pemodelan matematika epidemirepository.ung.ac.id/get/kms/14312/resmawan-pemodelan...1.2 model...

PEMODELAN MATEMATIKAPemodelan Matematika Epidemi

Resmawan

Universitas Negeri Gorontalo

September 2017

Resmawan (Math UNG) Pemodelan Matematika Epidemi September 2017 1 / 20

Model Matematika Epidemi 1.1 Pendahuluan

1.1 Pendahuluan

Rosulullah Shallallahu ’alaihi wasallam bersabda:"Sesungguhnya Allah benar-benar akan menguji hamba-Nya denganpenyakit, sehingga ia menghapuskan setiap dosa darinya"

(HR. Al Hakim, Shohih menurut Syaikh Albani)

1.1 Pendahuluan

Dari Abu Hurairoh Radiallahu ’anhu, dari Nabi Shallallahu ’alaihiwasallam, beliau bersabda:

"Tidaklah seorang muslim ditimpa keletihan, penyakit yangberkepanjangan, kesusahan, kesedihan, gangguan, kegelisahan, hingga duriyang menusuknya melainkan Allah akan menghapuskan dosa-dosanya

dengan sebab tersebut"(HR. Bukhari)

1.1 Pendahuluan

Dari Usamah bin Zaid Radiallahu ’anhu, dari Nabi Shallallahu ’alaihiwasallam, beliau bersabda:

"Apabila tha’un (penyakit menular) mewabah di suatu negeri, makajanganlah kalian memasukinya. Dan apabila dia mewabah di negeri

yang kalian berada di dalamnya, maka janganlah kalian keluar darinya"(HR. Ahmad)

◦ ◦ ◦ Model SIR ◦ ◦◦

Model Matematika Epidemi 1.2 Model Epidemi SIR

1.2 Model Epidemi SIR

Pada model ini, populasi dibagi menjadi 3 kelompok, yaituSusceptible (S), Infected (I ), dan Recovered (R). Total keseluruhanpopulasi adalah N = S + I + R

Susceptible (S) dalam pemodelan SIR merupakan individu yangtidak terinfeksi tetapi dapat tertular oleh penyakit, sehingga golonganini memiliki kemungkinan untuk terinfeksi dan berpindah ke kelasinfected (I ).

Infected (I ) merupakan individu yang dapat menularkan penyakitpada individu susceptible. Waktu yang diperlukan oleh penderitainfeksi penyakit disebut periode penyakit. Setelah melalui periodepenyakit, maka individu akan sembuh dan berpindah ke kelasrecovered (R).

Recovered (R) merupakan individu yang telah sembuh dari penyakitatau kebal dalam kehidupannya.

Beberapa asumsi yang digunakan pada model ini

1 Populasi konstan2 Laju kelahiran sama dengan laju kematian3 Perubahan individu susceptible dan infected proporsional terhadapjumlah populasi.

4 Individu yang terinfeksi diasumsikan dapat kembali sembuh denganpeluang konstan sepanjang waktu.

5 Diasumsikan juga bahwa sekali seorang individu telah terinfeksi dankemudian telah pulih, maka individu tersebut tidak akan terjangkitkembali karena adanya kekebalan tubuh yang kuat

Diagran Kompartemen

Beberapa asumsi yang digunakan pada model ini1 Populasi konstan

2 Laju kelahiran sama dengan laju kematian3 Perubahan individu susceptible dan infected proporsional terhadapjumlah populasi.

Diagran Kompartemen

Beberapa asumsi yang digunakan pada model ini1 Populasi konstan2 Laju kelahiran sama dengan laju kematian

3 Perubahan individu susceptible dan infected proporsional terhadapjumlah populasi.

Diagran Kompartemen

Beberapa asumsi yang digunakan pada model ini1 Populasi konstan2 Laju kelahiran sama dengan laju kematian3 Perubahan individu susceptible dan infected proporsional terhadapjumlah populasi.

Diagran Kompartemen

Dengan menganggap bahwa tingkat penularan penyakit sebandingdengan jumlah pertemuan antara individu rentan dan individu yangterinfeksi, maka model SIR dapat dituliskan sebagai berikut:

= µN − βSIN− µS

= βSIN− ξI − µI

= ξI − µR

KeteranganN : Total populasi individuS : Individu yang rentan terinfeksi penyakitI : Individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuhR : Individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit

Dengan menganggap bahwa tingkat penularan penyakit sebandingdengan jumlah pertemuan antara individu rentan dan individu yangterinfeksi, maka model SIR dapat dituliskan sebagai berikut:

= µN − βSIN− µS

= ξI − µR

KeteranganN : Total populasi individuS : Individu yang rentan terinfeksi penyakitI : Individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuhR : Individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit

Keteranganβ : Laju penularan penyakitξ : Laju kesembuhanµ : Laju kelahiran dan laju kematian

Populasi S akan meningkat seiring dengan bertambahnya individukedalam suatu populasi dan berkurangnya kekebalan tubuh yangdisebabkan oleh infeksi alam yang menyerang tubuh.

Populasi I akan meningkat dengan bertambahnya individu yangterinfeksi dari kelas S .

Kekebalan tubuh yang terinfeksi akan berubah seiring denganberjalannya waktu, maka individu yang terinfeksi akan pulihmemasuki individu R, sehingga populasi R akan meningkat sesuaidengan meningkatnya individu yang pulih dari infeksi dan akanbekurang seiring dengan perubahan kekebalan.

Keteranganβ : Laju penularan penyakitξ : Laju kesembuhanµ : Laju kelahiran dan laju kematianPopulasi S akan meningkat seiring dengan bertambahnya individukedalam suatu populasi dan berkurangnya kekebalan tubuh yangdisebabkan oleh infeksi alam yang menyerang tubuh.

Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapatdinyatakan sebagai

s =SN, i =

IN, dan r =

sehingga diperoleh

= µ− βsi − µs

= βsi − (ξ + µ) i

= ξi − µr

Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapatdinyatakan sebagai

s =SN, i =

IN, dan r =

sehingga diperoleh

= µ− βsi − µs

= βsi − (ξ + µ) i

= ξi − µr

◦ ◦ ◦ Model SIR dengan Vaksinasi ◦ ◦◦

Model Matematika Epidemi 1.3 Model Epidemi SIR dengan Vaksinasi

1.2 Model Epidemi SIR dengan Vaksinasi

Model endemik SIR dengan memeperhatikan faktor vaksinasiditurunkan ulang dari model endemi SIR klasik. Model penyebaranpenyakit diturunkan menggunkan asumsi atau batasan tertentu.Hethcote (2000) menyebutkan bahwa asumsi-asumsi yang digunakandalam model penyebaran penyakit sebagai berikut:

1 Jumlah populasi diasumsikan cukup besar2 Populasi diasumsikan tertutup, oleh karena itu tidak ada populasi yangmasuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut

3 Jumlah kelahiran dan kematian dalam tiap satuan waktu diasumsikansama

4 Populasi diasumsikan bercampur secara homogen yang berarti setiapindividu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontakdengan individu lainya

5 Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapatpula menimbulkan kematian akibat penyakit tersebut

1 Jumlah populasi diasumsikan cukup besar

2 Populasi diasumsikan tertutup, oleh karena itu tidak ada populasi yangmasuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut

Asumsi yang digunakan terhadap vaksinasi tersebut adalah sebagaiberikut:

1 Vaksinasi hanya diberikan pada individu yang baru lahir atau yangmasih dalam usia anak- anak ( < 12 tahun )

2 Keampuhan vaksinasi adalah 100%, hal ini berarti setiap individu yangtelah mendapatkan vaksinasi akan kebal dari penyakit. Kekebalan yangterjadi karena vaksinasi bersifat permanen

3 Jumlah individu yang memperoleh vaksin proposional dengan jumlahkelahiran. Dengan demikian, jumlah individu yang kebal dari penyakitkarena telah memperoleh vaksinasi dinyatakan dengan αµN, α :parameter vaksinasi.

Diagram Kompartemen

Berdasarkan diagram kompartemen diperoleh model sebagai berikutdSdt

= (1− α) µN − βSIN− µS

= αµN + ξI − µR

Diagram Kompartemen

= (1− α) µN − βSIN− µS

= αµN + ξI − µR

Untuk menyerderhanakan persamaan dan memudahkan analisismodel, maka proporsi banyaknya individu pada masing-masingkelompok dapat dinyatakan sebagai

s =SN, i =

IN, dan r =

sehingga diperoleh

= µ (1− α)− βsi − µs

= βsi − (ξ + µ) i

= αµ+ ξi − µr

s =SN, i =

IN, dan r =

sehingga diperoleh

= µ (1− α)− βsi − µs

= βsi − (ξ + µ) i

= αµ+ ξi − µr

◦ ◦ ◦ Model SEIR ◦ ◦◦

Model Matematika Epidemi 1.4 Model Epidemi SEIR

1.4 Model Epidemi SEIR

Model ini secara umum identik dengan penurunan model SIR, hanyamengalami penambahan sebuah variabel Exposed (E ), yaitu individuyang telah terpapar oleh penyakit namun belum sepenuhnya terinfeksi.

Dalam hal ini populasi dibagi menjadi 4 kelompok, yaitu Susceptible(S), Exposed (E ), Infected (I ), dan Recovered (R). Total keseluruhanpopulasi adalah N = S + E + I + R yang sifatnya konstan.Diagram Kompartemen

Model ini secara umum identik dengan penurunan model SIR, hanyamengalami penambahan sebuah variabel Exposed (E ), yaitu individuyang telah terpapar oleh penyakit namun belum sepenuhnya terinfeksi.Dalam hal ini populasi dibagi menjadi 4 kelompok, yaitu Susceptible(S), Exposed (E ), Infected (I ), dan Recovered (R). Total keseluruhanpopulasi adalah N = S + E + I + R yang sifatnya konstan.

Diagram Kompartemen

Model ini secara umum identik dengan penurunan model SIR, hanyamengalami penambahan sebuah variabel Exposed (E ), yaitu individuyang telah terpapar oleh penyakit namun belum sepenuhnya terinfeksi.Dalam hal ini populasi dibagi menjadi 4 kelompok, yaitu Susceptible(S), Exposed (E ), Infected (I ), dan Recovered (R). Total keseluruhanpopulasi adalah N = S + E + I + R yang sifatnya konstan.Diagram Kompartemen

= µN − ρS − βSIN− µS

= ρS − (1− α) βE − µE

= βSIN+ (1− α) βE − ξI − µI

= ξI − µR

KeteranganE : Individu laten/ terpaparβ : Laju penularan penyakitξ : Laju kesembuhanµ : Laju kelahiran dan laju kematianα Laju vaksinasiρ Laju kekebalan tubuh

= µN − ρS − βSIN− µS

= ρS − (1− α) βE − µE

= βSIN+ (1− α) βE − ξI − µI

= ξI − µR

KeteranganE : Individu laten/ terpaparβ : Laju penularan penyakitξ : Laju kesembuhanµ : Laju kelahiran dan laju kematianα Laju vaksinasiρ Laju kekebalan tubuh

s =SN, e =

EN, i =

IN, dan r =

sehingga diperoleh

= µ− βsi − (ρ+ µ) s

= ρs − (1− α) βe − µe

= (1− α) βe + βsi − (ξ + µ) i

= ξi − µr

s =SN, e =

EN, i =

IN, dan r =

sehingga diperoleh

= µ− βsi − (ρ+ µ) s

= ρs − (1− α) βe − µe

= (1− α) βe + βsi − (ξ + µ) i

= ξi − µr

Model Matematika Epidemi 1.5 Latihan

1.5 Latihan

Problem1 Buatlah modifikasi pada model klasik yang telah diberikan kemudianrumuskan model matematika hasil modifikasi yang anda berikan.

2 Lakukan penyederhanaan dengan proses linearisasi pada model yanganda temukan.

pemodelan matematika epidemirepository.ung.ac.id/get/kms/14312/resmawan-pemodelan...1.2 model...

Documents