pemodelan matematika dan penyelesaiannya …

1

PEMODELAN MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN STOCHASTIC

GOAL PROGRAMMING: STUDI KASUS PADA PEMAKAIAN BAHAN BAKAR DI PLTGU PT

PJB UP GRESIK .

Rina Puspitaningrum

Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya

Kampus ITS Sukolilo Surabaya 60111

Email: [email protected]

Abstrak

Ketidakpastian pasokan bahan bakar gas telah menjadi hal yang menganggu pada proses

produksi listrik di PLTGU PT PJB UP Gresik. Oleh karena itulah, digunakan bahan bakar minyak HSD

untuk mengisi kekurangan pasokan tersebut. Pemodelan untuk mencari komposisi yang tepat antara

kedua jenis bahan bakar tersebut dilakukan guna mendapatkan biaya produksi yang minimum dan

pemenuhan permintaan beban konsumen serta keuntungan yang maksimum.

Pada Tugas Akhir ini digunakan stochastic goal programming (SGP) untuk melakukan

pemodelan dengan ketidakpastian atau variabel random seperti kasus yang dihadapi PLTGU. SGP

mampu mereduksi masalah stokastik menjadi pemrograman kuadratik dengan kendala-kendala yang

linear. Pada pemodelan ini, pembobotannya menggunakan Absolute Risk Aversion.

Dari perhitungan yang dilakukan, didapatkan pemakaian bahan bakar minyak HSD sebesar

11,488,000,000 Kcal dan pemakaian gas sebesar 32,248,000,000 Kcal. Dengan komposisi tersebut,

semua fungsi tujuan yang ingin dicapai dapat terpenuhi secara optimum.

Kata kunci: ketidakpastian, stochastic goal programming, variabel random, pemrograman kuadratik,

Absolute Risk Aversion

I. PENDAHULUAN

Kelangkaan dan ketakteraturan dalam pa-

sokan bahan bakar baik minyak maupun gas telah

menjadi berita yang kerap muncul dan cukup

mengganggu belakangan ini. Tak hanya mengim-

bas pada perorangan, perusahaan-perusahaan ne-

gara pun tak luput dari kondisi tersebut, tak terke-

cuali PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembang-

kitan Gresik (PT PJB UP Gersik).

PT PJB UP Gresik merupakan salah satu

anak perusahaan dari (PLN) yang bergerak dalam

sektor pembangkitan dan menjadi salah satu pro-

dusen penghasil listrik yang melayani kebutuhan

listrik Pulau Jawa dan Bali. PT PJB memiliki tiga

unit pembangkitan, yaitu Pembangkit Listrik Te-

naga Uap (PLTU), Pembangkit Listrik Tenaga

Gas (PLTG), dan Pembangkit Listrik Tenaga Gas

dan Uap (PLTGU). Pada Tugas Akhir ini, diguna-

kan data sekunder yang didapat dari bagian bahan

bakar di unit PLTGU, sehingga masalah yang di-

bahas hanya mengacu pada persoalan bahan bakar

di unit tersebut.

Dengan posisinya sebagai produsen lis-

trik, bahan bakar merupakan hal vital yang sangat

menentukan pelaksanaan proses produksi pada

PLTGU. Ada dua jenis bahan bakar yang diguna-

kan PLTGU PJB, yaitu gas sebagai bahan bakar

utama dan minyak HSD (High Speed Diesel) seba-

gai bahan bakar cadangan. Ketidakpastian pasokan

gas menjadikan ketersediaan bahan bakar minyak

sebagai bahan bakar cadangan menjadi sangat

penting.

Pada kasus nonrandom, untuk mengopti-

mumkan beberapa tujuan tertentu, langsung bisa

digunakan deterministic goal programming

(DGP). DGP adalah salah satu metode pemodelan

matematika yang mampu menyelesaikan kasus

pengoptimuman multi-tujuan dengan data-data

yang tidak mengandung variabel random, sehing-

ga kurang cocok diterapkan pada kasus ketidak-

pastian seperti pada masalah bahan bakar di atas

Teknik pemodelan awal yang digunakan

untuk menyelesaikan masalah ketidakpastian ada-

lah chance contrained programming (CCP). Na-

mun, Bravo dan Gonzales (2009) menyatakan

mailto:[email protected]

2

bahwa CCP kurang praktis jika diterapkan untuk

kasus-kasus yang lebih umum dan rumit.

Teknik penyelesaian lain untuk kasus

multi-tujuan yang kerap digunakan dewasa ini

adalah fuzzy goal programming (FGP) dan sto-

chastic goal programming (SGP).

Permasalahan bahan bakar di PLTGU

sebelumnya pernah dianalisa menggunakan FGP

oleh Sari (2011), tetapi metode tersebut masih me-

miliki beberapa kekurangan, diantaranya adalah

sulitnya mengestimasi membership function dan

terlalu banyaknya cara untuk menginterpretasi

aturan-aturan fuzzy (Russell & Norvig, 2006).

Karena itulah, pada Tugas Akhir ini digu-

nakan metode stochastic goal programming (SGP)

untuk menangani masalah yang dialami PLTGU.

SGP adalah salah satu cabang matematika yang

mampu melakukan pendekatan untuk pemodelan

multi-tujuan dengan data-data yang mengandung

ketidakpastian, yang pembobotannya berbasis pa-

da Absolute Risk Aversion (Ballestero 2001). SGP

memiliki aspek operasional yang hampir sama

dengan model mean-varians Markowitz (Bravo &

Gonzalez, 2009). SGP juga sangat cocok untuk

memodelkan tujuan-tujuan yang saling bertentang-

an (Munoz & Ruiz, 2009; Ben Abdelaziz et al.,

2007), misalnya saja masalah biaya produksi dan

keuntungan yang dihubung-kan dengan perminta-

an beban konsumen seperti dalam Tugas Akhir ini.

Ballestero (2001) menyatakan bahwa metode SGP

dengan pembobotan adalah cukup umum dan mu-

dah diaplikasikan pada kasus-kasus dalam kehi-

dupan nyata. Proses perhitungannya tidak memer-

lukan kalkulasi yang rumit karena masalah yang

ada telah direduksi ke dalam bentuk kuadratik de-

ngan kendala-kendala linear.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Stochastic Goal Programming

SGP merupakan salah satu pendekatan un-

tuk goal programming yang mengandung ketidak-

pastian, yang pembobotannya dilakukan sesuai de-

ngan keinginan dari para pembuat keputusan dan

juga berdasar pada Absolute Risk Aversion (ARA).

Seperti model mean-varians (E-V), SGP

berbasis pada hipotesis maksimisasi . Bal-

lestero (2001) memformulasikan tujuan dari SGP

sebagai berikut:

(2.1)

dengan adalah fungsi tujuan ke- , adalah va-

riabel keputusan ke- , dan adalah variabel ran-

dom dari fungsi tujuan ke- dan variabel keputus-

an ke- . Karena berdasar pada hipotesis maksimi-

sasi , prinsip dari pemodelan ini adalah

―the more the better,‖ atau ―semakin besar sema-

kin baik.‖ Pada kenyataanya, ada beberapa tujuan

yang mempunyai prinsip ―the more the worse‖

atau ―semakin besar semakin buruk,‖ misalnya sa-

ja biaya produksi. Tujuan tersebut bisa dikonversi

ke dalam bentuk ―the more the better‖ dengan

mengubahnya menjadi:

(2.2)

dengan adalah target maksimum yang didapat

dari data referensi.

Untuk lebih jelasnya, dapat ditinjau kem-

bali konsep-konsep dari berikut ini.

2.1.1 Fungsi Kegunaan

Dalam teori kegunaan, dikenal fungsi ke-

gunaan (utility function) , dengan adalah

fungsi tujuan.

Jika dihubungkan dengan fungsi keguna-

an, tujuan bisa didefinisikan sebagai mak-

simisasi/minimisasi dari:

(2.3)

2.1.2 Absolute Risk Aversion

Risk Aversion adalah sebuah konsep da-

lam psikologi, ekonomi, dan finansial yang dida-

sarkan pada perilaku manusia yang mengandung

ketidakpastian.

Perumusan koefisien ARA adalah seba-

gai berikut:

(2.4)

Dalam ilmu ekonomi, exponential utility

adalah bentuk yang spesifik dari fungsi kegunaan,

sering digunakan dalam banyak bidang karena ke-

lebihannya dalam menyelesaikan kasus-kasus

yang mengandung resiko. Secara formal, peru-

musan exponential utility diberikan oleh:

(2.5)

dengan adalah konstanta positif yang merepre-

sentasikan derajat ARA (Levy, 2006). Dalam Tu-

gas Akhir ini, nilai yang digunakan adalah 1.

3

2.1.3 Model Mean-Varians

Model mean-varians (E-V) adalah dasar

dari SGP. Perbedaan paling mendasar di antara ke-

duanya adalah bahwa E-V hanya menyelesaikan

persoalan dengan satu tujuan, sementara SGP

mampu menyelesaikan kasus-kasus multi-tujuan.

Formulasi SGP dapat ditulis sebagai berikut:

(2.6)

dengan kendala:

(untuk tujuan dengan prinsip

―the more the better‖), (2.7)

atau

(untuk tujuan dengan

prinsip ―the more the worse‖), (2.8)

bersama dengan kendala-kendala lain yang mung-

kin dan kondisi taknegatif dari tiap variabel, de-

ngan adalah target atau level aspirasi dari .

adalah vektor baris dari variabel keputus-

an, dengan dan adalah ma-

triks transpos dari . Matriks variabilitas dida-

pat dari penjumlahan matriks kovarians , yaitu

matriks kovarians dari fungsi tujuan ke- .

(2.9)

dengan dan adalah bobot gabungan

yang komponen-komponennya adalah sebagai be-

rikut: dan sebagai bobot preferensi

dari pembuat keputusan untuk masing-masing tu-

juan dan dan adalah koefisien

ARA untuk masing-masing tujuan.

2.2 Matriks Kovarians

Dalam teori probabilitas, matriks kova-

rians adalah matriks yang elemen pada posisi

dan -nya merupakan kovarians antara elemen ke-

dan ke- dari vektor random (disebut juga vek-

tor dari variabel random) (Higham, 2002).

Jika vektor kolom

adalah variabel random, masing-masing dengan

varians terbatas, maka matriks kovarians pada

baris ke- dan kolom ke- adalah kovarians

(2.10)

sehingga didapatkan:

(2.11)

2.3 Matriks Hessian

Dalam matematika, matriks Hessian ada-

lah matriks kuadrat dari turunan kedua parsial dari

suatu fungsi (Binmore & Davies, 2007).

Diberikan fungsi kuadrat bernilai real

. Jika dituliskan ke dalam notasi

matriks, didapatkan bentuk sebagai berikut

(2.12)

dengan adalah matriks Hessian, adalah vektor

kolom yang mewakili persama linear dari , dan

adalah matriks transpos dari .

Dan jika semua turunan kedua parsial dari

ada, maka matriks Hessian dari adalah

)

dengan adalah operator turunan yang berkaitan

dengan argumen ke- . Sehingga matriks Hessian

dapat ditulis menjadi:

(2.13)

Pada Tugas Akhir ini, matriks Hessian

berguna dalam penyelesaian masalah pemrogram-

an kuadratik menggunakan salah satu fitur dari

Matlab, yaitu quadprog.

2.4 PLTGU PT PJB UP Gresik

Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap

(PLTGU) adalah salah satu unit pembangkitan

yang ada di PT Pembangkitan Jawa Bali Unit

Pembangkitan Gresik, atau yang lebih dikenal de-

ngan nama PT PJB UP Gresik. PLTGU itu sendiri

memiliki tiga unit produksi, yaitu blok 1, blok 2,

dan blok 3 (Permana, Ramadhani, & Prasetyo,

2008).

4

III. METODOLOGI PENELITIAN

1. Tahap Persiapan

- Identifikasi Permasalahan

- Studi Literatur

2. Tahap Pengumpulan Data

3. Tahap Pengolahan Data dan Pembuatan Mo-

del

- Mendefinisikan Fungsi Tujuan

- Menganalisa Konstanta

- Merumuskan Fungsi Kendala

4. Tahap Formulasi Model dengan SGP

- Menentukan Bobot

- Menghitung Matriks Kovarians

- Memformulasikan Model Mean-Varians

5. Tahap Penyelesaian Masalah dengan Matlab

6. Tahap Penarikan Kesimpulan

7. Tahap Penyusunan Laporan

IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN

4.1 Menentukan Permasalahan

Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap

PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembangkitan

Gresik (PLTGU PT PJB UP Gresik) adalah salah

satu unit pembangkitan dari Perusahaan Listrik

Negara (PLN) yang terletak di provinsi Jawa Ti-

mur.

Ada dua jenis bahan bakar yang diguna-

kan PLTGU PJB, yaitu gas sebagai bahan bakar

utama dan minyak HSD (High Speed Diesel) seba-

gai bahan bakar cadangan.

Ketidakpastian pasokan gas menjadikan

ketersediaan bahan bakar minyak sebagai bahan

bakar cadangan menjadi sangat penting. Tapi tentu

saja, harga minyak yang jauh lebih mahal diban-

dingkan dengan harga bahan bakar gas adalah ma-

salah yang tidak bisa begitu saja diabaikan karena

besarnya biaya produksi adalah salah satu hal po-

kok yang mempengaruhi keuntungan perusahaan.

Selain itu, meningkatnya biaya poduksi akibat

komposisi bahan bakar yang kurang tepat tersebut

juga akan berimbas pada pemenuhan permintaan

beban konsumen.

Di sisi lain, PT PJB juga harus tetap mem-

perhitungkan jumlah minyak HSD ideal yang akan

digunakan tiap harinya. Penggunaan yang terlam-

pau sedikit juga kurang menguntungkan, mengi-

ngat bahwa pengendapan minyak HSD yang terla-

lu lama pada tangki penyimpanan juga akan ber-

dampak buruk pada kualitas minyak.

Keterangan tambahan tentang pemakaian

minyak dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Keterangan kapasitas tangki PLTGU

UNIT

KAPASITAS

TANGKI

(liter)

DEAD

STOCK

(liter)

KAPASITAS

EFEKTIF

(liter)

1 2 3 4=2-3

PLTGU / HSD

Receiving

Tank 1 20,000,000 1,037,494 18,962,506

2 20,000,000 1,025,818 18,974,182

Storage

Tank 1 20,000,000 2,725,274 17,274,726

2 20,000,000 2,708,964 17,291,036

TOTAL 80,000,000 7,497,550 72,502,450

Konsumsi per hari pada 100% load: 3,200,000 liter

Sumber: Bagian Bahan Bakar Unit PLTGU PT PJB UP Gresik

4.2 Pengolahan Data dan Pembuatan Model

Pada bab ini dilakukan pengolahan data

sekunder dari perusahaan, untuk pada akhirnya di-

lakukan pemodelan dengan langkah-langkah seba-

gai berikut.

4.2.1 Mendefinisikan Fungsi Tujuan

Pada Tugas Akhir ini, penelitian difokus-

kan pada pengoptimuman komposisi dua jenis ba-

han bakar pada PLTGU, yaitu minyak HSD dan

gas, dengan mempertimbangkan biaya produksi

yang minimum, permintaan beban konsumen yang

terpenuhi secara maksimum, dan keuntungan yang

maksimum.

Dihubungkan dengan persamaan 2.1 dan

persamaan 2.3, fungsi-fungsi tujuan tersebut dide-

finisikan sebagai

, (4.1)

dengan adalah fungsi tujuan ke- dan adalah

variabel random dari fungsi tujuan ke- dan bahan

bakar . Sementara adalah variabel keputusan

dengan adalah jumlah pemakaian bahan bakar

minyak HSD (dalam Kcal) dan adalah jumlah

pemakaian bahan bakar gas (dalam Kcal).

Dihubungkan dengan permasalahan-per-

masalahan yang dihadapi PLTGU, didapatkan

fungsi-fungsi tujuan sebagai berikut.

5

1. Fungsi tujuan pertama, yaitu meminimumkan

biaya produksi.

Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan per-

tama dapat dituliskan sebagai:

(4.2)

dengan adalah nilai variabel random dari harga

bahan bakar.

Hasil analisa dari tujuan pertama menun-

jukkan bahwa ada kaitan antara harga panas bahan

bakar dan biaya produksi. Harga panas bahan ba-

kar merupakan harga bahan bakar tiap satuan

energinya, yaitu kalori. Sehingga, jika masing-ma-

sing harga bahan bakar tersebut (dalam Rp/Kcal)

dihubungkan dengan banyaknya pemakaian tiap

bahan bakar (dalam Kcal), didapatkan suatu nilai

dari biaya produksi per hari dari perusahaan (da-

lam Rp).

2. Fungsi tujuan kedua, yaitu memaksimumkan

pemenuhan permintaan beban konsumen.

Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan kedua

dapat dituliskan sebagai:

(4.3)

dengan adalah nilai variabel random dari pro-

duksi beban per pemakaian bahan bakar.

Hasil analisa dari tujuan kedua menunjuk-

kan bahwa produksi beban per pemakaian bahan

bakar dapat dikaitkan dengan permintaan beban

konsumen. Pemakaian bahan bakar yang sama pa-

da suatu proses produksi tidak selalu menghasikan

jumlah beban yang sama. Hal ini dipengaruhi oleh

banyak hal, diantaranya adalah keandalan mesin

itu sendiri atau kerusakan yang mungkin terjadi

pada mesin, yang perhitungannya tidak berpenga-

ruh dalam pemodelan ini. Oleh karena itulah, ba-

nyaknya bahan bakar (dalam Kcal) yang dihu-

bungkan dengan hasil produksi beban per pema-

kaian bahan bakar pada tiap proses produksi (da-

lam KWh/Kcal) dapat mempengaruhi terpnuhinya

permintaan beban konsumen (dalam KWh).

3. Fungsi tujuan ketiga, yaitu memaksimumkan

keuntungan.

Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan ketiga

dapat dituliskan sebagai:

(4.4)

dengan adalah nilai variabel random dari harga

jual beban dengan menggunakan masing-masing

bahan bakar.

Tabel 4.2 Fungsi tujuan dan variabel randomnya

Fungsi

Tujuan

Variabel

Random

Keterangan

Fungsi

Tujuan

Pertama

variabel random dari harga bahan

bakar minyak HSD

variabel random dari harga bahan

bakar gas

Fungsi

Tujuan

Kedua

variabel random dari produksi

beban per pemakaian bahan bakar

minyak HSD

variabel random dari produksi

beban per pemakaian bahan bakar

gas

Fungsi

Tujuan

Ketiga

variabel random dari harga jual

beban yang menggunakan bahan

bakar minyak HSD

variabel random dari harga jual

beban yang menggunakan bahan

bakar gas

Hasil analisa fungsi tujuan ketiga menun-

jukkan bahwa harga jual beban (dalam Rp/Kcal)

bisa dihubungkan dengan biaya produksi (dalam

Rp) untuk memaksimumkan keuntungan. Artinya,

semakin besar selisih harga jual tersebut dengan

biaya produksi, keuntungan dari perusahaan akan

semakin besar.

Untuk lebih jelasnya, penjabaran variabel-

variabel random tersebut dapat dilihat pada Tabel

4.2.

4.2.2 Analisa Konstanta

Dari Tabel 4.1 dapat diketahui beberapa

konstanta sebagai berikut:

1. Kapasitas tangki HSD di PLTGU adalah sebe-

sar 80,000,000 liter.

2. Nilai dead stock telah ditetapkan oleh perusa-

haan, dengan batas minimum yang besarnya

mencapai 7,491,550 liter.

3. Kapasitas efektif adalah kapasitas tangki diku-

rangi dengan deadstock. Sehingga,

Kapasitas efektif (dalam liter)

(4.5)

Karena 1 liter = 9,166.41 Kcal, jika satuan liter

(volume) tersebut diubah ke dalam satuan Kcal

(energi), persamaan 4.5 menjadi:

Kapasitas efektif

6

(dalam 1010

Kcal) (4.6)

4. Konsumsi HSD maksimum per hari yang dite-

tapkan oleh perusahaan berdasarkan data ada-

lah 3,200,000 liter. Jika diubah ke satuan ener-

gi, didapatkan:

Konsumsi HSD maks

(dalam 1010

Kcal)

(4.7)

Konstanta-konstanta tersebut digunakan sebagai

nilai ruas kanan dari kendala tambahan.

4.2.3 Merumuskan Fungsi Kendala

Pada Tabel 4.2 diperlihatkan keterangan

dari variabel-variabel random yang terkait dengan

pemodelan ini. Pengolahan data-data tersebut di-

gunakan untuk mendapatkan perhitungan mean

yang bisa dilihat pada Tabel 4.4. Dan perumusan

selengkapnya dibahas pada sub-sub bab ini.

Jika dihubungkan dengan target, fungsi-

fungsi tujuan yang telah didefinisikan pada sub-

sub bab sebelumnya berubah menjadi kendala tu-

juan, yaitu sebagai berikut:

Kendala tujuan pertama ( ): biaya produksi

(4.8)

Kendala tujuan kedua ( ): pemenuhan be-

ban konsumen

: (4.9)

Kendala tujuan ketiga ( ): keuntungan

(4.10)

dengan adalah target dari masing-masing kenda-

la tujuan , seperti dijabarkan pada Tabel 4.3.

Dari ketiga persamaan tersebut dapat dike-

tahui bahwa:

1. Kendala tujuan pertama memiliki makna bah-

wa perusahaan ingin mendapatkan biaya pro-

duksi yang lebih kecil dari target ;

2. Kendala tujuan kedua berarti bahwa perusaha-

an menginginkan produksi beban yang setidak-

tidaknya terpenuhi sesuai target ; dan

3. Kendala tujuan ketiga berarti bahwa perusaha-

an menginginkan harga jual beban yang lebih

besar dari target .

Karena SGP berbasis pada hipotesis mak-

simisasi , semua kendala tujuan diubah ke

dalam prinsip ―the more the better.‖ Biaya produk-

si memiliki prinsip ―the more the worse‖, sehingga

sesuai dengan persamaan 2.2, persamaan 4.8

diubah menjadi:

, (4.11)

dengan adalah biaya produksi tertinggi yang

didapatkan dari data. Permintaan beban konsumen

dan keuntungan memiliki prinsip ―the more the

better,‖ sehingga persamaan 4.9 dan persamaan

4.10 tetap.

Tabel 4.3 Kendala tujuan dan targetnya

Kendala

Tujuan Target Keterangan

Kendala

Tujuan

Pertama

Nilai harapan dari biaya

produksi (Tabel 4.2 kolom 5)

Kendala

Tujuan

Kedua

Nilai harapan dari permintaan

beban konsumen (Tabel 4.4

kolom 7)

Kendala

Tujuan

Ketiga

Nilai harapan dari biaya

produksi (Tabel 4.5 kolom 7)

Tabel 4.4 Kendala tujuan dan hasil perhitungan

mean dari data

Kendala

Tujuan

Data dan Nilai

Mean

BBM

BBG

Kendala

Tujuan

Pertama

Harga Panas

Bahan Bakar

(Rp/Kcal) 0.65557736 0.10440393

Biaya

Produksi

(1010 Rp)

0.83627167

2.14736133

Kendala

Tujuan

Kedua

Produksi

Beban/Pemak

aian Bahan

Bakar

(KWh/Kcal)

0.00047397 0.00061699

Permintaan

Beban (1010

KWh)

0.00253416

-

Kendala

Tujuan

Ketiga

Harga Jual

Beban

(Rp/KWh) 2.80315810 0.31226562

Biaya

Produksi

(1010 Rp)

0.83627167

-

Perumusan fungsi kendala dilakukan dengan cara

menghubungkan masing-masing kendala tujuan

7

yang telah didefinisikan dengan hasil perhitungan

mean pada Tabel 4.4.

1. Kendala tujuan pertama:

Dihubungkan dengan perhitungan yang telah

didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.11

berubah menjadi:

(dalam 1010 Rupiah)

2 Kendala tujuan kedua:


didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.9 ber-

ubah menjadi:

(dalam 1010 KWh)

3. Kendala tujuan ketiga:


didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.7 ber-

ubah menjadi:

(dalam 1010 Rupiah)

Kendala-kendala tambahan:

1. Untuk menghindari posisi kritis, pemakaian ba-

han bakar minyak tidak dibolehkan melebihi

kapasitas efektif. Sehingga, jika dihubungkan

dengan persamaan 4.10, didapatkan perumusan

sebagai berikut:

(dalam 1010 Kcal)

2. Pemakaian bahan bakar diharapkan tidak akan

melebihi expected value dari pemakaian bahan

bakar total. Jika dihubungkan dengan mean ba-

han bakar total, didapatkan persamaan sebagai

berikut:

(dalam 1010 Kcal)

3. Sesuai dengan data, perusahaan menginginkan

pemakaian bahan bakar minyak yang ideal ada-

lah tidak akan melebihi pemakaian HSD maks-

imum pada persamaan 4.7, sehingga perumus-

annya dapat dituliskan menjadi:

(dalam 1010 Kcal)

Sehingga, kendala tambahan pertama dan keti-

ga cukup ditulis sebagai satu persamaan, yaitu:

(dalam 1010 Kcal)

4. Dan yang terakhir adalah kondisi taknegatif dari

tiap-tiap variabel.

4.3 Formulasi Model dengan SGP

Sesuai Ballestero (2001), pemodelan SGP di-

dapat dari proses pereduksian masalah stokastik ke

dalam bentuk kuadratik dengan kendala-kendala

yang linear. Setelah pendefinisian fungsi tujuan

dan perumusan fungsi kendala selesai, dilakukan

formulasi model menggunakan SGP, yang diawali

dengan langkah-langkah sebagai berikut

4.3.1 Menentukan Bobot

Bobot yang digunakan dihitung menggu-

nakan koefisien ARA. Karena pemakaian bahan

bakar gas lebih diutamakan daripada pemakaian

bahan bakar minyak HSD , perhitungan ARA

pada Tugas Akhir ini dilihat dari perspektif pema-

kaian bahan bakar gas ( ). Sehingga, berdasar-

kan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5, perhitung-

an koefisien ARA untuk masing-masing fungsi tu-

juan adalah sebagai berikut:

1. Fungsi tujuan pertama:

2. Fungsi tujuan kedua:

3. Fungsi tujuan ketiga:

Pembobotan kedua didapatkan dari pre-

ferensi pembuat keputusan. Karena ketiga fungsi

tujuan tersebut saling mempengaruhi, maka keti-

ganya memiliki kedudukan yang sama. Saat biaya

produksi diminimumkan, dalam waktu yang bersa-

maan keuntungan juga harus dimaksimumkan,

8

atau saat keuntungan dimaksimumkan, pemenuh-

an pemintaan beban konsumen juga harus tetap di-

maksimumkan dalam waktu yang bersamaan.

Oleh karena itu, berdasarkan analisa tersebut, keti-

ga fungsi tujuan mendapatkan preferensi yang se-

imbang dari pembuat keputusan, yaitu:

.

Dari persamaan 2.9 diketahui bahwa

, sehingga untuk masing-masing

fungsi tujuan bisa dilakukan perhitungan bobot ga-

bungan sebagai berikut.

4.3.2 Menghitung Matriks Kovarians

Hal selanjutnya yang perlu dilakukan pada

pemodelan kali ini adalah menghitung matriks ko-

varians dari masing-masing fungsi tujuan ke-

menggunakan persamaan 2.10, dengan posisi

dan mewakili posisi bahan bakar dalam ma-

triks kovarians.

1. Matriks kovarians Dari data random, dilakukan perhitungan kova-

rians sesuai dengan persamaan 2.10.

Sehingga, sesuai persamaan 2.11 didapat-

kan:

2. Matriks kovarians

Dari data random, dilakukan perhitungan kova-



kan:

3. Matriks kovarians

Dari data random, dilakukan perhitungan kova-



kan:

Dari masing-masing matriks kovarians dan pem-

bobotan yang telah didapatkan, dapat dihitung

matriks variabilitas dengan menggunakan persa-

maan 2.11, yaitu:

4.3.3 Memformulasikan Model Mean-Varians

Setelah pengolahan data selesai, fungsi tu-

juan dan kendala yang telah dirumuskan dimasuk-

kan ke dalam formulasi stochastic goal program-

ming (SGP) guna mendapatkan penyelesaian yang

paling mendekati optimum dari fungsi-fungsi tuju-

an yang telah didefinisikan.

Sesuai dengan persamaan 2.8, dilakukan

minimasasi pada .

Sehingga formulasi SGP dari pemakaian bahan

bakar di PLTGU adalah:

dengan kendala

(dalam 1010 Rupiah)

(dalam 1010 KWh)

(dalam 1010 Rupiah)

(dalam 1010 Kcal)

(dalam 1010 Kcal)

4.2 Penyelesaian Masalah dengan Matlab

Karena fungsi tujuan dari formulasi SGP

yang telah didapatkan berbentuk kuadrat, persa-

maan tersebut harus diubah ke matriks Hessian

agar dapat diselesaikan dengan salah satu fitur da-

lam Matlab, quadprog. Persamaan 4.11 dapat ditu-

liskan sebagai berikut:

(4.12)

Persamaan 4.12 dapat dituliskan sebagai notasi

matriks seperti pada persamaan 2.13. Sehingga, ji-

ka dihubungkan dengan persamaan 2.16, bentuk-

nya berubah menjadi:

9

dengan

adalah matriks Hessian dari , dan

.

mewakili bentuk linear dari .

4.5 Analisa Hasil

Pemodelan SGP yang telah didapatkan di-

hitung dengan menggunkan Matlab dan hasilnya

adalah sebagai berikut:

(dalam Kcal)

(dalam Kcal)

Dengan kata lain, komposisi bahan bakar ideal

yang diperlukan untuk proses produksi listrik di

PLTGU adalah sebesar 11,488,000,000 Kcal un-

tuk minyak HSD dan sebesar 32,248,000,000

Kcal untuk gas.

Selanjutnya, masing-masing variabel kepu-

tusan yang telah didapatkan dimasukkan ke dalam

fungsi-fungsi tujuan dan kendala yang ingin diop-

timumkan.

1. Kendala pemakaian bahan bakar total

Pemakaian BB total (dalam Kcal)

2. Kendala tujuan pertama:

Biaya produksi (dalam Rupiah)

3. Kendala tujuan kedua:

Pemenuhan beban (dalam KWh)

4. Kendala tujuan ketiga:

Keuntungan

(dalam Rupiah)

Perbandingan antara hasil yang diperoleh menggu-

nakan perhitungan SGP dengan target dan batasan

yang ingin dipenuhi dapat dilihat pada Tabel 4.5.

Tabel 4.5 Perbandingan target/batasan dan hasil

Fungsi Kendala Target/Batasan Hasil

Pemakain Bahan

Bakar Total 53,808,874,200 43,736,000,000

Pemakaian Bahan

Bakar Minyak 29,332,512,000 11,488,000,000

Kendala Tujuan

Pertama 13,110,896,600 10,898,090,600

Kendala Tujuan

Kedua 25,341,600 25,341,700

Kendala Tujuan

Ketiga 8,362,716,700 42,501,967,000

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil perhitungan yang telah didapatkan

pada Bab 4, bisa diambil beberapa kesimpulan, di

antaranya:

1. Pemodelan SGP untuk permasalahan bahan

bakar adalah sebagai berikut:

dengan kendala

(dalam 1010 Rupiah)

(dalam 1010 KWh)

(dalam 1010 Rupiah)

(dalam 1010 Kcal)

(dalam 1010 Kcal)

Dari model tersebut didapatkan perhitung-

an sebagai berikut:

1. Kendala pemakaian bahan bakar

Pada Tabel 4.5, dapat diketahui selisih nilai

sebesar 10,072,874,200 (dalam Kcal). Hal ini

menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan

10

SGP telah menghasilkan penghematan bahan

bakar total sebesar 18.72%.

2. Kendala pemakaian bahan bakar minyak


sebesar 17,844,512,000 (dalam Kcal). Hal ini


SGP telah menghasilkan penghematan bahan

bakar minyak sebesar 60.84%.

3. Kendala tujuan pertama


sebesar 2,212,806,000 (dalam Rupiah). Hal ini


SGP telah menghasilkan penurunan biaya pro-

duksi sebesar 16.88%.

4. Kendala tujuan kedua


yang sangat kecil, yaitu hanya sebesar 100

(dalam KWh). Hal ini menunjukkan bahwa

hasil dari pemodelan SGP telah memenuhi

permintaan beban konsumen secara opti-mum,

yaitu sebesar 100.0004%.

5. Kendala tujuan ketiga


sebesar 34,139,250,300 (dalam Rupiah). Hal

ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan

SGP telah menghasilkan peningkatan keun-

tungan sebesar 408.23%.

Secara umum, pemodelan SGP yang dila-

kukan berjalan dengan baik karena telah mampu

memenuhi target dan batasan dari semua fungsi

kendala.

5.2 Saran

Saran-saran yang ingin disampaikan penu-

lis, diantaranya:

1. Pada pemodelan ini, hanya digunakan tiga

fungsi tujuan dengan beberapa kendala tam-

bahan. Dengan melakukan analisa lebih dalam

pada permasalah di PLTGU, diharapkan prak-

tikan selanjutnya mampu mememukan faktor-

faktor lain yang mempengaruhi proses pro-

duksi tersebut, sehingga pemodelan berjalan

dengan lebih baik dan akurat.

2. Pada Tugas Akhir ini, hanya digunakan dua

jenis pembobotan yaitu ARA dan preferensi

dari pembuat keputusan. Sangat diharapkan

praktikan berikutnya mampu mengaplikasikan

pembobotan lain yang lebih akurat namun se-

derhana.

DAFTAR PUSTAKA

Bagian Bahan Bakar PLTGU. 2010. Laporan

Harian Pemakaian Bahan Bakar PLTGU.

Gresik: PT PJB UP Gresik.

Ballestero, E., 2001. Stochastic goal

programming: A mean-variance approach.

European Journal of Operational Research,

131, 476-481.

Ben Abdelaziz, F., Aoni, B. & El Fayedh, R.,

2007. Multi-objective stochastic

programming for portfolio selection.

European Journal of Operational Research,

177, 1811–1823.

Binmore, K., & Davies, J., 2007. Calculus

Concepts and Methods. Cambridge:

Cambridge University Press.

Bravo, M. & Gonzales, I., 2009. Applying

stochastic goal programming: A case study

on water use planning. European Journal of

Operational Research, 196, 1123-1129.

Higham, N. J., 2002. Computing the nearest

correlation matrix—a problem from

finance. IMA Journal of Numerical

Analysis, 22, 329–343.

Munoz, M. M. & Ruiz, F., 2009. ITSMO: An

interval reference point-based method for

stochastic multiobjective programming

problems. European Journal of Operational

Research, 197, 25-35.

Permana, N., Ramadhani, D. P. E. & Prasetyo, E.,

2008. Sistem pengaman elektris pada

generator PLTGU PT PJB Unit

Pembangkitan Gresik (Kerja Praktik).

Institut Teknologi Sepuluh Nopember,

Surabaya.

Levy, H., 2006. Stochastic Dominance:

Investment Decision Making under

Uncertainty. New York: Springer.

Russell, S. & Norvig, P., 2006. Fuzzy Sets and

Fuzzy Logic, Chapter 14.7. Diakses dari

www.cs.uiowa.org tanggal 29 Mei 2011.

Sari, N. E., 2011. Optimasi penggunaan bahan

bakar unit PLTGU dengan menggunakan

metode fuzzy goal programming (Tugas

Akhir). Institut Teknologi Sepuluh

Nopember, Surabaya.

pemodelan matematika dan penyelesaiannya …

Documents