA

Pengertian Model dan Pemodelan Matematika

Model matematika dari suatu masalah adalah rumusan masalah dalam bentuk persamaan atau fungsi matematika

Pemodelan matematika dari suatu masalah adalah langkah-langkah yang ditempuh untuk memperoleh dan memanfaatkan persamaan atau fungsi metematika dari suatu masalah

Model matematika dari suatu masalah adalah ibarat peta suatu wilayah

Syarat utama Model yang baik

Representatif: model mewakili dengan benar sesuatu yang diwakili, makin mewakili, model makin kompleks.

Dapat difahami/ dimanfaatkan: model yang dibuat harus dapat dimanfaatkan (dapat diselesaikan secara matematis), makin sederhana makin mudah diselesaikan.

Jenis model matematika

Model Deterministik: apabila fungsi yang diperoleh merupakan fungsi yang merupakan hubungan sempurna dari berapa peubah. Tidak mengandung komponen acak (kesalahan)y=f(x1,x2,…xn)

Model Stokastik: apabila fungsi yang diperoleh merupakan fungsi yang bukan merupakan hubungan sempurna dari peubah. Ditandai dengan adanya komponen acak atau komponen kesalahan (e). y=f(x1,x2,…xn)+e

Langkah Langkah pemodelan

Penentuan model

menentukan/ mengidentifikasi peubah

menentukan parameter yang menjadi kepentingan

menentukan jenis dan distribusi hubungan antara parameter dan peubah serta

Mengestimasi parameter

menghitung nilai parameter-parameter secara analitik maupun numerik.Implementasi dalam Komputer

Menarik kesimpulan/ melakukan uji inferensi.

signifikan atau tidak, besaran kesalahan, interval dari hasil yang diperoleh?

Melakukan uji kecocokan (goodness of fit) atau mengadakan diagnostik model

Beberapa manfaat pemodelan matematika dalam mementukan judul:

1. Untuk menghitung konstanta difusi, hal ini karena kecepatan difusi akan semakin

rendah apabila perbedaan konsentrasi semakin dekat (menuju ke kesetimbangan).

2. Untuk Menentukan / menghitung waktu pengosongan (efflux time) isi dari suatu

tangki. Ini juga dperlukan mengingat debit air yg keluar semakin lama semakin rendah,

karena ketinggian air berkurang.

3. Untuk menghitung laju perpindahan panas dari suatu Heat Exchanger, hal ini juga

diperlukan karena karena laju perpindahan panas sendiri semakin lama semakin lambat,

karena delta Temperatur (sbg driving vorce) yg semakin lama semakin dekat /

Setimbang.

4.Prediksi cuaca numerik berdasarkan pemodelan matematika. Persamaan diferensial

yang dipakai berlandaskan hukum mekanika fluida : hukum kekekalan massa, hukum

kekekalan momentum (Navier Stokes), hukum kekekalan energi, dan persamaan

keadaan gas serta uap air. Di samping itu harus dimasukkan proses lain yang

mempengaruhi cuaca.

Demikian juga perancangan pesawat terbang harus berdasarkan pemodelan matematika

yang berlandaskan mekanika fluida.

Perancangan gedung tinggi, jembatan, dsb. , untuk melihat respons dinamik terhadap

angin dan gempa perlu berdasarkan pemodelan matematika yang persamaan

diferensialnya datang dari hukum Newton.

Pada umumnya teknologi modern dilandasi oleh pemodelan matematika yang

persamaan diferensialnya timbul dari hukum fisika atu lebih luas lagi hukum alam.

FENOMENA PERPINDAHAN MOMENTUM

Dalam fisika, kimia, dan teknik, fenomena perpindahan adalah salah satu dari

berbagai mekanisme di mana partikel atau kuantitas fisik berpindah dari satu tempat ke

tempat lain. Tiga contoh umum fenomena perpindahan adalah difusi, konveksi, dan

radiasi. Tiga jenis utama fenomena perpindahan adalah perpindahan panas, perpindahan

massa, dan perpindahan momentum (dinamika fluida).

Satu prinsip penting dalam fenomena perpindahan adalah adanya analogi antar tiap

fenomena. Sebagai contoh, massa, energi, dan momentum semua dapat mengalami

perpindahan secara difusi:

Penyebaran atau disipasi bau di udara merupakan contoh difusi massa

Konduksi panas pada bahan padat adalah contoh difusi panas

Seretan (drag) yang dialami butiran hujan sewaktu jatuh dalam atmosfer adalah

contoh dari difusi momentum (butiran hujan kehilangan momentumnya ke udara

sekitar melalui tegangan kental, viscous stress, dan berkurang kecepatannya)

Perpindahan massa, energi, dan momentum juga dipengaruhi faktor-faktor luar:

Disipasi atau pelesapan bau menjadi lebih lambat jika sumber bau tetap ada

Laju pendinginan suatu zat padat yang menghantarkan panas tergantung pada

apakah sumber panas ada

Gaya gravitasi yang bekerja terhadap butiran hujan melawan seretan yang

disebabkan udara sekitar

Semua pengaruh ini dijelaskan oleh persamaan perpindahan skalar generik. Persamaan

yang sama yang mengatur konveksi pada perpindahan panas dapat diterapkan pada

konveksi pada perpindahan massa. Sewaktu mempelajari problem fenomena

perpindahan yang kompleks, seseorang harus menggunakan mekanika malaran

(continuum mechanics) dan kalkulus tensor dan seringkali permasalahan tersebut dapat

dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial.

Difusi

Ada beberapa kesamaan pada persamaan perpindahan panas, momentum, dan massa[1]

semuanya dapat dipindahkan dengan difusi:

Massa: tersebarnya bau di udara merupakan contoh difusi massa.

Panas: konduksi panas pada material padat merupakan contoh difusi panas.

Momentum: drag yang dialami oleh tetesan air hujan di atmosfer merupakan

contoh difusi momentum.

Persamaan perpindahan molekuler untuk momentum Hukum Newton, panas Hukum

Fourier, dan massa Hukum Fick sangat mirip.

Perbandingan fenomena difusi

Besaran

yang

berpinda

h

Fenomen

a fisika

Persamaan

Momentu

m

Viskosita

s

(Fluida

Newtonia

n)

Energi Konduksi

panas

(Hukum

Fourier)

Massa Difusi

molekule

r

(Hukum

Fick)

Perpindahan Momentum

Pada perpindahan momentum transfer, fluida dibayangkan sebagai objek yang

terdistribusi kontinyu. Studi mengenai perpindahan momentum atau mekanika fluida

dapat dibedakan menjadi 2 cabang: statika fluida (fluida diam) dan dinamika fluida

(fluida bergerak). Ketika fluida bergerak pada arah x paralel dengan permukaan solid,

fluida tersebut memiliki momentum pada arah-x dengan konsentrasi υxρ. Dengan difusi

acak molekul maka ada perpindahan molekul pada arah-z. Maka momentum pada arah-

x berpindah ke arah-z dari lapisan yang bergerak lebih cepat ke lapisan yang bergerak

lebih lambat. Persamaan perpindahan momentum menurut Hukum Newton tentang

Viskositas dapat ditulis sebagai berikut:

dengan τzx adalah fluks momentum arah-x pada arah-z, ν is μ/ρ, difusivitas momentum z

adalah jarak transport atau difusi, ρ adalah densitas, dan μ adalah viskositas.